2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

2.3.1平面向量基本定理(教学设计)

教学设计：平面向量基本定理[教学目标]一、知识与能力：1.掌握平面向量基本定理；2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达。二、过程与方法：1.体会数形结合的数学思想方法；2.培养学生转化问题的能力。三、情感、态度与价值观：1.培养对现实世界中的数学现象的好奇心；2.学习从数学角度发现和提出问题。[教学重点]：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算。[教学难点]：平面向量基本定理。【复习回顾】1.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa。（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0。2.运算定律结合律：λ(μa)=(λμ)a；分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb。3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa。【新课讲解】思考：给定平面内任意两个向量e1，e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？在平面内任取一点O，作OA=e1，OB=e2，OC=a，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N。由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM=λ1e1，ON=λ2e2。由于OC=OM+ON，所以a=λ1e1+λ2e2，也就是说任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式。1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（2）向量的夹角：向量a、b的夹角θ定义为cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中a·b表示向量a、b的数量积。【教学反思】本节课主要讲解了平面向量基本定理，通过实例演示了如何用基底表示任意向量。同时，也介绍了向量的夹角的概念。在教学过程中，需要注意让学生理解基底的概念，以及向量的数量积在夹角计算中的作用。同时，教师也需要引导学生思考，在具体问题中如何选取合适的基底，使问题更容易解决。已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角。当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b。例1（课本P94例1）已知向量e1、e2，求作向量-2.5e1+3e2。【变式训练1】如图，已知向量e1，求作下列向量e2:(1)3e1+2e2;(2)4e1-e2;例2.如图，ABCD的两条对角线相交于点M,且AB=a，AD=b，你能用a，b表示MA，MB，MC和MD吗？【变式训练2】如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB=a，AD=b，试以a、b为基底表示DE、BF。【互动探究】在本例中，若取AC=x，DB=y作为基底，试用x，y表示DE，BF。例3.已知A,B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使OP关于基底(1-t)OA+tOB。{OA，OB}的分解式为OP=【变式训练3】已知a,b不共线，且c=λ1a+λ2b（λ1,λ2∈R），若b//c，则λ1=。三、课堂小结，巩固反思：1.平面向量基本定理。四、课时必记：1、平面向量的基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。五、【课时作业】一、选择题1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A.e1+e2和e1-e2B.3e1-4e2和6e1-8e2C.e1+2e2和2e1+e2D.e1和e1+e2答案：B解析：B中，∵6e1-8e2=2(3e1-4e2)，∴(6e1-8e2)∥(3e1-4e2)，∴3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底。1＝(1,2)，e2＝(3,λ1)，e3＝(λ2,4)，则e1∥e2的充分必要条件是λ1=________。解析：由向量共线的定义可知，e1∥e2当且仅当它们的比例相等，即1/3=2/λ1，解得λ1=6。答案：69.已知向量a＝(2,1)，b＝(1,λ)，c＝(λ,3)，且a∥b，a⊥c，则λ=________。解析：由a∥b可知2/1=1/λ，解得λ=2；由a⊥c可知2λ+3=0，解得λ=-3/2。答案：-3/210.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,λ)，c＝(λ,4)，且a∥b，a⊥c，则λ=________。解析：由a∥b可知1/3=2/λ，解得λ=6；由a⊥c可知λ+8=0，解得λ=-8。答案：-811.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,λ)，c＝(λ,4)，且a⊥b，a∥c，则λ=________。解析：由a⊥b可知1/3=2/λ，解得λ=6；由a∥c可知1/λ=2/4，解得λ=2。答案：212.已知向量a＝(2,1)，b＝(1,λ)，c＝(λ,3)，且a⊥b，a∥c，则λ=________。解析：由a⊥b可知2/1=λ/1，解得λ=2；由a∥c可知2/λ=1/3，解得λ=6。答案：613.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,λ)，c＝(λ,4)，且a∥b，b⊥c，则λ=________。解析：由a∥b可知1/3=2/λ，解得λ=6；由b⊥c可知3λ+8=0，解得λ=-8/3。答案：-8/314.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,λ)，c＝(λ,4)，且a⊥b，b∥c，则λ=________。解析：由a⊥b可知1/3=2/λ，解得λ=6；由b∥c可知3/λ=λ/4，解得λ=±2；由a⊥b可知λ=±6/2=±3。答案：±3以e1，e2为基底，表示PS与QS，设PS＝xe1＋ye2，QS＝ze1＋we2.则由平行四边形法则可得：x＋z＝2，y＋w＝0，2x＋3y＝PS→＝OQ→＋QS→＝(2e1＋3e2)＋(ze1＋we2)，代入y＝－w可解得：x＝12PS→－32QS→，y＝－12PS→＋12QS→，z＝32PS→－12QS→，w＝－12PS→＋12QS→.S是线段OQ