复数与复变函数

第1页，课件共58页，创作于2023年2月教材：1.王绵森等（西安交通大学），复变函数，高等教育出版社，2008

。2.张元林（东南大学），积分变换，高等教育出版社，2003年。第2页，课件共58页，创作于2023年2月合理难以接受1.数的发展绪论自然数整数有理数实数实数复数16世纪，产生于代数方程的求解G.Cardano(意大利)求解方程得到很长一段时间内不被人们所理睬。令人困惑，250年几乎没有进展。第3页，课件共58页，创作于2023年2月18世纪：1.欧拉（L.Euler）建立复数理论，并应用于水利学，地图制图学。2.韦塞尔(C.Wessel),阿尔冈(R.Argand),高斯(K.F.Gauss)

等分别建立复平面。复数平面向量（点）第4页，课件共58页，创作于2023年2月2.复变函数理论的产生实变函数复变函数产生新现象、新结果提供研究实变函数的新方法1）柯西建立了复变函数的积分理论。2）黎曼给出了解析函数的条件。3）魏尔斯特拉斯建立了级数理论。40年微积分：积分变换是以复变函数为基础的一种重要数学方法.第5页，课件共58页，创作于2023年2月《古今数学思想》评价:

从技术观点来看,十九世纪最独特的创造是单复变函数的理论.这个新的数学分支统治了十九世纪,它也被称为抽象科学中最和谐的理论之一。第6页，课件共58页，创作于2023年2月3.复变函数与积分变换的应用3)热学

研究平面热传导问题，如：热炉中温度的计算.2）流体力学：

飞机机翼剖面压力的计算,机翼的造型问题.计算渗流问题，如：大坝、钻井的浸润曲线.1)电磁学：研究电(磁)场强度.4）电力工程、通信和控制等领域信号分析、频谱分析、图象处理等（积分变换）第7页，课件共58页，创作于2023年2月一个诺贝尔奖的故事

从20世纪初化学家就知道，当X射线穿过晶体时，光线碰到晶体原子而发生散射或衍射。将胶片放在晶体后面，X射线穿过晶体在胶片上产生衍射图案。化学家迷惑的是，不能准确的判定晶体中原子的位置。这是因为衍射图只能探测出X射线的振幅，但不能探测其相位。化学家对此困惑了40多年。1950年，一位数学家H.Hauptman,对此产生兴趣。他认识到，这事能形成一个纯粹的数学问题。他利用100年前的数学方法——傅里叶变换，解决了此问题，1985年获得诺贝尔化学奖。第8页，课件共58页，创作于2023年2月4.体现数学之美

简明深刻和谐第9页，课件共58页，创作于2023年2月§1.复数及其运算第一章复数与复变函数虚数单位：1.复数复数：

z=x+iy,x,y为实数x=Re(z),z的实部y=Im(z),z的虚部z的共轭复数：称为纯虚数为实数复数不能比较大小！第10页，课件共58页，创作于2023年2月2.代数运算设

z1=x1+iy1和z2=x2+iy2和与差：积：商：第11页，课件共58页，创作于2023年2月复数运算的性质1).交换律2).结合律

3).分配律

共轭复数运算的性质第12页，课件共58页，创作于2023年2月记C={z|z=x+iy,x,yR}

复数域3.几何表示1)复平面

z=x+iy一一对应（x，y）复数集xo

y平面上的点的全体（xo

y平面上以o为起点的向量全体）一一对应复平面——以x轴为实轴,y轴为虚轴构成的平面。第13页，课件共58页，创作于2023年2月2)．复数的模与辐角模三角不等式辐角——x

轴正向与向量OP的夹角（转角）的主值幅角不确定注意：幅角的多值性！第14页，课件共58页，创作于2023年2月第15页，课件共58页，创作于2023年2月3）复数的三角表示和指数表示根据极坐标有得三角表示式再利用Euler公式得指数表示式第16页，课件共58页，创作于2023年2月1）积与商的模与幅角4复数的乘幂与方根设则其中第17页，课件共58页，创作于2023年2月从而得两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。注意

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,

两边都是无限集合。第18页，课件共58页，创作于2023年2月两个复数相乘的几何意义先将z1按逆时针方向旋转角度,再将模变到原来的r2倍o1第19页，课件共58页，创作于2023年2月类似得从而两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的辐角等于它们辐角的差.第20页，课件共58页，创作于2023年2月2）复数的乘幂与方根n次幂棣莫佛（DeMovie）公式（r=1）n次方根（方程wn=z的解）第21页，课件共58页，创作于2023年2月设则即故得注：有n个根，几何上看，就是以原点为中心、半径为的圆的内接正n边形的n个顶点.第22页，课件共58页，创作于2023年2月

例1.计算，并说明几何意义。解：2几何意义如图记第23页，课件共58页，创作于2023年2月

例2.化简，其中x为实数，|x|>1.

设解：则故解得所以第24页，课件共58页，创作于2023年2月

例3.证明并说明几何意义证：同理（1）（2）（1）+（2）得几何意义平行四边形对角线的平方和等于两邻边平方和的二倍。第25页，课件共58页，创作于2023年2月

例4.设证明证：设由条件所以得从而第26页，课件共58页，创作于2023年2月

例5.用复数方程表示曲线：解：1）所以，1）的方程为2）所以，2）的方程为方程较复杂时，一般用：第27页，课件共58页，创作于2023年2月例6说明下列方程所表示的平面图形.解：几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,22i-2其实数方程为：故方程表示的是连接点2i和-2的线段的垂直平分线。第28页，课件共58页，创作于2023年2月1表示除去的上半平面。第29页，课件共58页，创作于2023年2月5.复球面与无穷远点复数集复平面？球面侧地投影法CQ可见CQ\N并且故引入：复平面的无穷远点（唯一，与N对应）相应的复数无穷大，记为第30页，课件共58页，创作于2023年2月扩充复平面：(1)加减法(2)乘法(3)除法

对于,其实部、虚部,辐角均无意义,规定它的模为正无穷大.第31页，课件共58页，创作于2023年2月§2复变函数及其极限与连续1复平面上的区域邻域:去心邻域:特别区域邻域内点:开集:设，若，则称是G的内点。1）平面点集设若G的每个点都是G的内点，则称G为开集。区域连通的开集。连通集:设若G中任意两点都可以用G中的一条折线连接起来，则称G为连通集。第32页，课件共58页，创作于2023年2月边界点:设D为区域，,若有,则称为边界点。边界:区域D的边界点的全体。记为，。边界点边界边界边界点闭区域有界区域和无界区域设D为区域，若则D称为有界区域。否则称为无界区域。第33页，课件共58页，创作于2023年2月例1讨论下列点集的性态1)2)3)解：1)D1为无界区域，称角形域其边界由两条半直线组成：2)O.D2为有界区域，称圆环域其边界由两圆周组成：第34页，课件共58页，创作于2023年2月O3).-2+iD3为无界闭区域，其边界为圆周：第35页，课件共58页，创作于2023年2月2）平面曲线其中x=x(t),y=y(t)连续复数形式光滑曲线均连续，且则称曲线是光滑的.简单曲线（若当曲线）：没有重点的曲线.重点：设则称为的重点。第36页，课件共58页，创作于2023年2月若当定理：任一简单闭曲线Г把复平面分为三个不相交的点集：1）Г的内部，2）Г的外部，3）Г本身。单连通域与多连通域设D为区域。若D内任意作一条简单闭曲线Г，Г的内部均属于D，则称D为单连通域。否则称D为多连通域。单连通域多连通域第37页，课件共58页，创作于2023年2月练习：指出下列不等式所确定的点集,是否有界?是否区域?如果是区域,单连通的还是多连通的?第38页，课件共58页，创作于2023年2月2复变函数的概念1）定义设若对应法则f惟一的,通常讨论则称f是G上的单值函数。若对应法则f多于一个,则称f是G上的多值函数。记为w=f(z).

例1：是单值函数是多值函数第39页，课件共58页，创作于2023年2月复变函数与实变函数之间的关系设则例2：一个复变函数等价于两个实变函数。第40页，课件共58页，创作于2023年2月2）几何意义两个复平面上的点集之间的对应关系——映射w称为z的像,z称为w的原像.例3设，1）2）3）4）求的像；求区域的像；求二双曲线族与的像；求二直线x=3

与y=5

的像.第41页，课件共58页，创作于2023年2月解：1）1...-1-2i1.i-i.1-i.第42页，课件共58页，创作于2023年2月2）即又11第43页，课件共58页，创作于2023年2月3）二直线x=3

与y=5

.由得-255i93第44页，课件共58页，创作于2023年2月4）二双曲线族由得101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-10第45页，课件共58页，创作于2023年2月3)反函数（逆映射）设函数则（一个或多个）记为，称为的反函数（逆映射）。若与都是单值函数，若f是G到G*的一一映射，则称是单叶函数。则称f是G到G*的一一映射。单叶函数第46页，课件共58页，创作于2023年2月1)

2)

例讨论下列函数的单叶性：解：1)故不是单叶函数。因为是右半平面，2)O值域为：沿负实轴剪开的w平面。故是单叶函数。第47页，课件共58页，创作于2023年2月3极限与连续1）极限设w=f(z)在有定义,A是常数。则称当z趋于z0时,f(z)以A为极限。记为或若使得当0<|z-z0|<

时,有分析:

1）定义形式上与一元实函数相同；2）zz0是在平面上变化的。第48页，课件共58页，创作于2023年2月定理1设证：语言极限的性质（1）唯一性：存在，则极限值唯一。（2）有界性存在，则

f(z)在某有界。（3）四则运算性质成立。第49页，课件共58页，创作于2023年2月例1设，问是否存在？解：z沿直线趋于零时不存在。第50页，课件共58页，创作于2023年2月2）连续设f(z)在z0的邻域内有定义,且

则称f(z)在z0处连续。若f(z)在区域D内的每一点都连续，则称f(z)在区域D上连续。定理2

在处连续都在处连续.性质：（1）连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍连续;（2）连续函数的复合函数仍连续.第51页，课件共58页，创作于2023年2月曲线和闭区域上的连续性设f(z)在曲线Г上有定义,，若则称f(z)在曲线Г的

z0处连续。设f(z)在闭区域上有定义,，若则称f(z)在闭区域的z0处连续。性质：若f(z)在包括端点的曲线或闭曲线Г上连续,则f(z)在Г上有界。若f(z)在闭区域上连续,则f(z)在

上有界。第52页，课件共58页，创作于2023年2月例2讨论函数的连续性。解：已知记.记则角形域与Г不相交取则