复变函数与积分变换课件

复变函数与积分变换课件第1页，课件共69页，创作于2023年2月主要内容本章介绍Laplace变换的概念、性质以及Laplace逆变换.最后给出Laplace变换一些应用的例子.第2页，课件共69页，创作于2023年2月1Laplace变换的定义

2周期函数和d函数的Laplace变换§9.1

Laplace变换的概念第3页，课件共69页，创作于2023年2月

Fourier变换的不足：

1绝对可积的要求太高.很多常见的初等函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦函数等)都不满足这个要求.2很多以时间t为自变量的函数当t<0时，往往没有定义，或者不需要知道t<0的情况.第4页，课件共69页，创作于2023年2月改进：f(t)f(t)u(t)f(t)u(t)e-βttf(t)Otf(t)u(t)e-btO第5页，课件共69页，创作于2023年2月将记为s,可写成它放宽了对函数的限制并使之更适合工程实际,并且仍然保留Fourier变换中许多好的性质,更实用、更方便.Laplace变换第6页，课件共69页，创作于2023年2月一、Laplace变换的概念ℒℒ第7页，课件共69页，创作于2023年2月因为在Laplace变换中不必考虑时的情况，所以经常记作

例1求单位阶跃函数的Laplace变换.根据Laplace变换的定义，当时，

第8页，课件共69页，创作于2023年2月例2求指数函数(其中a是复常数)的Laplace变换.

这个积分当时收敛，且所以根据Laplace变换的定义第9页，课件共69页，创作于2023年2月内分段连续,并且当时,

的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数和使得在

上，

在定理1设函数的任何有限区间则在半平面上，

存在,且

是s的解析函数,其中称为的增长指数.

二Laplace变换存在定理

第10页，课件共69页，创作于2023年2月例3

求正弦函数的拉氏变换

ℒ

同理可得ℒ

第11页，课件共69页，创作于2023年2月设是以T为周期的函数,即且在一个周期内分段连续，则三周期函数和d函数的Laplace变换周期函数的Laplace变换公式.

第12页，课件共69页，创作于2023年2月

而当时，所以令则证：第13页，课件共69页，创作于2023年2月例4求单位脉冲函数的Laplace变换.

解因为所以第14页，课件共69页，创作于2023年2月§9.2

Laplace变换的性质第15页，课件共69页，创作于2023年2月以下假定所考虑的Laplace变换的像原函数都满足存在定理的条件.1线性性质

设a,b是常数，则第16页，课件共69页，创作于2023年2月第17页，课件共69页，创作于2023年2月2相似性质

设则证明根据定义故第18页，课件共69页，创作于2023年2月3延迟性质

设若当时,则对任何非负实数t,有Ottf(t)f(t-t)或写为

第19页，课件共69页，创作于2023年2月

4

位移性质设则第20页，课件共69页，创作于2023年2月例3求和实际上,由可直接得到结论.又由于故由和，得因为所以第21页，课件共69页，创作于2023年2月5微分性质

设则证明根据Laplace变换的定义和分部积分公式像原函数的微分性质第22页，课件共69页，创作于2023年2月推论对正整数n,有特别地，当时，在这个性质中，要求存在且满足Laplace

变换存在定理的条件第23页，课件共69页，创作于2023年2月例4求的Laplace变换.

解因为所以使用同样方法，可得根据和线性性质第24页，课件共69页，创作于2023年2月例5利用求，m是正整数.解：设则因为所以于是第25页，课件共69页，创作于2023年2月像函数的微分性质

设则一般地，对正整数n,有证明对解析函数求导,右端求导时可在积分号下进行，即得.第26页，课件共69页，创作于2023年2月例6求的Laplace变换.

使用同样方法，可得根据第27页，课件共69页，创作于2023年2月例7求和故根据使用同样方法，可得由第28页，课件共69页，创作于2023年2月6积分性质

设则证明设则故由于是结论得证.一般地，对n次积分有像原函数的积分性质第29页，课件共69页，创作于2023年2月像函数的积分性质

设且积分

收敛，则

应用：如果像函数积分性质的条件满足,且积分收敛，则第30页，课件共69页，创作于2023年2月例8.求的Laplace变换，并求积分由像函数的积分性质可得

ℒ

解：因为

ℒ

，因此第31页，课件共69页，创作于2023年2月利用Laplace变换的性质，也能反过来求一些简单函数的Laplace逆变换。举例：例9求的Laplace逆变换.

例10求的Laplace逆变换.

例11求的Laplace逆变换.

第32页，课件共69页，创作于2023年2月§9.3

Laplace逆变换第33页，课件共69页，创作于2023年2月一、复反演积分公式其中是的增长指数.积分路径是在右半平面上的任意一条直线若函数f(t)满足拉氏变换存在定理的条件，且ℒ则由下式给出ℒ反演积分是复变函数的积分,在一定条件下,可利用留数来计算.第34页，课件共69页，创作于2023年2月推导：根据Fourier积分公式,在的连续点处，在等式两端同乘以故当t>0时,第35页，课件共69页，创作于2023年2月令则其中是的增长指数.积分路径是在右半平面上的任意一条直线第36页，课件共69页，创作于2023年2月定理设是的所有孤立奇点(有限个)，它们全部位于直线Re(s)=β(>β0)的左侧，并且当s→+∞时，F(s)→0，则有二利用留数求Laplace逆变换即第37页，课件共69页，创作于2023年2月ROxyCRb+iRb-iRb奇点证明取充分大,

使得都在圆弧

和直线

所围成的区域内.因为是全平面上的解析函数，因此，

是的孤立奇点,除这些奇点之外，处处解析.

于是，根据第38页，课件共69页，创作于2023年2月令得

特别当是有理函数，且为分母次数高于

分子次数的有理真分式，则Laplace逆变换存在，可以证明第39页，课件共69页，创作于2023年2月例1求的Laplace逆变换.

解是

的1级极点，

由计算留数的法则，第40页，课件共69页，创作于2023年2月例2求的Laplace逆变换.

解和2级极点.和分别是

的1级故由计算留数的法则第41页，课件共69页，创作于2023年2月例3求解和分别是

的3级和2级极点.故由计算留数的法则第42页，课件共69页，创作于2023年2月当是有理函数时,可把它化为部分分式再求逆变换.如前面的例2：求的Laplace逆变换.

三部分分时分解法求Laplace逆变换第43页，课件共69页，创作于2023年2月例4求的Laplace逆变换.解法1

和分别是

的1级和3级极点，

故由计算留数的法则第44页，课件共69页，创作于2023年2月第45页，课件共69页，创作于2023年2月解法2

可分解为形如

可以求得因为所以第46页，课件共69页，创作于2023年2月例5求第47页，课件共69页，创作于2023年2月小结：求Laplace逆变换的方法：利用Laplace变换的性质2部分分式分解法3利用留数4利用卷积定理第48页，课件共69页，创作于2023年2月§9.3

卷积与卷积定理Laplace变换的卷积性质不仅能用来求出某些函数的Laplace逆变换,而且在线性系统的研究中起着重要作用.第49页，课件共69页，创作于2023年2月一拉氏变换的卷积若函数满足,

时都为零,则称为函数拉氏变换的卷积.第50页，课件共69页，创作于2023年2月解:例1设函数求卷积第51页，课件共69页，创作于2023年2月例2求第52页，课件共69页，创作于2023年2月二拉氏变换的卷积定理

ℒ则ℒℒ

若ℒ

第53页，课件共69页，创作于2023年2月例3若求令则故根据及，有第54页，课件共69页，创作于2023年2月例4求因为故由，第55页，课件共69页，创作于2023年2月例5设求由因此，根据第56页，课件共69页，创作于2023年2月§9.5Laplace变换的简单应用Laplace变换在线性系统的分析和研究中起着重要作用.线性系统在许多场合，可以用线性常微分方程来描述.程和方程组的方法.下面介绍利用Laplace变换求解线性常微分方第57页，课件共69页，创作于2023年2月像原函数(常微分方程的解)像函数常微分方程像函数的代数方程Laplace逆变换Laplace变换解代数方程基本思路第58页，课件共69页，创作于2023年2月例1求常系数线性微分方程的初值问题的解.解设是初值问题解的Laplace变换的像.对方程两边进行Laplace变换，根据和初值条件,利用及第59页，课件共69页，创作于2023年2月因为所以由于是第60页，课件共69页，创作于2023年2月例2求积分方程的解.解设因为对方程两边进行Laplace变换，根据以及有第61页，课件共69页，创作于2023年2月解出得再求逆变换，从而第62页，课件共69页，创作于2023年2月例3求一阶微分方程组满足初值条件的解.解设是所要求的解，记

对方程组两边进行Laplace变换，由和初值条件第63页，课件共69页，创作于2023年2月解线性方程组，得求Laplace逆变换,整理得第64页，课件共69页，创作于2023年2月例4求微分方程满足初值条件的解.变系数微分方程第65页，课件共69页，创作于2023年2月例5质量为m的物体挂在弹性系数为k的弹簧一端,外力为f(t),物体自平衡位置x=0处开始运动,求运动方程.解根据New