知识点03实数的运算（含二次根式三角函数特殊值的运算）2018-1

一、选择题1.计算的结果等于（）A.5B.C.9D.【答案】C【解析】分析：根据有理数的乘方运算进行计算．详解：（-3）2=9，故选C．点睛：本题考查了有理数的乘方，比较简单，注意负号．2.（2018黑龙江绥化，4，3分）下列运算正确的是（）a+3a=5a2B.C.a3·a4=a12D.(π-3)0=1【答案】D.【解析】解：A、，故错误；

B、，故错误；

C、，故错误；

D、，故正确.

故选：D.【知识点】合并同类项，二次根式的性质，同底数幂的乘法，零指数幂的意义3.（湖北省咸宁市，1，3）咸宁冬季里某一天的气温为-3℃〜2℃，则这一天的温差是()A．1℃B．-1℃C．5℃D．-5℃【答案】C【解析】解：根据“温差=最高气温最低气温”，2℃－（－3℃）=2℃+3℃=5℃，故选C．【知识点】有理数的减法运算4.（2018吉林省，1,2分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣3【答案】A【解析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出（﹣1）×（﹣2）=2．故选A．【知识点】有理数的乘法5.（2018贵州铜仁，10，4）计算的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，，，，，……，，∴==.6.（2018云南省昆明市，12，4分）下列运算正确的是（）A.B.C.D.【答案】C．【解析】A选项是幂的乘方，＝（）×（）＝，故A选项错误；B选项＝1－（－2）＝3，故B选项错误；＝3×2·＝6a，故C选项正确是同底数幂的乘法，其法则是底数不变，指数相加，即，故C选项正确；D选项,故D选项错误，故选C．【知识点】幂的乘方；同底数幂的乘法；零指数幂；负指数幂；合并同类二次根式7.（2018湖北恩施州，16，3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图６，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．【答案】1838．【解析】本题为探索规律型，由题意可知，因为满六进一，从右到左依次排列的绳子分别代表绳结束乘以6的0次幂，6的1幂，6的2次幂，6的3次幂，6的4次幂．她一共采集到的野果数量为1838个．8.（2018辽宁锦州，6，3分）下列运算正确的是A、7a－a=6 B、a2·a3=a5 C、(a3)3=a6 D、(ab)4=ab4【答案】B，【解析】：根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则进行解答．二、填空题1.（2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，12，3分）计算：．【答案】0【解析】直接利用二次根式的化简、绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化简，再计算．【知识点】二次根式分母有理化，绝对值，负整数指数幂2.（湖北省咸宁市，5，3）按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：则这个数列的前2018个数的和为__________.【答案】【解析】则第2018个数为则这个数列的前2018个数的和为===【知识点】探究规律3.（2018年黔三州，19,3）根据下列各式的规律，在横线处填空：11+112017+12018【答案】1【解析】按照等式顺序，第一个为11+第3个式子15+1612017+1【知识点】等式规律探索4.（2018江苏常州，9，2）计算:=_______．【答案】2【解析】5.（2018四川巴中，21（1），6分）（1）计算：│－2│－2cos60°＋(QUOTE)－1－(2018－QUOTE）0【答案】原式＝2－2×QUOTE＋6－1＝2﹣1＋6﹣1＝6.【解析】依据数的绝对值意义，│－2│＝2；由特殊角的三角函数值得cos60°＝QUOTE；由负整数指数幂的意义得(QUOTE)－1＝＝6或者(QUOTE)－1＝（6－1）－1＝6；根据a0＝1（a≠0）得(2018－QUOTE）0＝1.6.（2018广西南宁，17，3）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得30+31+32+…+32018的结果的个位数字是．【答案】3，【解析】∵30=1，31=3，32=9，33=27，34=81∴各位数4个数一循环，∴(2018+1)÷4=504余3，∴1+3+9=13xyO∴30+31+32+…+32018xyO7.（2018湖北十堰，14，3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下，a※b＝a2－ab，例如，5※3＝52－5*3＝10．若（x＋1）※(x－2)＝6，则x的值为．【答案】1【解析】由于（x＋1）※(x－2)＝6，所以（x＋1）2－（x＋1）（x－2）＝6，即有3x＋3＝6，解得x＝1，故答案为：1．8.（2018湖北随州11，3分）计算：－|2－2|＋2tan45°＝______．【答案】4．【解析】＝＝2；根据“负数的绝对值等于它的相反数”可得|2－2|＝2－2；熟记特殊角的三角函数值可得2tan45°＝2×1＝2，所以原式＝2－(2－2)＋2＝2－2＋2＋2＝4．三、解答题1.（2018省市，题号，分值）计算：【思路分析】先计算各项的值，进而求得结果，一个负数的绝对值为它的相反数，任何非零数的零次幂都为1，一个数的-1次幂相当于它的倒数【解题过程】原式=2-1+2=3【知识点】绝对值；零指数幂和负整指数幂；有理数加减2.（2018省市，题号，分值）先化简，再求值：，其中a=【思路分析】先将分式化简，再将a值代入求值【解题过程】,当a=时，原式=【知识点】分式的乘除；二次根式3.（2018广西省桂林市，19，6分）计算：．【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．【解题过程】＝．【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简4.（2018黑龙江省龙东地区，21，5分）先化简，再求值：，其中a＝sin30°．【思路分析】先化简分式，再求a的值，最后把a的值代入计算即可．【解题过程】解：原式＝＝＝．当a＝sin30°＝时，原式＝－1．【知识点】分式的化简求值；特殊角的锐角三角函数值；平方差公式；完全平方公式5.（2018山东省东营市，19①，4分）计算：【思路分析】根据绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂的法则性质进行计算即可。【解题过程】解：原式===2-【知识点】绝对值、0指数、三角函数、负数的偶次幂、分数的负整数指数幂.6.（2018四川乐山，17，9）计算：【思路分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式化简等考点的运算.解题的思路是先逐个计算出零指数幂、特殊角的锐角三角函数值、二次根式除法的四个值，再进行计算．在幂的运算中，非0实数的0次幂等于0，【解题过程】解：原式= 6分 8分 9分【知识点】实数的运算；锐角三角函数7.（2018四川乐山，20，10）20.先化简，再求值：，其中m是方程的根.【思路分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是熟练地掌握整式的乘、除法法则与乘法公式．先利用完全平方公式和平方差公式化简、合并同类项，再代入数值进行计算．整式运算的顺序是：先做整式的乘除，再做整式的加减，整式加减的实质就是合并同类项．对于化简求值题，常常先化简再求值．【解题过程】解：原式= 5分 7分∵m是方程的根，∴，∴， 9分∴原式=. 10分【知识点】乘法公式；整式的除法8.(2018甘肃省兰州市,17,5分)(5分)计算:.【思路分析】根据负整数指数幂的性质,零指数幂的运算法则,绝对值的化简法则进行运算｡【解题过程】.【知识点】实数的计算9.（本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分）（1）（2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号18（1），分值6）计算：-2cos60°-【思路分析】先化简每一项再计算.【解题过程】解：（1）原式=4+1-2×+3-π=7-π.【知识点】实数的运算，特殊角三角函数值.10.（湖北省咸宁市，17(1)，4）计算：；【思路分析】分别根据二次根式的化简、开立方、绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可【解题过程】原式＝【知识点】二次根式性质与化简；开立方；绝对值11.（2018湖南省怀化市，17，8分）计算：【思路分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解题过程】＝2×-1++2＝+2【知识点】实数的运算零指数幂特殊角的三角函数值负整数指数幂12.（2018浙江嘉兴，17，6）（1）计算：；【思路分析】先根据绝对值、零指数和算术平方根的概念分别求，，，再进行运算.【解答过程】原式＝－2＋3－1＝．（2）化简并求值：，其中ａ＝1，b＝2；【思路分析】先算括号，再算乘法．【解答过程】（2）原式＝；13.（2018贵州省毕节市，21，8分）计算：计算:．【思路分析】先算出每一个式子的值，再依据混合运算顺序，依次计算即可．【解题过程】＝＝－5．【知识点】实数的四则运算；特殊角三角函数值的运用；负指数次幂；0次幂；二次根式的化简；绝对值14.（2018年黔三州，21,12）（1）计算：-2-2cos60°+16【思路分析】先求出-2的绝对值，60°的余弦值，16的负整数值及（2018-3)【解题过程】原式=2-2×1【知识点】绝对值，特殊角函数值，负指数，零指数15.（2018湖南娄底，19，6）计算:.【思路分析】根据运算规则计算即可【解题过程】解：原式【知识点】零指数和负指数幂、二次根式化简、特殊三角函数、绝对值16.（2018江苏扬州，19，8）计算或化简：（1）；【思路分析】（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值；【解题过程】解：（1）原式；【知识点】负整数指数幂，实数的计算，绝对值，锐角三角函数值，17.（2018湖南省怀化市，16，4分）根据下列材料，解答问题．等比数列求和：概念：对于一列数，，，…，，…（为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即（常数），那么这一列数，，，…，，…这一列数成等比数列，这一常数叫做该数列的公比。例：求等比数列1，3，，，…，的和．解：令则因此，，所以，即仿照例题，等比数列1，5，，，…，的和为________．【答案】【思路分析】仿造例题令，找出，二者做差即可得出的值．【解题过程】令EQ\o\ac(○,1)，则EQ\o\ac(○,2)，由EQ\o\ac(○,2)-EQ\o\ac(○,1)得，，所以【知识点】规律型，数字的变化类18.（2018辽宁省沈阳市，17，6分）计算：2tan45°-+-.【思路分析】先代入特殊三角函数值、计算绝对值、负分数的指数幂、零指数幂，再进行加减乘混合运算.【解题过程】解：2tan45°-+-=21-（）+4-1=2+.【知识点】特殊三角函数值；绝对值；负分数的指数幂；零指数幂；实数的混合运算.19.（2018青海，2，5分）计算：3tan30°+3【思路分析】先分别计算出特殊三角函数值、立方根、负指数幂、指数幂，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解题过程】【知识点】实数的运算20.（2018山西省，16题，10分）计算（1）（【解题过程】解：原式=8-4+2+1=7（2）x-2【解题过程】解：原式=x+=x【知识点】实数的运算、分式的化简21.（2018广西贵港，19①，5）（1）计算：|3－5|－（π－）0＋（－2）－1＋sin30°；【思路分析】分别计算|3－5|，（π－）0，（－2）－1，sin30°，然后按实数加减运算计算即可；【解答过程】原式＝2－1＋（－EQ\F(1,2)）＋EQ\F(1,2)＝122.（2018贵州铜仁，19①，5）（1）计算：-4cos60°-；【思路分析】由开方，特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂计算各部分的值，再把最后的结果相加减.【解答过程】原式=2-4×-1-2=-3.23.(2018湖南湘西州，19，6分)计算：＋(π－2018)0－2tan45°．【解答过程】原式＝2＋1－2×1＝1．24.（2018江苏常州，19，6）(本小题满分6分)计算：．【解答过程】原式=1－2－1+=025.（2018江苏苏州，19，5分）（本题5分）计算：．【思路分析】解答本题时要分别求出绝对值，二次根式，乘方的值，然后再做加减运算.【解答过程】原式＝＋3－＝3．26.（2018•徐州，19①，5）计算：（1）； 【解答过程】原式＝－1＋1－2＋2＝027.（2018江苏镇江，18（1），4分）（1）计算：．【思路分析】先将每一项化简，再利用有理数混合运算计算出结果．【解答过程】原式＝＝．28.(2018辽宁葫芦岛，19，10分)先化简，再求值：(－)÷，其中a＝3－1＋2sin30°．【思路分析】本题考查分式的化简求值，计算a的值时，要注意正确运用负指数幂运算法则和特殊角的三角函数值．【解答过程】原式＝(－)÷＝(－)÷＝×＝．当a＝＋1＝时，原式＝＝7．29.（2018内蒙古通辽，18，5分）计算：－|4－EQ\R(,12)|－(π－3.14)0＋（1－cos30°）×（EQ\F(1,2)）－2．【思路分析】分别计算|4－EQ\R(,12)|，(π－3.14)0，（EQ\F(1,2)）－2．然后将cos30°的值代入，最后按实数的运算法则进行计算即可．【解题过程】原式＝－（4－EQ\R(,12)）－1＋（1－cos30°）×4＝－4＋2EQ\R(,3)－1＋4－4cos30°＝2EQ\R(,3)－1－4×EQ\F(\R(,3),2)＝－130.（2018云南省昆明市，16，7分）先化简，再求值：，其中．【思路分析】按照先乘除后加减的运算顺序，利用约分法则，先算乘法，在利用同分母的分式加减法则通分，化到最简后，再求出a的值，代入求值即可．【解题过程】，且，当时，原式＝．【知识点】分式的混合运算；分式的加减；分式约分；特殊角的三角函数值；绝对值；代数式求值31.（2018广西南宁，19，6）计算：|－4|+3tan60°－EQ\R(\S\DO(),12)－(EQ\F(1,2))－1【思路分析】先根据绝对值的性质、三角函数的含义、二次根式的化简和负指数幂分别求|－4|、3tan60°、EQ\R(\S\DO(),12)、(EQ\F(1,2))－1，再进行有理数的加减运算．【解答过程】原式=4＋3×EQ\R(,3)－2EQ\R(,3)－2=2＋EQ\R(,3)32.(2018黑龙江大庆，19，4)【思路分析】运用乘方，绝对值，立方根等概念进行运算.【解答过程】解：原式＝1＋－1－2＝－233.（2018黑龙江哈尔滨，题号，7）先化简，再求代数式(1)÷的值，其中a＝4cos30°＋3tan45°．【思路分析】先算括号里减法（通分后加减），再因式分解后进行约分，求出a值，最后代入求出．【解答过程】解:原式＝＝＝＝∵a＝4×＋3×1＝＋3∴原式＝＝34.(2018湖北黄石，18，7分)先化简，再求值：．其中x＝sin60°．【思路分析】将分子、分母因式分解，将除法运算转化为乘法运算，约去分子、分母的公因式，计算最后的结果，把x的代入最简结果中计算即可.【解答过程】原式＝·＝.当x＝sin60°＝时，∴＝(－1)×＝.35.(2018湖北黄石，17，7分)计算：()－2＋(π2－π)0＋cos60°＋|－2|.【思路分析】先计算负整指数幂和零指数幂，把60°的余弦值直接代入，化简绝对值运算，最后计算上述结果.【解答过程】原式＝＋1＋＋2－＝4－.36.（2018湖北十堰，17，5分）计算：|－EQ\R(,3)|－2－1＋EQ\R(,12)QUOTE-3-2-1+12．【思路分析】先计算或化简|－EQ\R(,3)|，2－1，EQ\R(,12)，然后做实数的加减运算即可．【解答过程】原式＝EQ\R(,3)－EQ\F(1,2)＋2EQ\R(,3)＝3EQ\R(,3)－EQ\F(1,2)．37.（2018湖北随州23，11分）（本题满分11分）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将化为分数形式由于＝0.777…， 设x＝0.777…①则10x＝7.777…②②－①得9x＝7，解得x＝，于是得＝．同理可得＝＝，＝1＋＝1＋＝．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）＝____________，＝____________；（2）将化为分数形式，写出推导过程；【能力提升】（3）＝____________，＝____________；（注：＝0.315315…，＝2.01818…）【探索发现】（4）①试比较与1的大小：__________1（填“＞”、“＜”或“＝”）②若已知＝，则＝__________．（注：＝0.285714285714…）【思路分析】仿照题中无限小数写成分数形式的方法，设未知数，根据小数点后循环节中数字的个数扩大10倍或100倍或1000倍，再相减得一元一次方程求解即可．【解答过程】（1）由于＝0.555…，设x＝0.555…①则10x＝5.555…②②－①得9x＝5，解得x＝，于是得＝．同理可得＝5＋＝5＋＝．故答案为，．（2）由于＝0.2323…设x＝0.2323…①则100x＝23.2323…②②－①得99x＝23，解得x＝，∴＝．（3）由于＝0.315315…，设x＝0.315315…①则1000x＝315.315315…②②－①得999x＝315，解得x＝，于是得＝．设x＝，则10x＝③1000x＝④④－③得990x＝1998，解得x＝，于是得＝．故答案为，．（4）①由于＝0.999…，设x＝0.999…Ⅰ 则10x＝9.999…ⅡⅡ－Ⅰ得9x＝9，解得x＝1，于是得＝1．②＝3＋＝3＋1000×－285＝．故答案为①＝，②．38.(2018湖南邵阳，19，8分)计算：(－1)2＋(π)0－│－2│．【思路分析】先算乘方以及去掉绝对值号，再进行和差运算．【解答过程】原式＝1＋1－(2－)＝1＋1－2＋