高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定课件新人教B版选修4-

1.3.2圆内接四边形的性质与判定1.了解圆内接四边形的概念,掌握圆内接四边形的性质定理及其应用.2.理解圆内接四边形的判定定理,并能解决有关问题.3.了解反证法在证明问题中的应用.1.圆内接四边形的性质定理

【做一做1-1】

已知四边形ABCD内接于圆O,∠A=25°,则∠C等于(

)°°°°解析:∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A+∠C=180°.又∠A=25°,∴∠C=180°-∠A=155°.答案:D【做一做1-2】

已知四边形ABCD内接于圆O,延长AB到点E,∠ADC=32°,则∠CBE等于(

)°°°°解析:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠CBE=∠ADC=32°.答案:A归纳总结

1.利用性质定理,可以先借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.2.利用性质定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形等.2.圆内接四边形的判定定理

【做一做2-1】

下列四边形的四个顶点一定共圆的是

(

)A.梯形

B.矩形C.平行四边形 D.菱形解析:矩形的对角互补,则矩形的四个顶点一定共圆.答案:B【做一做2-2】

如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:四边形ABCD内接于圆.证明∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.则∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D,∴∠D+∠ABC=180°,∴四边形ABCD内接于圆.反证法剖析反证法是一种间接证明方法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导出矛盾,从而否定假设,达到肯定原命题正确的一种方法.用反证法证明一个命题的步骤为:(1)反设,(2)归谬,(3)结论.反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的,例如是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n-1)个;至多有一个/至少有两个等.归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,推理必须严谨,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水.导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾,与已知的公理、定义、定理、公式矛盾,与反设矛盾,自相矛盾等.对于一些从正面难以说明的问题,反证法往往有着出奇制胜的作用.例如,如图,已知四边形ABCD中,∠1=∠2,下面证明A,B,C,D四点共圆.由A,B,D三点可以确定一个圆,设该圆为☉O.假设A,B,C,D四点不共圆,则点C在☉O外部或内部.(1)如果点C在☉O的外部(如图①).设BC与圆相交于点E,连接AE.∵∠1=∠AEB,∠1=∠2,∴∠2=∠AEB.而∠AEB是△AEC的外角,∴∠AEB>∠2,这与∠2=∠AEB相矛盾,故点C不能在圆外.(2)如果点C在☉O的内部(如图②),延长BC与圆相交于点E,连接AE.则∠1=∠AEB,而∠1=∠2,∴∠2=∠AEB.但是∠2是△AEC的外角,∴∠2>∠AEB,这与∠2=∠AEB矛盾,∴点C不能在圆内.综上(1)(2)所述,可知点C在圆上.∴A,B,C,D四点共圆.名师点拨该结论可作为定理直接应用:与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内的四点共圆.题型一题型二【例1】

如图,在△ABC中,E,D,F分别为AB,BC,AC的中点,且AP⊥BC于点P.求证:E,D,P,F四点共圆.分析连接PF,转化为证明∠FED=∠FPC,利用中点证明∠FED=∠C,利用AP⊥BC证明PF=FC,得∠C=∠FPC,即得出∠FED=∠FPC.题型一题型二证明如图,连接PF.∵AP⊥BC,F为AC的中点,∴PF是Rt△APC斜边上的中线.∴PF=FC,∴∠FPC=∠C.∵E,F,D分别为AB,AC,BC的中点,∴EF∥CD,ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形.∴∠FED=∠C,∴∠FPC=∠FED.∴E,D,P,F四点共圆.题型一题型二反思判定四点共圆的方法:(1)如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆;(4)与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内的四点共圆.题型一题型二【例2】

如图,已知四边形ABCD内接于☉O,延长AB和DC相交于点E,EG平分∠AED,且与BC,AD分别交于点F,G.求证:∠CFG=∠DGF.分析由于∠BEF=∠DEG,转化为证明△EBF∽△EDG,又∠BFE与∠CFG是对顶角,问题获证.题型一题型二证明∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EBF=∠ADE.又EG是∠AED的平分线,则∠BEF=∠DEG,∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB=∠DGF.又∠EFB=∠CFG,∴∠CFG=∠DGF.反思当已知条件中出现圆内接四边形时,常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件.123451.已知四边形ABCD内接于圆O,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D=

.

解析:∵圆的内接四边形的对角互补,∴∠A+∠C=180°.又∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A=40°,∠B=60°,∠C=140°.又∠B+∠D=180°,∴∠D=180°-60°=120°.答案:120°123452.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ACB=70°,CF是△ABC的边AB上的高,FP⊥BC于点P,FQ⊥AC于点Q,则∠CQP的大小为

.

解析:∵FP⊥BC,FQ⊥AC,∴∠FPC+∠FQC=90°+90°=180°.∴四边形FPCQ内接于圆.∴∠CQP=∠CFP.又∠A=60°,∠ACB=70°,∴∠B=50°,∴∠PFB=90°-∠B=40°.又CF是△ABC的边AB上的高,∴∠CFP=90°-∠PFB=50°.∴∠CQP=50°.答案:50°123453.如图,AB为☉O的直径,C,D是☉O上的两点,∠BAC=20°,解析:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°.又四边形ABCD内接于圆O,∴∠ABC+∠ADC=180°.∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.则在△ADC中,∠DAC+∠DCA=70°.∴∠DAC=35°.答案:35°123454.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD,BC分别交于E,F两点.求证:C,D,E,F四点共圆.分析连接EF.由∠B+∠AEF=180°,∠B+∠C=180°,可得∠AEF=∠C,即四边形EFCD的一个外角等于它的内对角,故C,D,E,F四点共圆.12345证明如图,连接EF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠B+∠C=180°.∵四边形ABFE内接于圆,∴∠B+∠AEF=180°.∴∠AEF=∠C.∴C,D,E,F四点共圆.123455.如图,AB,CD都是圆的弦,且AB∥CD,