高数bc习题中值定理

例设f(x)˛C([a, b]),在 b)内可导,证例2x(f(b)-f(a))=(b2-a2)f(x)证在(a,b内至少有一根证令Fxx2f(bf(a(b2a2ff(x)的连续性和可导性,F(x)˛C([a,b]), F(x)在(a,b)内可导, F(a)=F(b)=a2f(b)-b2f(a)由罗尔定理,至少存在一 x˛(a,b)使F(x)=2x(f(b)-f(a))-(b2-a2)f)=即方程在 b)内至少有一根例f(x),g(x)I上可微,f(a)例f(b) ab˛I,f(x)f(x)g(x)证证 ex>0x˛(¥,+¥),所以,F(x)=eg(x)fF(x˛C([a,b]),在(a,b内可导,F(a)F(b)故由罗尔中值定理:至少存在一点x0˛(a,b)F(x)=(eg(x)f

=f(x)eg(x0

+f(x)eg(x0)g(x)=

因为egx0

0,故有f(x0f(x0)g(x00,即得所证例f(xg(x˛C([ab]),在(a,b)内二阶可导例且f(a)= f(c)= f(b)=g(b),c˛(a,b),证明:至少存在一点x˛(a,b), 使得f(x)=g(x). 令j(x)=f(x)-g(x),则j(a)=j(c)= j(1)同理,至少存在一点x2˛(c,b), 使得2)=在[x1,x2]上对函数j(x)再运用 中值定理,则至少存在一点x˛(x1,x2) (j(x))=j)即f(x)g(x).例 中值定设f(x)在[a,b]上处处可导,且f f(b)<x˛(a,b),使得f)x)f(x[a,b上处处可导f(a)f(b),f(a)f)之间的任何一个数值m,都至少存在一点x˛(a,b),使得f)m.不妨设f(a)< f(b)>limf(x)f(a)f(a)0,xfi

x-f(x)-f(a)<x-

x˛U从而可推出:$x1˛Uˆ(a) 使得f(x1)<ff(af(x在[a,b上的最小值类似地,f(bf(x)在[a,b上的最小值.综上所述,可知至少存在一点(内点)x˛(a,b)使得f(xminf(x),f) F(x)=f(x)-mx,

请自己完成(a),f(a),(b).例f(x)在(-¥+¥)例f(0)=1, (x) fx)ex证问题转化为证问题转化为jx)C

f(x)”1,

x˛(-¥,+¥).j(x)f

x˛(-¥,+¥ j(

f(x)ex-f(x)exe2x

= x˛(-¥,+¥j(x)=f(x)j(x)=f(x)=ex

x˛(-¥,+¥

又f(0)=1,故j(0)f(0)=1

C=1.从 f(x)=ex x˛(-¥,+¥).例x1x2同号证明例xex2 -x =(1-x)ex(x-x 其中,xx1x2之间x1x2同号x0x1x2之间x -x 即要 1 =(1-x)e - -

= 而

1- x 令f(x)= xx

g(x)=1x易验证f(x),g(x)x1x2为端点的区间内x„0,且满 中值定理条件,从而 -

xex-= =1- -

=(1-x) 即xex2 -x =(1-x)ex(x-x),x在x与x之间 例例

tanx-x00xfi0x-sin00

tanx-

=

sec2x- xfi0x-sin xfi01-cos ,要注意进行化简工作,,要注意进行化简工作,它会使问题变得简单.xfi

2tanxsec2(化简= =xfi0cos3例¥¥limcosxln|xa|例¥¥xfi

ln|ex-ea解limcosxln|x-a|=limcosx ln|x-a 解xfi

ln|ex-ea

xfi

xfialn|ex-ea ex- ex- =cosa x xfiae(x-=cosae-alimex=cosxfi

xfia xfi

x-运用罗必达法则时,因子 例例

-00e00100xfi0- -ee eelim =lim xfi

xfi

50 你还打算做下去吗 分母中x的次数将越来越高, 例例

-00e00100xfi0- e

100=

= xfi0

xfi

ex2

xfi¥

-

ex2=

1

==

50! =xfi ex2

xfi ex21 1例lim(1x)x例xfi0 运用取对数法原式exp{limln(1xxxfi1=exp{1+

1 1

1}=e-12 2(1+例+求 1例+nfi

2)2lim(1+1+1)n=lim(1+1+ 2)2nfi xfi ln(

1=expxfi

+x+ t=x ln(1+t+tt=x

== =exp tfi n1+1 1 1

n2+lim1++

=lim1+

nfi+¥

n2

nfi+¥

=例证明ex‡1+x+x2+x3 例 x=0时,该式中等号成立x„0时, ex=1+x

++R3(x)2! xR3(x)4 x0x之间此时 ex>1+x

+ 综上所述,即得所证例px)13x5x22x3表示为(x+1)的幂的多项式例 令x0=-1,p(-1)= 1)=- p(p1)=- ,

(k‡p(x)=5-13(x+1)+22(x+1)2-12(x2! =5-13(x+1)+11(x+1)2-2(x例将f(x)=lnx点x0=3处展开为带 余项的n阶 例 f(x)=lnx=ln[3+(x-3)]=ln3+ln(1+x-33ux3, ln(1+u)=(-1)k-k

(x>-n得f(x)ln3ln(1u)ln3(-nnkn

k

(x- (x-3)k+(- nk

k

其中x介于3x之间例15.证

在

内可导,证:取 x0˛(a,b),再取异 x0的 x˛(a,b),为端点的区间上用拉氏中值定理, (x)(x (x)(x£f(x0)+f)x-£f(x0)+M(b-a)=可见对任 x˛(a,b),

f(x)

£K,设例 设

上连续

内可导 证:问题转化为 xf)+2f(x)=

j(x)=x2f在[0,1]上满 定理条件

)=2xf(x)+x2f)=例17.设函

上二阶可导证 "x˛[0,1], 2(x)(1-(h)(1-22f(0)=f(x)-f(x)x+1f)2

(0<h(0<x

0=fx)+1f(h)(1-x)2-1fx)x2 f)=1f(h)(1-x)2-1fx) 2£22 (h)£22

f)=1-2x(1-x)1 x˛[0,例18.证 上单调增加x证 lnf(x)=xln(1+x=x[ln(1+x)-lnx令F(t)=lnt,在[x,x+1]上利用拉氏中值定理 x

x0时

上单调增设例 上可导, 设fx证: j(x)=exf j(x)(x)] 上连续单调递增 从而至多只

ex0,

f(x思考:若题 为 (x)j(x)