辽宁工业大学高数习题课2_第1页
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第二章导数与微分习题课一、导数与微分的根本概念1．导数定义:

2．导数的几何意义:为曲线在点的切线斜率。

3.在处可导的充分必要条件：

在处可导且。

与都存在，二、极限、连续、可导与可微的关系

4.在处的可微定义：

三、求导法那么1．四那么运算求导法那么2．反函数求导法那么（1）（2）（3）函数在对应的内也可导，且

或。

设在区间内单调、可导且，则其反

3．复合函数求导法那么4．隐函数求导法那么求导过程中牢记是的函数，方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。

5．参数方程求导

参数方程确定可导函数，则设及都是可导函数，则复合函数

也是可导函数且。

由方程确定了，方程两端对求导，在

四、高阶导数定义及求导

若函数的导函数仍然是可导函数，则将的

导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。

记。

五、典型例题

分析计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有

解：左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。

【例1】设，问是否存在？

【例2】设，求及。

及求导法则求出，故求应选用“先求，后求

因而应用导数定义求。

解：当时，当时，和处函数值”的方法。而是分段函数的分段点，分析当时，是可导函数，且可利用求导公式【例3】设，已知在处可导，

试确定的值。为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导，

得一个方程；又由函数在一点可导必要条件:

在处连续，得第二个方程。

解此联立方程组，可求出。

分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以

解：因为在处可导，所以在处连续；

即【例4】已知，求。解：当时，；当时，；当时，综上，

所以

【例5】设，求。

解：

解：【例6】设，求。

解：【例7】求星形线在处的导数。

故解：方程两边对求导得【例8】设是由方程所确定，

求。

将代入上方程，得（1）将代入原方程，得（2）

将（2）代入（1）中得。

【例9】求函数的微分。解：所以

分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。

解：应用对数求导法。函数两边取对数得

所以

方程两边对求导得【例10】设

，求。【例11】设，求。

方程两边对求导得分析是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、乘方形成的，应用对数求导法。解：函数两边取对数得方程

所以

【例12】设曲线方程,求此曲线上纵坐标处的切线方程.所以切点坐标为则所求切线方程为解：先求切点坐标.将代入曲线方程得将代入上式,得再求曲线在切点处的切线斜

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