高考数学压轴难题归纳总结培优专题1.5 极值点偏移第三招-含对数式的极值点偏移问题 (含解析)

前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略：若SKIPIF1<0的极值点为SKIPIF1<0，则根据对称性构造一元差函数SKIPIF1<0，巧借SKIPIF1<0的单调性以及SKIPIF1<0，借助于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0SKIPIF1<0，比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，即比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小．有了这种解题策略，我们师生就克服了解题的盲目性，细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：根据SKIPIF1<0建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解．★例.已知函数SKIPIF1<0（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）设SKIPIF1<0，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（3）若函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0中点的横坐标为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.法二：构造以SKIPIF1<0为主元的函数，设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对数平均定义：SKIPIF1<0对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF1<0（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.只证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.不失一般性，可设SKIPIF1<0.证明如下：（I）先证：SKIPIF1<0……不等式SKIPIF1<0构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，从而不等式成立；（II）再证：SKIPIF1<0……不等式SKIPIF1<0构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，从而不等式成立；综合（I）（II）知，对SKIPIF1<0，都有对数平均不等式SKIPIF1<0成立，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.例题第（3）问另解：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故要证SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证.★已知函数SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点.求证：SKIPIF1<0由题于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于不同两点，易得出则SKIPIF1<0∴上式简化为:SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0招式演练：★已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直.（1）试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小，并说明理由；（2）若函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）见解析试题解析：（1）依题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由切线方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）证明：不妨设SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.要证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，也就是SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以即证SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），由SKIPIF1<0故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0得证.所以SKIPIF1<0.点睛：本题主要考查函数导数与切线的关系，考查利用导数来证明不等式，考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线的问题，关键的突破口在与切点和斜率，本题中已知切线和某条直线垂直，也即是给出斜率，利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析，通过转化后再利用导数来证明.★已知函数SKIPIF1<0（Ⅰ）讨论函数SKIPIF1<0的单调区间与极值；（Ⅱ）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，且SKIPIF1<0取得最大值时，设SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围，并证明：SKIPIF1<0【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大为1；（Ⅲ）证明过程见解析（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当SKIPIF1<0取最大值1时，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，欲证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则只需证明SKIPIF1<0，也就是证明SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以原不等式成立.★已知函数，g(x)=b(x+1)，其中（1）若，讨论的单调区间；（2）已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，证明：.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由已知得，当时，，；当时，．故若，在上单调递增，在上单调递减；故若，在上单调递减，在上单调递增．取，即只需证明成立．即只需证成立．∵p'(t)=1成立．故原命题得证．★已知函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与直线SKIPIF1<0垂直，求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；（2）若方程SKIPIF1<0有两个不相等的实数解SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；