高考数学压轴难题归纳总结培优专题1.7 极值点偏移第五招-函数的选取 (含解析)

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数.那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.★已知函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其极值点为SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的取值范围； （2）求证：SKIPIF1<0；（3）求证：SKIPIF1<0； （4）求证：SKIPIF1<0．解：（1）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0至多有一个零点，舍去；则必有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，要使SKIPIF1<0有两个不同的零点，则须有SKIPIF1<0．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0）．（3）由所证结论可以看出，这已不再是SKIPIF1<0的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：（ii）构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（4）（i）同上；（ii）构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，但因式SKIPIF1<0的符号不容易看出，引进辅助函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（iii）将SKIPIF1<0代入（ii）中不等式得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点评：虽然做出来了，但判定因式SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然SKIPIF1<0的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：SKIPIF1<0，记函数SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0．接下来我们选取函数SKIPIF1<0再解（3）、（4）两问．（3）（i）SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，有极小值SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0．【点评】用函数SKIPIF1<0来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相加得SKIPIF1<0．注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定SKIPIF1<0的范围？这是因为SKIPIF1<0的范围SKIPIF1<0较SKIPIF1<0的范围SKIPIF1<0小，以第（3）问为例，若给定SKIPIF1<0，因为所构造的函数为SKIPIF1<0，这里SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0无意义，被迫分为两类：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，结论成立；②当SKIPIF1<0时，类似于原解答．而给字SKIPIF1<0，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的范围均可，请读者自己体会其中差别．【思考】练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？提示：用函数SKIPIF1<0来做SKIPIF1<0，用函数SKIPIF1<0来做SKIPIF1<0．练习2：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的单调区间；（2）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个零点，求证SKIPIF1<0.提示：将SKIPIF1<0，两边取对数转化为指数方程处理.【招式演练】★已知函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.只要证：SKIPIF1<0即证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的单调性知，只需证：SKIPIF1<0，同理构造函数SKIPIF1<0，利用单调性证明，下略.★已知SKIPIF1<0的图像上有SKIPIF1<0两点，其横坐标为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）证明：SKIPIF1<0；（2）证明：SKIPIF1<0.又构造函数：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，由于SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，也即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0成立.综上：即证SKIPIF1<0成立.从而SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，同理得出：SKIPIF1<0.综上：即证SKIPIF1<0成立，也即原不等式SKIPIF1<0成立.★已知函数SKIPIF1<0．（1）若曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；（2）求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值；（3）若函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；（3）证明见解析.试题解析：（1）因为点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以切线的斜率为0，所以切线方程为SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0；④当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0．综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，所以原不等式成立．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，所以原不等式成立．【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对SKIPIF1<0进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数SKIPIF1<0，然后利用导数求其最小值来求.★已知函数SKIPIF1<0.（1）当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值；（2）令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为单调递增函数，求SKIPIF1<0的取值范围；（3）当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交于两点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的导函数.若正常数SKIPIF1<0满足条件SKIPIF1<0.证明：SKIPIF1<0<0.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3），理由见解析用分离参数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即求SKIPIF1<0的最大值.（3）有两个实根，，两式相减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．要证：SKIPIF1<0，只需证：，令可证.试题解析：（1）SKIPIF1<0函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以．于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0要证：SKIPIF1<0，只需证：只需证：．(*)令，∴(*)化为，只证即可．SKIPIF1<0在（0，1）上单调递增，，即．∴．★已知函数f（1）当x>1时，求f(x)（2）若对于任意x∈[e,（3）若x1≠x2【答案】⑴详见解析；⑵详见解析.试题解析：⑴f'(x)=①k≤0时,因为x>1,所以f函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，无单调递减区间,无极值；②当k>0时，令lnx-k=0,解得x=当1<x<ek时，f所以函数f(x)的单调递减区间是(1,ek)在区间(1,+∞)上的极小值为f(e⑵由题意，f(x)-4即问题转化为(x-4)lnx-(k+1)x<0对于即k+1>(x-4)lnx令g(x)=(x-4)ln令t(x)=4lnx+x-4,x∈[所以t(x)在区间[e,e2所以g(x)在区间[e,要使k+1>(x-4)lnxx对于又f(x1构造函数h(x)=f(x)-f(即h(x)=xlnh因为x∈(0,ek),所以所以函数h(x)在区间(0,ek而h(ek所以f(x1)<f(e2k点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．★已知函数SKIPIF1<0(Ⅰ)求SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅱ）设SKIPIF1<0极值点为SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0【答案】（1）增区间为：SKIPIF1<0减区间为：SKIPIF1<0；（2）见解析.试题解析：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得:SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得增区间为：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得减区间为：SKIPIF1<0（Ⅱ）要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0由（Ⅰ）知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，SKIPIF1<0在上是增函数，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0★已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，当SKIPIF1<0时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，利用导数研究函数SKIPIF1<0单调性，确定其最值：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，即可证得结论.试题解析：(1)SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0递增；SKIPIF1<0递减综上：∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0，单调减区间为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调增区间为SKIPIF1<0即证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数SKIPIF1<0.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.★已知函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称.（1）不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的最大值；（2）设SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的实根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在区间SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）1（2）见解析SKIPIF1<0：要证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.利用导数可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即得SKIPIF1<0试题解析：（1）由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0单调递增.从而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得证.★已知函数SKIPIF1<0为实数)的图像在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.（1）求实数SKIPIF1<0的值及函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）设函数SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.【答案】（1）函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；（2）见解析.★已知SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0的单调区间；（Ⅱ）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个零点，求证：SKIPIF1<0.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析:（Ⅰ）根据导数SKIPIF1<0，分类讨论，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即可得出单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0．不妨设SKIPIF1<0，由条件知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图像两交点的横坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用单调性只需证SKIPIF1<0构造函数利用单调性证明．点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．★已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若函数SKIPIF1<0为定义域上的单调函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（Ⅱ）若函数SKIPIF1<0存在两个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0．（2）详见解析.②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0单调递增，不符合题意．综上，若函数SKIPIF1<0为定义域上的单调函数，则实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（Ⅱ）因为函数SKIPIF1<0有两个极值点，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等的实根，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不等的实根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF