两条直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于X轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.设置情境引入新课概念形成1.特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行;（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两由学生讨论得出答案

直线互相垂直.概念深化2.两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线11和12的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率借助计算机，让学生通过度量，感知的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果11〃12（图），那么它们的倾斜角相等；4=a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1,a2的关系）・'・tana1=tana2.（注：下文中tg=tan）即k1=k2.论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.77反过来，如果两条直线的斜率相等:即k1=k2,那么tana1=tana2.由于0°Sa1<180°,0°<a<180°,

，a1=a2又•・•两条直线不重合，：」1〃12.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即11〃12k1=k2.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前••••••••提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果k1=k2那么一定有11〃12;反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果11112,这时a丰a，12否则两直线平行设a<a（图）甲图的特征21是11与12的交点在X轴上方；乙图的特征是11与12的交点在X轴下方；丙图的特征是11与12的交点在X轴上，无论哪种情况下都有a=90+a.12因为11、12的斜率分别是k1、k2，即aw90，所以a丰0.12C，O•小八、1・•tga=tg（90+a）=.2tga1借助计算机，让学生通过度量，感知k1,k2的关系，并使11（或12）转动起来，但仍保持11±12，观察k1,k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法

IPk=-1-或k1k2=-1,ik122反过来，如果k=-1-即1k2k1k2=-1不失一般性，设k1V0.k2>0,那。么tga=--1-=tg(90+a).tga2o可以推出%=90°+.lJ12.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即1，1=k=——=kk=—1121k122事七K注意：结论成立的条件，即如果k1k2=-1,那么一定有11±12;反之则不一定.应用举例例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA〃PQ,再通过计算机加以验证.(图略)例1解：直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.

(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为k1=k2=0.5,所以直线BA//PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.例3已知A(-6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(-2,6)试判断直线AB与PQ的位置关系.例4已知A(5,-1),B(1,1)C(2,3)试判断三角形ABC的形状.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.例2解：直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为k1=k2=0.5,所以直线BA/PQ.例3解：直线AB的斜率k1=(6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=3/2,因为k/k2=-1,所以AB±PQ.例4.分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角课堂练习P95练习1、2.三角形，其中AB±BC,再通过计算加以验证.(图、求解过程略)归纳总结(1)两条直线平行或垂1的真实等价条件；(2)应用条件，判定两条直线平行或垂直.(3)应用直线平行的条件，判定三点共线1由学生归纳，教师再补充完善培养学生的概括能力课后作业由学生独立完成巩固深化新学知识备选例题例1试确定M的值，使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.【解析】由题意得：,m-0m,5-31k==,k==—ab-5—(m+1)—6—mcd0—(—4)2由于AB〃CD,即kAB=kCD,所以^L==1,所以m=-2.—6—m2例2已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y)因为AD±CD,AD//BC所以kAD-kCD=-1,且kAD