复变函数与积分变换

复变函数与积分变换1第1页，课件共27页，创作于2023年2月一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义：其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

称为这级数的部分和.

级数最前面n项的和复变函数与积分变换2第2页，课件共27页，创作于2023年2月如果级数在D内处处收敛,那么它的和一定s(z)称为级数在区域D上的和函数.复变函数与积分变换3第3页，课件共27页，创作于2023年2月2.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.复变函数与积分变换4第4页，课件共27页，创作于2023年2月二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)复变函数与积分变换5第5页，课件共27页，创作于2023年2月证明：由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,而复变函数与积分变换6第6页，课件共27页，创作于2023年2月由正项级数的比较判别法知:收敛.(2)

用反证法，复变函数与积分变换7第7页，课件共27页，创作于2023年2月2.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛。例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.复变函数与积分变换8第8页，课件共27页，创作于2023年2月(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零,故级数发散.复变函数与积分变换9第9页，课件共27页，创作于2023年2月..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.如图:复变函数与积分变换10第10页，课件共27页，创作于2023年2月答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?复变函数与积分变换11第11页，课件共27页，创作于2023年2月例1、求幂级数的收敛范围与和函数.解：级数的部分和为级数收敛,级数发散.复变函数与积分变换12第12页，课件共27页，创作于2023年2月且有在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:复变函数与积分变换13第13页，课件共27页，创作于2023年2月4.收敛半径的求法方法1:比值法(定理二):证明:复变函数与积分变换14第14页，课件共27页，创作于2023年2月复变函数与积分变换15第15页，课件共27页，创作于2023年2月复变函数与积分变换16第16页，课件共27页，创作于2023年2月解：例2、试求幂级数的收敛半径该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是否收敛取决于p的值。并讨论收敛圆周上的情形.复变函数与积分变换17第17页，课件共27页，创作于2023年2月方法2:根值法(定理三)例3、求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论时的情形)并讨论收敛圆周上的情形并讨论收敛圆周上的情形复变函数与积分变换18第18页，课件共27页，创作于2023年2月说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(1)解：复变函数与积分变换19第19页，课件共27页，创作于2023年2月

综上该级数发散。该级数收敛，复变函数与积分变换20第20页，课件共27页，创作于2023年2月故该级数在复平面上是处处收敛的.复变函数与积分变换21第21页，课件共27页，创作于2023年2月三、幂级数的运算和性质(1)幂级数的加、减运算(2)幂级数的乘法运算1、幂级数的运算复变函数与积分变换22第22页，课件共27页，创作于2023年2月此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.(3)幂级数的代换(复合)运算复变函数与积分变换23第23页，课件共27页，创作于2023年2月例4、把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解：把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出复变函数与积分变换24第24页，课件共27页，创作于2023年2月级数收敛,且其和为复变函数与积分变换25第25页，课件共27页，创作于2023年2月定理四设幂级数的收敛半径为那么内的解析函数

.它的和函数是收敛圆(1)2、

复变幂级数在收敛圆内的性质(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,复变函数与积分变换26第26页，课件共27页，创作于2