固有频率与振型

固有频率与振型第1页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications设n自由度系统运动微分方程的解为即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为多自由度系统固有频率主振型第2页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications将解式代入系统运动微分方程，并消去，得到多自由度系统固有频率主振型第3页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications特征矩阵要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于是得到该系统的频率方程(或特征方程)。式是关于ω2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。多自由度系统固有频率主振型第4页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications可得到前乘以下面对其取值情况进行讨论。由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正定的，因此有于是，得到多自由度系统固有频率主振型第5页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。一般的振动系统的n个固有频率的值互不相等(也有特殊情况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为其中最低阶固有频率ω1称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。

多自由度系统固有频率主振型第6页，课件共47页，创作于2023年2月对应于ωi可以求得A(i)，它满足返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsA(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也称固有振型或主模态。对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型多自由度系统固有频率主振型第7页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的n阶主振型在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并进而确定其它元素的过程称为归一化。令，于是可得第i阶主振型矢量为多自由度系统固有频率主振型第8页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。特征矩阵逆矩阵乘以代入比较

所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。任何非零列成比例多自由度系统固有频率主振型用矩阵A的第i

行第j

列的代数余子式把第j

行第i

列的元素替换掉得到就是A的伴随矩阵，记作adjA。第9页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有特征矩阵频率方程求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩阵adjL将ωi值代入而求出.

代入位移方程多自由度系统固有频率主振型第10页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications例1图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。解：选择x1、x2、x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为将M和K代入频率方程多自由度系统固有频率主振型第11页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications解方程得到求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵多自由度系统固有频率主振型第12页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将ω1值代入，得到第一阶主振型为得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示多自由度系统固有频率主振型第13页，课件共47页，创作于2023年2月归一化后，即令返回首页TheoryofVibrationwithApplications=0主振型也可由式求得代入可得主振型多自由度系统固有频率主振型第14页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications例2在例1中，若k1=0,求系统的固有频率和主振型。相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为解：特征矩阵为可得到频率方程多自由度系统固有频率主振型第15页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications解出得到三个固有频率分别代入的第三列归一化后，得到三个主振型多自由度系统固有频率主振型第16页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩阵是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的外力的合力为零，是动量守恒系统。

多自由度系统固有频率主振型第17页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications例4有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。假设钢丝中的拉力T很大，因而各点的横向位移不会使拉力有明显的变化。设m1=m2=m3=m

，尺寸如图所示，试用位移方程求该系统的固有频率和主振型。解：系统的质量矩阵是

其柔度矩阵可按柔度影响系数求出多自由度系统固有频率主振型第18页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications首先仅在m1质量处施加水平单位力F=1m1位移是m2位移是m3位移是画出m1的受力图。根据平衡条件，得m1由图中三角形的几何关系可解出多自由度系统固有频率主振型第19页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications写出柔度矩阵系统的特征矩阵为多自由度系统固有频率主振型第20页，课件共47页，创作于2023年2月得频率方程，即得返回首页TheoryofVibrationwithApplications求出各根，按递降次序排列于是得到系统的固有频率多自由度系统固有频率主振型第21页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications为求系统的主振型，先求出adjL的第一列代入各阶主振型归一化多自由度系统固有频率主振型第22页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications主振型的正交性主振型矩阵与正则振型矩阵主坐标和正则坐标多自由度系统主坐标和正则坐标第23页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplicationsn自由度的振动系统，具有n个固有频率和与之对应的n阶主振型。且这些主振型之间存在着关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性。对应于两边左乘转置，然后右乘

相减

多自由度系统主坐标和正则坐标第24页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications表明，对应于不同固有频率的主振型之间，既关于质量矩阵相互正交，又关于刚度矩阵相互正交，这就是主振型的正交性。还可以证明，零固有频率对应的主振型也必定与系统的其它主振型关于质量矩阵和刚度矩阵正交。

Ki称为第i阶主刚度或第i阶模态刚度；Mi称为第i阶主质量或第i阶模态质量。令j=i,多自由度系统主坐标和正则坐标第25页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications可见，由于主振型的正交性，不同阶的主振动之间不存在动能的转换，或者说不存在惯性耦合。同样可以证明第i阶固有振动的广义弹性力在第j阶固有振动的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同阶固有振动之间也不存在势能的转换，或者说不存在弹性耦合。对于每一个主振动来说，它的动能和势能之和是个常数。在运动过程中，每个主振动内部的动能和势能可以互相转化，但各阶主振动之间不会发生能量的传递。因此，从能量的观点看，各阶主振动是互相独立的，这就是主振动正交性的物理意义。多自由度系统主坐标和正则坐标第26页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为主振型矩阵或模态矩阵，即根据主振型的正交性，可以导出主振型矩阵的两个性质主质量矩阵主刚度矩阵多自由度系统主坐标和正则坐标第27页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications使MP由对角阵变换为单位阵将主振型矩阵的各列除以其对应主质量的平方根，即这样得到的振型称为正则振型。正则振型的正交关系是第i阶正则振型第i阶固有频率多自由度系统主坐标和正则坐标第28页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications以各阶正则振型为列，依次排列成一个n×n阶方阵，称此方阵为正则振型矩阵，即由正交性可导出正则矩阵两个性质谱矩阵

多自由度系统主坐标和正则坐标第29页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications在一般情况下，具有有限个自由度振动系统的质量矩阵和刚度矩阵都不是对角阵。因此，系统的运动微分方程中既有动力偶合又有静力偶合。对于n自由度无阻尼振动系统，有可能选择这样一组特殊坐标，使方程中不出现偶合项亦即质量矩阵和刚度矩阵都是对角阵，这样每个方程可以视为单自由度问题，称这组坐标为主坐标或模态坐标。由前面的讨论可知，主振型矩阵AP与正则振型矩阵AN，均可使系统的质量矩阵和刚度矩阵转换成为对角阵。因此，可利用主振型矩阵或正则振型矩阵进行坐标变换，以寻求主坐标或正则坐标。多自由度系统主坐标和正则坐标第30页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.主坐标首先用主振型矩阵进行坐标变换，即主坐标矢量

这组坐标变换的物理意义，可由展开式看出多自由度系统主坐标和正则坐标第31页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications即原物理坐标的各位移值，都可以看成是由n个主振型按一定的比例组合而成。新坐标比例因子系统各坐标值正好与第一阶主振型相等，即每个主坐标的值等于各阶主振型分量在系统原物理坐标中占有成分的大小。如果令则可得多自由度系统主坐标和正则坐标第32页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications将式由主振型矩阵的两个性质前乘以由于主质量矩阵和主刚度矩阵都是对角阵，所以方程式中无偶合，且为相互独立的n个自由度运动微分方程。即第i阶主质量或模态质量第i阶主刚度或模态刚度第i阶主质量多自由度系统主坐标和正则坐标第33页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications由物理坐标到模态坐标的转换，是方程解耦的数学过程。从物理意义上讲，是从力的平衡方程变为能量平衡方程的过程。在物理坐标系统中，质量矩阵和刚度矩阵一般是非对角阵，使运动方程不能解耦。而在模态坐标系统中，第i

个模态坐标代表在位移向量中第i阶主振型（模态振型）所作的贡献。任何一阶主振型的存在，并不依赖于其他主振型是否同时存在。这就是模态坐标得以解耦的原因。因此，位移响应向量是各阶模态贡献的叠加的结果，而不是模态耦合的结果。各阶模态之间是不耦合的。多自由度系统主坐标和正则坐标第34页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications2.正则坐标用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设正则坐标矢量前乘以由正则振型矩阵的两个性质多自由度系统主坐标和正则坐标第35页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications3.位移方程的坐标变换设系统的位移方程前乘以单位矩阵的转置矩阵谱矩阵的逆矩阵

多自由度系统主坐标和正则坐标第36页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications例5试求例1中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。由质量矩阵

，可求出主质量矩阵解：将在例1中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵多自由度系统主坐标和正则坐标第37页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications于是，可得各阶正则振型以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵多自由度系统主坐标和正则坐标第38页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications由刚度矩阵可求出谱矩阵可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为多自由度系统主坐标和正则坐标第39页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications在前面的讨论中，曾假设系统的固有频率均不相等，而每个固有频率对应一个主振型。但复杂系统中也会出现两个或两个以上频率相等或相近的情形，这时相对应的主振型就不能唯一地确定。为了说明这一点，假设频率方程有二重根。可写出线性组合说明对应于ω0的主振型不能唯一地确定

两个任意常数多自由度系统固有频率相等的情况第40页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications因此，当系统具有重根时，其等固有频率的主振型要根据各振型间的正交性来确定。不仅所选定的A(1)和A(2)之间应满足对M、K的正交关系，而且还必须满足与其它振型间关于M、K的正交关系。例6图示系统是由两个质量均为m的质点与一无重刚杆组成，且两质点又分别与弹簧常数为k的弹簧相连。试求该系统的固有频率及主振型。多自由度系统固有频率相等的情况第41页，课件共47页，创作于2023年2月返回首页TheoryofVibrationwithApplications解：以系统的静平衡位置为坐标原点，建立坐标x1,x2

。写出系统的质量矩阵和刚度矩阵为得到特征矩阵得到频率方程解出系统的两个固有频率，是重根。

多自由度系统固有频率相