考点05三角函数（20种题型8个易错考点）

考点05三角函数（20种题型8个易错考点）【课程安排细目表】真题抢先刷，考向提前知二、考点清单三、题型方法四、易错分析五.刷压轴一一、真题抢先刷，考向提前知一．选择题（共2小题）1．（2021•上海）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（）A． B． C． D．【分析】由题意可知，x1∈[0，]，即sinx1∈[0，1]，可得f（x1）∈[2，5]，将存在任意的x1∈[0，]，都存在x2∈[0，]，使得f（x）＝2f（x+θ）+2成立，转化为f（x2+θ）min≤0，，又由f（x）＝3sinx+2，可得，，再将选项中的值，依次代入验证，即可求解．【解答】解：∵x1∈[0，]，∴sinx1∈[0，1]，∴f（x1）∈[2，5]，∵都存在x2∈[0，]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，∴f（x2+θ）min≤0，，∵f（x）＝3sinx+2，∴，，y＝sinx在x∈上单调递减，当时，，∴，故A选项错误，当时，，∴，，故B选项正确，当时，x2+θ，sin（x2+θ）max＝，故C选项错误，当时，，sin（x2+θ）max＝，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．2．（2020•上海）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【分析】容易看出，由α＝β可得出sin2α+cos2β＝1，而反之显然不成立，从而可得出“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的充分不必要条件．【解答】解：（1）若α＝β，则sin2α+cos2β＝sin2α+cos2α＝1，∴“α＝β“是“sin2α+cos2β＝1“的充分条件；（2）若sin2α+cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β，∴“α＝β”不是“sin2α+cos2β＝1”的必要条件，∴“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的充分非必要条件．故选：A．【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，sin2α+cos2α＝1，正弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题．二．填空题（共5小题）3．（2022•上海）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为π．【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得f（x）＝cos2x+1，从而根据周期公式即可求值．【解答】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x＝2cos2x＝cos2x+1，T＝＝π．故答案为：π．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．4．（2022•上海）若tanα＝3，则tan（α+）＝﹣2．【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解答】解：若tanα＝3，则tan（α+）＝＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．（2021•上海）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．【分析】在单位圆中分析可得θ＞，由∈N*，即θ＝，k∈N*，即可求得θ的最小值．【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx＝∠BOx＝），所以θ＞∠AOB＝，因为对任意n∈N*都成立，所以∈N*，即θ＝，k∈N*，同时θ＞，所以θ的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．6．（2020•上海）已知3sin2x＝2sinx，x∈（0，π），则x＝arccos．【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．【解答】解：∵3sin2x＝2sinx，6sinxcosx＝2sinx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，∴cosx＝，故x＝arccos．故答案为：arccos．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．7．（2020•上海）函数y＝tan2x的最小正周期为．【分析】根据函数y＝tanωx的周期为，求出函数y＝tan2x的最小正周期．【解答】解：函数y＝tan2x的最小正周期为，故答案为：．【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．三．解答题（共1小题）8．（2020•上海）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）＝的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+f（﹣x）f（﹣x），x∈[0，]，求g（x）的值域．【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．【解答】解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，所以f（x）＝sin．令sin，故或，整理得或．故解集为{x|或，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sinx．所以g（x）＝＝＝﹣＝﹣sin（2x+）．由于x∈[0，]，所以．，故，故．所以函数g（x）的值域为[﹣．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．二二、考点清单一．任意角的概念一、角的有关概念1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ+α（k∈Z）．【解题方法点拨】角的概念注意的问题注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．二．终边相同的角终边相同的角：k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}【解题方法点拨】终边相同的角的应用（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．三．象限角、轴线角在直角坐标系内讨论角（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．【解题方法点拨】（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．四．弧度制1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．2．弧度制把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．【解题方法点拨】角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．五．弧长公式弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．六．扇形面积公式弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．七．任意角的三角函数的定义任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．八．三角函数线几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．九．三角函数的定义域【概念】函数的定义域指的是函数在自变量x的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的x的范围．三角函数作为一类函数，也有定义域，而且略有差别．【三角函数的定义域】以下所有的k都属于整数．①正弦函数：表达式为y＝sinx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣，2kπ+]单调递增，其他区间单调递减．②余弦函数：表达式为y＝cosx；x∈[（2k﹣1）π，（2k+1）π]，其中在[2kπ﹣π，2kπ]单调递增，其他区间单调递减．③正切函数：表达式为y＝tanx；x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递增．④余切函数：表达式为y＝cotx，x∈（kπ﹣，kπ+），在区间单调递减．⑤正割函数：表达式为y＝secx，x∈（2kπ﹣，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+），有secx•cosx＝1．⑥余割函数：表达式为y＝cscx，x∈（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π），有cscx•sinx＝1．【考点点评】这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定不要忘了补充k∈Z．十．三角函数值的符号三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．十一．三角函数的周期性周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．十二．诱导公式【概述】三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．【公式】①正弦函数：表达式为y＝sinx；有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函数：表达式为y＝cosx；有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函数：表达式为y＝tanx；tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（﹣x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx④余切函数：表达式为y＝cotx；cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（﹣x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．【应用】1、公式：公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin＝cos_α，cos＝sinα．公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．3、在求值与化简时，常用方法有：（1）弦切互化法：主要利用公式tanα＝化成正、余弦．（2）和积转换法：利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．4、注意：（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．十三．运用诱导公式化简求值利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．十四．正弦函数的图象正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ十五．正弦函数的单调性三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．十六．正弦函数的奇偶性和对称性【正弦函数的对称性】正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．十七．余弦函数的图象正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ十八．余弦函数的单调性三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．十九．正切函数的图象正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；递减区间：[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ二十．正切函数的单调性和周期性三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．【正切函数的周期性】正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．二十一．正切函数的奇偶性与对称性三角函数的奇偶性、周期性和对称性1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．二十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．二十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．二十四．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．二十五．同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．二十六．两角和与差的三角函数（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．二十七．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．二十八．半角的三角函数【半角的三角函数】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．二十九．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．三十．三角函数中的恒等变换应用1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．三十一．三角函数应用1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．2．解三角函数应用题的一般步骤：（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；（4）作出结论．【解题方法点拨】1、方法与技巧：（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．2、注意：（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．（2）解决应用问题要注重检验．（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．三十二．解三角形1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面积公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）sinA＝sinB＝sinC＝三三、题型方法一．弧度制（共1小题）1．（2023•青浦区二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转θ（0≤θ≤π）弧度，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为[0，]∪[，π]．【分析】画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，利用图象绕着原点旋转，根据函数的定义即可得出θ的取值集合．【解答】解：画出函数f（x）＝，﹣≤x≤的图象，如图1所示：圆弧所在圆的方程为x2+y2＝1，A（﹣，），B（，），在图象绕原点逆时针旋转的过程中，当点A从图1的位置旋转到（﹣1，0）点时，根据函数的定义知，这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：此时绕着原点旋转弧度为0≤θ≤，若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点B在x轴下方，点A在x轴上方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：此时转过的角度为＜θ＜，不满足题意；若函数图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在x轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：此时转过的角度为≤θ≤π；综上知，θ的可取值集合为[0，]∪[，π]．故答案为：[0，]∪[，π]．【点评】本题考查了函数的定义与图象旋转的应用问题，也考查了数形结合应用问题，属于难题．二．扇形面积公式（共3小题）2．（2023•徐汇区校级三模）已知扇形圆心角α＝60°，α所对的弧长l＝6π，则该扇形面积为54π．【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解．【解答】解：由弧长公式可得，所以扇形面积为．故答案为：54π．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．3．（2023•徐汇区校级三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为θ（0＜θ＜2π），面积为2π，若tan（θ+φ）＝3，则tanφ＝．【分析】由扇形面积公式先求θ，再根据两角和差的正切公式求得结果．【解答】解：已知扇形半径为r＝4，圆心角为θ，∵扇形面积，∴，∴，解得：．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，考查了两角和的正切公式，属于基础题．4．（2023•奉贤区校级模拟）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为704cm2．【分析】设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：，解得r，进而根据扇形的面积公式即可求解．【解答】解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：，解得：r＝，所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2．故答案为：704．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．三．任意角的三角函数的定义（共5小题）5．（2023•徐汇区二模）若角α的终边过点P（4，﹣3），则＝﹣．【分析】利用三角函数的诱导公式以及三角函数的定义进行转化求解即可．【解答】解：＝﹣sin（+α）＝﹣cosα，∵角α的终边过点P（4，﹣3），∴cosα＝＝，则＝﹣cosα＝﹣，故答案为：﹣【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的定义是解决本题的关键．6．（2023•浦东新区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，其终边经过点P（1，2），则sinα＝．【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．【解答】解：角α以Ox为始边，其终边经过点P（1，2），则sinα＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7．（2023•普陀区校级三模）已知角α的终边过点P（﹣1，2），则tanα的值为﹣2．【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，可得结论．【解答】解：∵角α的终边过点P（﹣1，2），∴tanα＝＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8．（2023•杨浦区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，A（，）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；（2）如果，求f（α）•g（α）的值．【分析】（1）由已知结合三角函数定义可求f（α），g（α），然后结合和差角公式展开后，结合同角平方关系可求；（2）由已知结合和差角公式展开化简，然后结合二倍角公式进行化简，代入可求．【解答】解：（1）由题意得，f（α）＝cos（），g（α）＝sin（），若sinα＝m，0＜m＜1，则f（α）+g（α）＝（cosα﹣sinα）+（cosα+sinα）＝cosα＝；（2）由得cos（）＝2sin（），整理得，cosα＝﹣3sinα，则f（α）•g（α）＝cos（）•sin（）＝sin（2）＝cos2α＝＝×＝．【点评】本题主要考查了三角函数定义，还考查了和差角公式，二倍角公式在求解三角函数值中的应用，属于中档题．9．（2023•杨浦区校级三模）已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是．【分析】利用余弦函数的定义，建立方程，结合α是第二象限角，可求x的值．【解答】解：由题意，，∴cosα＝＝∴x2＝3∵α是第二象限角，∴x＝故答案为：【点评】本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．四．三角函数的周期性（共8小题）10．（2023•嘉定区二模）函数y＝sin2x的最小正周期是π．【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：函数y＝sin2x的最小正周期是＝π，故答案为：π．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．11．（2023•普陀区校级模拟）记函数的最小正周期为T．若，且，则ω＝（）A． B． C． D．【分析】由最小正周期可得2＜ω＜4，再由即可得，即可求得．【解答】解：根据最小正周期，可得，解得2＜ω＜4；又，即是函数f（x）的一条对称轴，所以，k∈Z，解得，又2＜ω＜4，当k＝1时，．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．12．（2023•黄浦区二模）函数y＝4cos2x+3的最小正周期为π．【分析】直接利用三角函数的周期公式求解．【解答】解：函数y＝4cos2x+3的最小正周期T＝＝π．故答案为：π．【点评】本题主要考查了三角函数的周期公式，属于基础题．13．（2023•上海模拟）函数y＝sin2（πx）的最小正周期为1．【分析】由二倍角化简得y＝﹣cos2πx+，再由周期公式计算即可．【解答】解：因为y＝sin2（πx）＝＝﹣cos2πx+，所以T＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式的逆用、三角函数的周期公式，属于基础题．14．（2023•奉贤区二模）下列函数中，以π为最小正周期且在区间单调递增的是（）A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝|cosx| D．f（x）＝|sinx|【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：由于f（x）＝|cos2x|的周期为•＝，故A不满足条件；由于f（x）＝|sin2x|的周期为•＝，故B不满足条件；由于f（x）＝|cosx|的最小正周期为•2π＝π，在区间上，f（x）＝|cosx|＝﹣cosx单调递增，故C满足条件；由于f（x）＝|sinx|的最小正周期为•2π＝π，在区间上，f（x）＝sinx单调递减，故D不满足条件，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于基础题．15．（2023•松江区校级模拟）已知函数y＝sin（2ωx+φ），（ω＞0）的最小正周期为1，则ω＝π．【分析】根据三角函数周期的定义和性质求解．【解答】解：，依题意T＝1，∴ω＝π；故答案为：π．【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．16．（2023•宝山区校级三模）已知函数，则函数f（x）的最小正周期是π．【分析】由题意利用二倍角公式以及两角和的正弦公式化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+，进而利用正弦函数的周期性即可求解．【解答】解：因为＝sin2x+cos2x+＝2sin（2x+）+，所以函数f（x）的最小正周期T＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了二倍角公式以及两角和的正弦公式的应用，考查了正弦函数的周期性，考查了函数思想，属于基础题．17．（2023•长宁区二模）（1）求简谐振动y＝sinx+cosx的振幅、周期和初相位φ（φ∈[0，2π））；（2）若函数在区间（0，m）上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；（3）设a＞0，f（x）＝sinax﹣asinx，若函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，先对函数y化简，再结合振幅、周期、初相的定义，即可求解；（2）根据已知条件，结合换元法，以及二次函数的性质，即可求解；（3）根据已知条件，先对f（x）求导，再对a分类讨论，即可求解．【解答】解：（1），所以振幅为，周期为2π，初相为．（2），设，则，当时，y取得极大值，由题意，方程在区间（0，m）上有唯一解，所以，得，故m的取值范围为；（3）f'（x）＝acosax﹣acosx，当0＜a＜1时，因为0＜x＜π，所以0＜ax＜x＜π，进而cosax＞cosx，f'（x）＝a（cosax﹣cosx）＞0，此时，y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，当a＝1时，f（x）＝0，不是严格增函数；当a＞1时，设，则0＜x＜ax＜π，进而cosx＞cosax，f'（x）＜0，此时，y＝f（x）在区间上是严格减函数，综上，若函数y＝f（x）在区间（0，π）上是严格增函数，则0＜a＜1，故a的取值范围为（0，1）．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及三角函数的周期性，属于中档题．五．运用诱导公式化简求值（共1小题）18．（2023•奉贤区校级三模）已知，则＝．【分析】原式利用诱导公式化简，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（+α）＝﹣sinα＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．六．正弦函数的图象（共3小题）19．（2023•青浦区校级模拟）已知f（x）＝sin2x，关于该函数有下列四个说法：①f（x）的最小正周期为2π；②f（x）在[﹣，]上单调递增；③当x∈[，]时，f（x）的取值范围为[﹣，]；④f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：对于f（x）＝sin2x，它的最小正周期为＝π，故①错误；在[﹣，]，2x∈[﹣，]，函数f（x）单调递增，故②正确；当x∈[，]时，2x∈[﹣，]，f（x）的取值范围为[﹣，]，故③错误；f（x）的图象可由g（x）＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．20．（2023•徐汇区校级三模）设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，ωx+∈（，ωπ+），∴＜ωπ+≤3π，求得＜ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．21．（2023•黄浦区校级模拟）已知函数，其中ω＞0，若f（x）在区间上恰有2个零点，则ω的取值范围是（，]．【分析】由题意，根据正弦函数的零点，可得2π＜﹣≤3π，由此求得ω的取值范围．【解答】解：∵函数，其中ω＞0，若f（x）在区间上恰有2个零点，ωx﹣∈（﹣，﹣），∴2π＜﹣≤3π，求得＜ω≤，则ω的取值范围为（，]．故答案为：（，]．【点评】本题主要考查正弦函数的零点，属于中档题．七．正弦函数的单调性（共5小题）22．（2023•奉贤区校级模拟）已知w＞0，函数在区间上单调递减，则w的取值范围是（）A． B．（0，2] C． D．【分析】根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由，得，k∈Z，即函数的单调递减区间为，令k＝0，则函数f（x）其中一个的单调递减区间为：，函数f（x）在区间内单调递减，则满足，得，所以w的取值范围是．故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．23．（2023•黄浦区校级三模）已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么φ的取值范围是．【分析】根据条件，结合y＝sinx的图像与性质即可求出结果．【解答】解：当时，，又因为在上是严格增函数，所以且，即，k∈Z，又，取k＝0，得到，当时，，又，所以，又该函数在上有最小值，所以，得到，综上所述，．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．24．（2023•长宁区校级三模）已知．（1）求方程f（x）＝0的解集；（2）求函数y＝f（x）在[0，π]上的单调增区间．【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的零点求得x值．（2）由题意，利用正弦函数的单调性，求得函数y＝f（x）在[0，π]上的单调增区间．【解答】解：（1）∵＝sin2x+cos2x﹣sin2x＝sin（2x+），∴方程f（x）＝0，即sin（2x+）＝0，∴2x+＝kπ，k∈Z，求得x＝﹣，k∈Z，故方程f（x）＝0的解集为{x|x＝﹣，k∈Z}．（2）对于f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y＝f（x）在[0，π]上的单调增区间为[0，]、[，π]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．25．（2023•黄浦区模拟）设a∈R，f（x）＝sin2x+acosx．（1）是否存在a使得y＝f（x）为奇函数？说明理由；（2）当a＜﹣4时，求证：函数y＝f（x）在区间上是严格增函数．【分析】（1）运用函数的奇偶性的定义，即可求出a的值，进而说明存在；（2）求出函数的导数，y＝f′（x）在上大于0恒成立，结合二次函数判断函数的单调性，即可证明．【解答】解：（1）若f（x）＝sin2x+acosx为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即﹣sin2x+acosx＝﹣（sin2x+acosx），∴2acosx＝0，∴a＝0，则当a＝0时，y＝f（x）为奇函数；（2）证明：∵f（x）＝sin2x+acosx，∴f'（x）＝2cos2x﹣asinx＝2（1﹣2sin2x）﹣asinx＝﹣4sin2x﹣asinx+2，设t＝sinx（0＜t＜1），∴f'（x）＝﹣4t2﹣at+2，开口向下，对称轴为，∵a＜﹣4，∴，则f'（x）＞f'（0）＝2，则当a＜﹣4时，函数y＝f（x）在区间上是严格增函数．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．26．（2023•黄浦区校级三模）已知函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．（1）若函数f（x）在区间[a，]上递增，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，求点Q的坐标．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，结合三角函数的图象性质可得实数a的取值范围；（2）根据对称问题，x1∈[﹣]，求解范围，结合图象即可确定点Q的坐标．【解答】解：函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x＝sin2x+cos2x﹣＝sin（2x+）﹣令，得上是单调递增；∵函数f（x）在区间[a，]上递增，∴即实数a的取值范围是[，）；（2）函数f（x）的图象关于点Q（x1，y1）对称，且x1∈[﹣]，则2x+∈[，]Q在函数图象上，且是一个零点．可得2x+＝0，即x＝﹣∴点Q的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，图象关于点Q（x1，y1）对称，Q在函数图象上，是一个零点是解决本题的关键．属于中档题．八．正弦函数的奇偶性和对称性（共1小题）27．（2023•浦东新区模拟）设（其中），若点为函数y＝f（x）图像的对称中心，B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且|BC|＝4，则下列结论正确的是（）A．函数y＝f（x）的对称轴方程为 B．函数的图像关于坐标原点对称 C．函数y＝f（x）在区间（0，2）上是严格增函数 D．若函数y＝f（x）在区间（0，m）内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：∵（其中），B，C是图像上相邻的最高点与最低点，且|BC|＝＝4，∴ω＝．∵点为函数y＝f（x）图像的对称中心，∴×+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（x﹣）．令x﹣＝kπ+，k∈Z，求得x＝2k+，k∈Z，可得函数的图象的对称轴方程为x＝2k+，k∈Z，故A错误；由于函数＝sin（x﹣﹣）不是奇函数，故它的图像不关于坐标原点对称，故B错误；当x∈（0，2），x﹣∈（﹣，），函数y＝f（x）在区间（0，2）上不单调，故C错误；若函数y＝f（x）在区间（0，m）内有5个零点，x﹣∈（﹣，﹣），则4π＜﹣≤5π，故它在此区间内有且有2个极小值点，故D正确，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．九．余弦函数的图象（共1小题）28．（2023•杨浦区二模）若存在实数φ，使函数f（x）＝cos（ωx+φ）﹣在x∈[π，3π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为[，）．【分析】利用y＝cosx的图像与性质，直接求出函数f（x）的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果．【解答】解：因为，由f（x）＝0，得到，所以或，所以，又因为存在实数φ，使函数f（x）在x∈[π，3π]上有且仅有2个零点，所以，即且，解得．故答案为：[，）．【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．一十．余弦函数的单调性（共1小题）29．（2023•杨浦区校级模拟）函数y＝2cosx的严格减区间为（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【分析】根据余弦函数严格减区间定义即可得出答案．【解答】解：因为y＝2cosx的单调减区间为[2kπ，π+2kπ]，k∈Z，所以y＝2cosx的严格减区间为（2kπ，π+2kπ），k∈Z．故答案为：（2kπ，π+2kπ），k∈Z．【点评】本题主要考查了余弦函数单调性的求解，属于基础题．一十一．正切函数的图象（共1小题）30．（2023•宝山区校级模拟）函数y＝tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）•＝6．【分析】根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量、和的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【解答】解：由图象得，令＝0，即，k＝0时解得x＝2，令＝1，即，解得x＝3，∴A（2，0），B（3，1），∴＝（2，0），＝（3，1），＝（1，1），∴＝（5，1）•（1，1）＝5+1＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了正切函数的图象和向量数量积的坐标运算，根据图象求出对应点的横坐标，再由向量的坐标运算求出结果．一十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题）31．（2023•杨浦区校级三模）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，得出结论．【解答】解：将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin（2x+）的图像，再沿着x轴向右平移个单位，可得y＝sin2x的图像．令2x＝kπ，k∈Z，求得x＝，故y＝sin2x的图像的对称中心为（，0），k∈Z，则得到的函数的图像一个对称中心可以（，0），故选：D．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图像变换规律，正弦函数的图像的对称性，属于中档题．32．（2023•宝山区校级模拟）已知，函数y＝f（x），x∈R的最小正周期为π，将y＝f（x）的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的值是．【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵，函数y＝f（x），x∈R的最小正周期为＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+）．将y＝f（x）的图像向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+2φ+）的图像，根据所得图像关于y轴对称，可得2φ+＝kπ+，k∈Z，则令k＝0，可得φ的值为．故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．33．（2023•徐汇区校级模拟）将函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1、x2，有|x1﹣x2|的最小值为，则φ＝或．【分析】先求解g（x）的解析式，根据|f（x1）﹣g（x2）|＝4可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，结合三角函数的性质|x1﹣x2|的最小值为，即可求解φ的值；【解答】解：由函数f（x）＝2sin2x的图象向右平移φ，可得g（x）＝2sin（2x﹣2φ）不妨设f（x1）取得最大值，g（x2）取得最小值，∴2x1＝+2kπ，2x2﹣2φ＝+2kπ，k∈Z．可得2（x1﹣x2）+2φ＝π∵|x1﹣x2|的最小值为，即x1﹣x2＝±．∴+2φ＝π得φ＝或故答案为：或．【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．34．（2023•黄浦区二模）若函数y＝f（x）的图像可由函数的图像向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得到，且函数y＝f（x）在区间上是严格减函数，则φ＝．【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：由于函数y＝f（x）的图像，由函数＝2（sin2x﹣cos2x）＝2sin（2x﹣）的图像向右平移φ（0＜φ＜π）个单位所得到，所以f（x）＝2sin（2x﹣2φ﹣）．由于函数y＝f（x）在区间上是严格减函数，2x﹣2φ﹣∈[﹣2φ﹣，π﹣2φ﹣]，所以，（k∈Z），即，（k∈Z），故，（k∈Z），由于0＜φ＜π，故φ＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的变换正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．一十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共2小题）35．（2023•浦东新区校级三模）函数在一个周期内的部分取值如表：xf（x）a1a﹣a﹣1则a＝．【分析】根据条件先求出函数的周期和解析式，然后直接代入求a即可．【解答】解：由表格知＝﹣＝＝，即T＝π，即，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），由五点对应法得2×+φ＝，得φ＝＝，则f（x）＝sin（2x+），则a＝f（）＝sin（2×+）＝sin（+）＝cos＝．故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的应用，利用五点法建立方程进行求解是解决本题的关键，是基础题．36．（2023•嘉定区模拟）已知A∈R，实数ω＞0，，函数y＝f（x）的部分图像如图所示，若该函数的最小正零点是，则ω＝2．【分析】根据函数图象得到A＝2，再根据该函数的最小正零点是，由求解．【解答】解：由图象知：A＝2，因为该函数的最小正零点是，所以，则，即ω＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．一十四．三角函数的最值（共6小题）37．（2023•金山区二模）若函数（常数ω＞0）在区间（0，π）没有最值，则ω的取值范围是（0，]．【分析】先求得ωx﹣的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质，即可得解．【解答】解：由x∈（0，π）知，ωx﹣∈（﹣，ωπ﹣），因为函数y在区间（0，π）没有最值，所以﹣＜ωπ﹣≤，解得0＜ω≤，即ω的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．38．（2023•闵行区校级二模）若函数f（x）＝sin（x+φ）+cosx的最小值为﹣2，则常数φ的一个取值为（答案不唯一）．【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为﹣2，列出方程，即可得到结果．【解答】解：因为f（x）＝sin（x+φ）+cosx＝sinxcosφ+cosxsinφ+cosx＝，其中，，且，即cos2φ+1+sin2φ+2sinφ＝4，即2+2sinφ＝4，所以sinφ＝1，则，k∈Z．当k＝0时，，即φ的一个取值为．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题．39．（2023•松江区二模）已知，则的最小值为9．【分析】利用“1”的代换求的最小值即可．【解答】解：＝（）（sin2x+cos2x）＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝，又sin2x+cos2x＝1，，即sinx＝，cosx＝时取等号，则的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查基本不等式，考查三角函数同角关系，属于基础题．40．（2023•嘉定区校级三模）函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，的值域是．【分析】数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，由，可得2x∈，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，∵，∴2x∈．∴cos2x∈．∴f（x）∈．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．41．（2023•杨浦区校级模拟）已知x，y∈R，则表达式cos2x+cos2y﹣cos（xy）（）A．既有最大值，也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值，也无最小值【分析】结合余弦函数，可分别得到cos2x，cos2y，cos（xy）的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断．【解答】解：由cos2x，cos2y∈[0，1]，cos（xy）∈[﹣1，1]，易知cos2x+cos2y﹣cos（xy）∈[﹣1，3]．同时，由于π是无理数，因此当cosx＝cosy＝0时，cos（xy）≠1；当cos2x＝cos2y＝1时，cos（xy）≠0，故两端均不能取得等号．补充证明：二元表达式cos2x+cos2y﹣cos（xy）（x，y∈R）可以取到任意接近﹣1和3的值，从而该式无最值．①取x＝π，y＝nπ（n∈N*），则cos2x+cos2y﹣cos（xy）＝2﹣cos（nπ2）．对任意ε＞0，由抽屉原理，存在N∈N*，使得．再考虑k∈N*，使得kδ＜1＜kδ+δ（由π的无理性，两头都不取等）．则n＝kN时，，从而cos（kNπ2）∈（﹣1，﹣cosδπ），cos2x+cos2y﹣cos（xy）∈（2+cosδπ，3），即证．②取，（n∈N*），则．对任意ε＞0，由抽屉原理，存在N∈N*，使得．再考虑k∈Z，使得（不取等的理由同上）．则n＝kN时，，从而，cos2x+cos2y﹣cos（xy）∈（﹣1，﹣cosδπ），即证．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的最值求解，cos2x，cos2y，cos（xy）均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值，属于中档题．42．（2023•徐汇区校级模拟）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在上的最大值与最小值．【分析】（1）先利用降幂公式、辅助角公式，将f（x）化为Asin（ωx+φ）的形式，再结合正弦函数的单调性求解；（2）利用换元的想法，结合正弦函数的单调性解决问题．【解答】解：（1）由已知得f（x）＝sin2x﹣＝，要求f（x）的单调递增区间，只需，k∈Z，解得≤x≤+kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为[，+kπ]，k∈Z；（2）由x∈得∈[，]，结合y＝sinx在上单调递减，在[]上单调递增，且，sin＝，故≤，所以f（x）在上的最大值与最小值分别为，．【点评】本题考查三角函数的降幂公式和辅助角公式，同时考查了正弦型函数的单调性和最值的求法，属于中档题．一十五．同角三角函数间的基本关系（共3小题）43．（2023•宝山区校级模拟）“sinα＝0”是“cosα＝1”的（）条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【分析】可看出sinα＝0时，cosα＝±1；而cosα＝1时，sinα＝0，从而可得出正确的选项．【解答】解：sinα＝0时，α＝kπ，k∈Z，得出cosα＝±1，∴sinα＝0得不出cosα＝1，即sinα＝0不是cosα＝1的充分条件；cosα＝1时，α＝2kπ，k∈Z，得出sinα＝0，∴sinα＝0是cosα＝1的必要条件．故选：B．【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义，考查了计算能力，属于基础题．44．（2023•静安区二模）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则cosα＝﹣．【分析】利用二倍角的余弦公式化简已知等式可得3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解方程即可求解cosα的值．【解答】解：因为3cos2α﹣8cosα＝5，所以3（2cos2α﹣1）﹣8cosα＝5，整理可得3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝﹣或2（舍去）．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．45．（2023•宝山区校级模拟）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．【分析】由已知等式化简可得sinθ（2cosθ+1）＝0，结合范围θ∈（，π），解得cosθ＝﹣，利用同角三角函数基本关系式可求tanθ，利用二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值．【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，⇒2sinθcosθ+sinθ＝0，⇒sinθ（2cosθ+1）＝0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣＝﹣，∴tan2θ＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．一十六．两角和与差的三角函数（共5小题）46．（2023•虹口区二模）已知x是第二象限的角，且，则＝．【分析】结合诱导公式，同角三角函数的关系式，求得tanx＝﹣，再利用两角和的正切公式，即可得解．【解答】解：由，知sinx＝，因为x是第二象限的角，所以cosx＝﹣＝﹣，所以tanx＝＝﹣，所以＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握诱导公式，同角三角函数的关系式，两角和的正切公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．47．（2023•黄浦区校级三模）在△ABC中，角A、B、C所对的边记作a、b、c．已知，，则B﹣C＝．【分析】利用正弦的和角公式以及正弦定理化简已知关系式可得sin（B﹣C）＝1，再根据B﹣C的范围即可求解．【解答】解：因为bsin（）﹣csin（）＝a，则b×﹣c×（sinB+cosB）＝a，由正弦定理可得：sinBsinC+sinBcosC﹣sinCsinB﹣sinCcosB＝sinA，化简可得：sin（B﹣C）＝，因为A＝，所以﹣，所以B﹣C＝．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到正弦定理，属于基础题．48．（2023•松江区模拟）已知函数，且，则α+β＝．【分析】利用正弦函数的的对称性可得，由此求得α+β的值．【解答】解：∵函数，∴，∵（α≠β），则由正弦函数的对称性可得，所以，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．49．（2023•普陀区校级三模）设函数，其中0＜ω＜2．（1）若f（x）的最小正周期为π，求f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）图像在上存在对称轴，求ω的取值范围．【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出ω，然后利用正弦函数的单调性求解；（2）利用正弦函数y＝sinx的对称轴公式求参数的范围．【解答】解；（1）由题意，，又0＜ω＜2，于是，则ω＝1，则，根据正弦函数的单调递增区间，令，解得，k∈Z，即为f（x）的单调递增区间．（2）当，，注意到题干0＜ω＜2，则，根据正弦函数y＝sinx的对称轴，显然只有k＝0时一条对称轴，于是，解得，结合0＜ω＜2可得，故ω的取值范围为{ω|}．【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．50．（2023•徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2），赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．（1）求ω的值和∠DOE的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置．【分析】（1）首先根据函数的图象求出函数的解析式，进一步求出结果．（2）利用（1）的结论，对问题进行实际应用．【解答】解：（1）由条件，得A＝2，．∵，∴．∴曲线段FBC的解析式为：．∴当x＝0时，．又CD＝，∴．（2）由（1）知．当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，故．设∠POE＝θ，，“矩形草坪”的面积为：＝．∵，故，，S取得最大值．【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的解析式，函数解析式的实际应用，属于基础题型．一十七．二倍角的三角函数（共4小题）51