河北邢台市南和一中2023年数学高一下期末监测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某快递公司在我市的三个门店，，分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店，与门店都相距，而门店位于门店的北偏东方向上，门店位于门店的北偏西方向上，则门店，间的距离为（）A． B． C． D．2．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．设等差数列的前n项和为，首项，公差，，则最大时，n的值为()A．11 B．10 C．9 D．84．以圆形摩天轮的轴心为原点，水平方向为轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标系.设摩天轮的半径为米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点，起始时点在的终边上，绕按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为（弧度/分），经过分钟后，到达，记点的横坐标为，则关于时间的函数图象为（）A． B．C． D．5．在中，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥中，底面边长为1．侧棱长为2，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．一组数平均数是，方差是，则另一组数，的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．8．已知数列是公比为2的等比数列，满足，设等差数列的前项和为，若，则（）A．34B．39C．51D．689．等比数列中,,,则公比()A．1 B．2 C．3 D．410．一位妈妈记录了孩子6至9岁的身高（单位：cm），所得数据如下表：年龄（岁）6789身高（cm）118126136144由散点图可知，身高与年龄之间的线性回归方程为，预测该孩子10岁时的身高为A．154 B．153 C．152 D．151二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．给出下列语句：①若为正实数，，则；②若为正实数，，则；③若，则；④当时，的最小值为，其中结论正确的是___________．12．底面边长为，高为的直三棱柱形容器内放置一气球，使气球充气且尽可能的膨胀（保持球的形状），则气球表面积的最大值为_______．13．若则的最小值是__________．14．在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为______.15．已知平行四边形的周长为，，则平行四边形的面积是_______16．已知线段上有个确定的点（包括端点与）.现对这些点进行往返标数（从…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）.如图：在点上标，称为点，然后从点开始数到第二个数，标上，称为点，再从点开始数到第三个数，标上，称为点（标上数的点称为点），……，这样一直继续下去，直到，，，…，都被标记到点上，则点上的所有标记的数中，最小的是_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀，并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据（单位：）和使用了电子节水阀20天的日用水量数据，并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.48，使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图：（1）试估计该家庭使用电子节水阀后，日用水量小于0.35的概率；（2）估计该家庭使用电子节水阀后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）18．设，求函数的最小值为__________．19．如图，圆锥中，是圆的直径，是底面圆上一点，且，点为半径的中点，连.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当是边长为4的正三角形时，求点到平面的距离.20．已知圆经过，，三点．(1)求圆的标准方程；(2)若过点N的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．21．如图所示，平面平面，四边形为矩形，，点为的中点.(1)若，求三棱锥的体积；(2)点为上任意一点，在线段上是否存在点，使得?若存在，确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据题意，作出图形，结合图形利用正弦定理，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，依题意知，，，由正弦定理得：，则.故选C.【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答中根据题意作出图形，合理使用正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、B【解析】

试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．考点：线性规划问题．3、B【解析】

由等差数列前项和公式得出，结合数列为递减数列确定，从而得到最大时，的值为10.【详解】由题意可得等差数列的首项，公差则数列为递减数列即当时，最大故选B。【点睛】本题对等差数列前项和以及通项公式，关键是将转化为，结合数列的单调性确定最大时，的值为10.4、B【解析】

根据题意，点的横坐标，由此通过特殊点的坐标，判断所给的图象是否满足条件，从而得出结论.【详解】根据题意可得，振幅，角速度，初相，点的横坐标，故当时，，当时，为的最大值，故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的实际应用以及余弦型函数图象的特征，其中，求出函数模型的解析式是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.5、A【解析】

可借助直线方程和平面直角坐标系，代换出之间的关系，再结合向量的数量积公式进行求解即可【详解】如图所示：设直线方程为：，，，由得，可设，则，，，，当时，，故故选A【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量法在几何中的应用，属于中档题6、B【解析】

可采用建立空间直角坐标系的方法来求两条异面直线所成的夹角，【详解】如图所示，以正方形ABCD的中心为坐标原点，DA方向为x轴，AB方向为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，，，由几何关系可求得，，，，为中点，,，，答案选B.【点睛】解决异面直线问题常用两种基本方法：异面直线转化成共面直线、空间向量建系法7、B【解析】

直接利用公式：平均值方差为，则的平均值和方差为：得到答案.【详解】平均数是，方差是，的平均数为：方差为：故答案选B【点睛】本题考查了平均数和方差的计算：平均数是，方差是，则的平均值和方差为：.8、D【解析】由数列是公比为的等比数列，且满足，得，所以，所以，设数列的公差为，则，故选D.9、B【解析】

将与用首项和公比表示出来，解方程组即可.【详解】因为，且，故：，且，解得：，即，故选：B.【点睛】本题考查求解等比数列的基本量，属基础题.10、B【解析】试题分析：根据题意，由表格可知，身高y与年龄x之间的线性回归直线方程为，那么可知回归方程必定过样本中心点，即为（7,131）代入可知，=65，预测该学生10岁时的身高，将x=10代入方程中，即可知为153，故可知答案为B考点：线性回归直线方程点评：主要是考查了线性回归直线方程的回归系数的运用，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③.【解析】

利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据的范围可求得的范围，根据对号函数图象可知④错误.【详解】①，为正实数，，即，可知①正确；②若，，，则，可知②错误；③若，可知，则，即，可知③正确；④当时，，由对号函数图象可知：，可知④错误.本题正确结果：①③【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型.12、【解析】由题意，气球充气且尽可能地膨胀时，气球的半径为底面三角形内切圆的半径

∵底面三角形的边长分别为，∴底面三角形的边长为直角三角形,利用等面积可求得∴气球表面积为4π.13、【解析】

根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.14、1【解析】

根据弧长公式求解【详解】因为圆心角所对弧长等于半径，所以【点睛】本题考查弧长公式，考查基本求解能力，属基础题15、【解析】

设，根据条件可以求出，两边平方可以得到关系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的关系式，联立求出的值，过作垂直于，设，则可以表示，利用勾股定理，求出的值，确定长，即求出平行四边形的面积【详解】设又，由余弦定理将代入，得到将（2）代入（1）得到可以解得：(另一种情况不影响结果)，过作垂直于，设,则，所以填写【点睛】几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.16、【解析】

将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，则，令，即可得．【详解】依照题意知，标有2的是1+2，标有3的是1+2+3，……，标有2019的是1+2+3+……+2019，将将线段上的点考虑为一圆周，所以共有16个位置，利用规则，可知标记2019的是，2039190除以16的余数为6，即线段的第6个点标为2019，，令，，解得，故点上的所有标记的数中，最小的是3.【点睛】本题主要考查利用合情推理，分析解决问题的能力．意在考查学生的逻辑推理能力，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）0.48（2）（）【解析】

（1）计算日用水量小于0.35时，频率分布直方图中长方形面积之和即可；（2）根据频率分布直方图计算出使用电子节水阀后日均节水量的平均值，再求出年节水量即可.【详解】（1）根据直方图，该家庭使用电子节水阀后20天日用水量小于0.35的频率为，因此该家庭使用电子节水阀后日用水量小于0.35的概率的估计值为0.48.（2）该家庭使用了电子节水阀后20天日用水量的平均数为.估计使用电子节水阀后，一年可节省水（）.【点睛】本题考查对频率分布直方图的理解，以及由频率分布直方图计算平均数，属基础题.18、9【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由得，则当且仅当时，上式取“=”，所以.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由平面，证得，再由为等边三角形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；（Ⅱ）利用等体积法，即可求得点到平面的距离.【详解】（Ⅰ）证明：在圆锥中，则平面，又因为平面，所以，因为，，所以，又，所以为等边三角形，因为为中点，所以，又，所以平面；（Ⅱ）依题意，，因为为直径，所以，又，所以，中，边上的高为，的面积为，又，，则面积为，所以，解得.【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与证明，以及利用等体积法求解点面距，其中解答中熟练线面位置关系的判定定理，以及合理运用等体积法的运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20、(1)(2)30°或90°．【解析】

（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆的一般方程，再化为标准方程；解法二：求出线段和的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算为圆的半径，即可写出圆的标准方程；（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，并对直线的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线的斜率不存在，得出直线的方程为，验算圆心到该直线的距离为；二是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为得出关于的方程，求出的值．结合前面两种情况求出直线的倾斜角．【详解】（1）解法一：设圆的方程为，则∴即圆为，∴圆的标准方程为；解法二：则中垂线为,中垂线为，∴圆心满足∴，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当斜率不存在时，即直线到圆心的距离为1，也满足题意，此时直线的倾斜角为90°，②当斜率存在时，设直线的方程为，由弦长为4，可得圆心到直线的距离为，，∴，此时直线的倾斜角为30°，综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．【点睛】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．21、(1)；(2)存在，为中点，证明见解析.【解析】

（1）先根据面积垂直的性质得到平面；再由题中数据，结合棱锥体积公式，即可求出结果；（2）先