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抛物线与线段和差最值问题(含答案)

线段和差最值问题是数学中常见的优化问题，需要运用一些基本的数学知识和技巧来解决。下面分别给出四道相关的例题。一、如图，抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx-2$与$x$轴交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于点$C$，且$A(-1,\frac{1}{2})$。（1）求抛物线的解析式以及顶点$D$的坐标；（2）判断$\triangleABC$的形状，证明你的结论；（3）点$M(m,0)$是$x$轴上的一个动点，当$MC+MD$的值最小时，求$m$的值。二、如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$A(-2,-4)$、$B(2,0)$、$O(0,0)$三点。（1）求抛物线$y=ax^2+bx+c$的解析式；（2）若点$M$是该抛物线对称轴上的一点，求$AM+OM$的最小值。三、如图，已知直线$y=\frac{1}{12}x+1$与$y$轴交于点$A$，与$x$轴交于点$D$，抛物线$y=x+bx+c$与直线交于$A$、$E$两点，与$x$轴交于$B$、$C$两点，且$B$点坐标为$(1,0)$。（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点$M$，使$|AM-MC|$的值最大，求出点$M$的坐标。四、已知抛物线$y=\frac{1}{2}x+bx$经过点$A(4,\frac{5}{2})$，设点$C(1,-3)$，请在抛物线的对称轴上确定一点$D$，使得$AD-CD$的值最大，则$D$点的坐标为。解题思路：1、对于第一题，先求出抛物线的解析式，再通过求导得到顶点的坐标，最后利用勾股定理求出最小值点的坐标。2、对于第二题，先利用三点求解得到抛物线的解析式，再通过对称性求出对称轴，最后利用距离公式求解最小值。3、对于第三题，先求解抛物线的解析式，再通过求导得到对称轴和顶点的坐标，最后利用距离公式求解最大值点的坐标。4、对于第四题，先求解抛物

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