初三数学几何综合题及答案

.在△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME（1）如图1所示，若AB=AC，则MD和ME的数量关系是（2）如图2所示，若AB≠AC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，M是BC的中点，连接MD和ME，请在图3中补全图形，并直接判断△MED的形状．图1图图1图3图2（1）MD=ME．解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE，AD=AE，∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在△DBM和△ECM中，，∴△DBM≌△ECM（SAS），∴MD=ME．（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．∴，，MF∥AC，MG∥AB．∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，∴，．∴MF=EG，DF=MG．在△DFM与△MGE中，，∴△DFM≌△MGE（SAS）．∴DM=ME．∠FMD=∠GEM∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME∵EG⊥AC∴∠EGC=90°∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°∴∠DME=90°∴DM⊥EM．（3）如图所示：△MDE是等腰直角三角形．2．如图1，在中，，，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．（1）线段与的位置关系是________，________．（2）如图2，当绕点顺时针旋转时（），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立.如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．图3图2（3）如图3，当绕点顺时针旋转时（），延长交于点，如果，求旋转角的度数．图3图2图图1∴△AEF≌△FCD（AAS）．∴E．……………6分（3）解：△EF∵，∴．∴EG．∵，，∴．∵E，∴．∴．∴G为的中点．∴EG为的垂直平分线．∴EF．∴．∴△EF…………8分5．将△绕点顺时针旋转得到△，的延长线与相交于点，连接．（1）如图1，若==，，请直接写出与的数量关系；（2）如图2，若＜=，，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，若＜，（为常数），请直接写出的值（用含、的式子表示）．图1图1图1图1图1图图1图2图3解：（1）AF=BF．理由如下：在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图1），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．∴△GAF是等边三角形，又∵DF=2BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=BF，即AF=BF；（2）解：猜想：AF=2BF．证明：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图2）．由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，∴△GAF是等边三角形，又∵DF=3BF，∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=2BF，即AF=2BF；（3）在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图3），由旋转得AD=AB，∠D=∠B，在△ADG和△ABF中，，∴△ADG≌△ABF（SAS），∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，∴△GAF是等腰三角形，∵DF=mBF，∴GF=DF﹣DG=mBF﹣BF=（m﹣1）BF，过点A作AH⊥DF于H，则FH=GF=（m﹣1）BF，∠FAH=∠GAF=α，∵sin∠FAH=，∴sin=，∴=．6．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．（1）如图l，求证：∠EAF＝∠ABD；（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，请你判断线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的判断是正确的．图1图1图2证明：（1）如图1，连接FE、FC∵点F在线段EC的垂直平分线上∴FE=FC∴∠FEC=∠FCE∵△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C）∴AB=CB，∠ABD=∠CBD∵在△ABF与△CBF中AB＝CB∠ABD＝∠CBDBF＝BF∴△ABF≌△CBF（SAS）∴∠BAF=∠FCE，FA=FC∴FE=FA，∠FEC=∠BAF∴∠EAF=∠AEF∵∠FEC+∠BEF=180°∴∠BAF+∠BEF=180°∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=360°∴∠AFE+∠ABE=∠AFE+∠ABD+∠CBD=180°又∵∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°∴∠EAF+∠AEF=∠ABD+∠CBD∵∠ABD＝∠CBD,∠EAF=∠AEF∴∠EAF=∠ABD（2）FM=FN证明：由(1)可知∠EAF=∠ABD又∵∠AFB=∠GFA∴△AFG∽△BFA∴∠AGF=∠BAF又∵∠MBF=∠BAF．∴∠MBF=∠AGF又∵∠AGF=∠MBG+∠BMG∴∠MBG=∠BMG∴BG=MG∵AB=AD∴∠ADB=∠ABD=∠EAF又∵∠FGA=∠AGD∴△AGF∽△DGA∵AF=AD设GF=2aAG=3a．∴GD=a∴FD=a∵∠CBD=∠ABD∠ABD=∠ADB∴∠CBD=∠ADB∴BE//AD∴设EG=2k∴BG=MG=3k过点F作FQ//ED交AE于Q∴∴∴GQ=EG=，MQ=3k+=∵FQ//ED∴FM=FN7．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，设AP为x，∴PC=4﹣x，CQ=4+x．∵∠BQD=30°，∴CQ=PC．∴4+x=（4﹣x）．解得x=8﹣4．（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P，Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ．∵△ABC是等腰直角三角形，∴可证PE=QF=AE=BF．在△PDE和△QDF中，，∴△PDE≌△QDF（AAS），∴DE=DF．∴DE=AB．又∵AC=BC=4，∴AB=4，∴DE=2，∴当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．（3）∵AP=x，BD=y，∴AE=x，∵AB=AE+DE+BD，∵4=x+2+y，即y=﹣x+2（0＜x＜4），当△BDQ为等腰三角形时，x=y，∴x=4﹣4，即BD的值为4﹣4．8．已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P，且∠APD=45°，求证BD=CE．图2图2图1证明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC．∵AD=BC，AF=BD，∴△FAD≌△DBC．∴FD=DC．…………2分∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．……3分∴△CDF是等腰直角三角形．（2）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF．…………4分∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC．∵AD=BC，AF=BD，∴△FAD≌△DBC．∴FD=DC，∠1=∠2．∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°．即∠CDF=90°．∴△CDF是等腰直角三角形．………5分∴∠FCD=∠APD=45°．∴FC∥AE．∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴AF∥CE．∴四边形AFCE是平行四边形．…………………6分∴AF=CE．∴BD=CE．……………7分9．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为.图3（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE图3图2图2图1（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF；证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，∵AE=CF，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF，∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，∴∠F=30°，∴∠CBE=∠F，∴BE=EF；（2）答：猜想BE=EF．证明如下：如图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE与△ECF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF；（3）BE=EF．证明如下：如图3，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE，∴BG=CE，又∵CF=AE，∴GE=CF，又∵∠BGE=∠ECF=60°，∴在△BGE与△ECF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．10．如图1，已知是等腰直角三角形，,点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．（1）试猜想线段和的数量关系是；（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若，当取最大值时，求的值．图1图2（1）BG=AE．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵四边形DEFG是正方形，∴DE=DG．在△ADE和△BDG中，，∴△ADE≌△BDG（SAS），∴BG=AE．故答案为：BG=AE；（2）①成立BG=AE．理由：如图2，连接AD，∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，∴AD=BD，AD⊥BC，∴∠ADG+∠GDB=90°．∵四边形EFGD为正方形，∴DE=DG，且∠GDE=90°，∴∠ADG+∠ADE=90°，∴∠BDG=∠ADE．在△BDG和△ADE中，，∴△BDG≌△ADE（SAS），∴DG=AE；②∵BG=AE，∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．∵BC=DE=4，∴BG=2+4=6．∴AE=6．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF==，∴AF=2．11．在△ABC中，CA＝CB，在△AED中，DA＝DE，点D、E分别在CA、AB上，（1）如图①，若∠ACB＝∠ADE＝90°，则CD与BE的数量关系是；（2）若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是；，（3）若∠ACB＝∠ADE＝2α（0°<α<90°），将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探图②究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含α图②图图③图图①解：（1）如图①，作DM∥AB，交BC于点M，∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，DA=DE，∴∠CAB=∠CBA=∠DEA=45°，∴DE∥BC，∴四边形EBMD是平行四边形，∴DM=BE，∵DM∥AB，∴∠CDM=45°，∴DM=CD，∴BE=CD；故答案为：BE=CD；（2）如图②，∵CA=CB，∠ACB=120°∴∠CAB=∠CBA=30°，∴AB=AC，同理AE=AD，∴==，∠CAD=∠BAE=30°+∠BAD，∴△CAD∽△BAE，==∴BE=CD；故答案为：BE=CD；（3）BE=2CD•sinα，证明：如图③，分别过点C、D作CM⊥AB于点M，DN⊥AE于点N，∵CA=CB，DA=DE，∠ACB=∠ADE=2α，∴∠CAB=∠DAE，∠ACM=∠ADN=α，AM=AB，AN=AE．∴∠CAD=∠BAE，Rt△ACM和Rt△ADN中，sin∠ACM=，sin∠ADN=，∴，∴，又∵∠CAD=∠BAE，∴△BAE∽△CAD，∴∴BE=2DC•sinα．12．如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，求点P运动路线的长．解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2当点E与点A不重合时，0＜x≤2在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF 在△AME和△DMF中，∴△AME≌△DMF（ASA）∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=∴EF=2ME=2过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM∴∠AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Rt△AME∽Rt△NMG∴=，即=∴MG=2ME=2∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（2）如图，PP′即为P点运动的距离；在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；∴tan∠MBG==2，∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；∴GG′=2MG=4；△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，∴PP′是△MGG′的中位线；∴PP′=GG′=2；即：点P运动路线的长为2．13．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD的延长线交直线CE于点P.（1）如图2，BD与CE的数量关系是,位置关系是；（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求出CP的长；（3）在此旋转过程中，求点P运动的路线长.图1备用图图2图1备用图图2解：

（1）BD=EC，BD⊥CE；理由：∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90°，AD边与AB边重合，AB=2AD=4，∴D，E分别是AB和AC的中点，故BD=EC=AD=AE，BD⊥CE；故答案为：BD=EC，BD⊥CE；（2）如图3所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠1=∠2，∴BP⊥CE，∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四边形ADPE为正方形，∴AD=PE=2，∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°，∴BD=CE=2，∴CP=CE﹣PE=2﹣2；（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=2，在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α=60°时，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此时∠AOP=60°，∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的+，∴点P运动的路线长为：L=+=2=×2=π．14．如图1，正方形与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为.在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；（3）如图3，如果=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离.（1）证明：如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.∴∠BAE=∠DAG.∴△≌△.∴BE=DG.（2）解：45°或135°.（3）解：如图3，连接GB、GE.由已知α=45°，可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵,∴GE=8，.过点B作BH⊥AE于点H.∵AB=2，∴.∴.∴.设点G到BE的距离为h.∴.∴.即点G到BE的距离为.15．问题：在中，SKIPIF1<0，∠A=100°，BD为∠B的平分线，探究AD、BD、BC之间的数量关系.请你完成下列探究过程：（1）观察图形，猜想AD、BD、BC之间的数量关系为.（2）在对（1）中的猜想进行证明时，当推出∠ABC=∠C=40°后，可进一步推出∠ABD=∠DBC=度.（3）为了使同学们顺利地解答本题（1）中的猜想，小强同学提供了一种探究的思路：在BC上截取BE=BD，连接DE,在此基础上继续推理可使问题得到解决.你可以参考小强的思路，画出图形，在此基础上对（1）中的猜想加以证明.也可以选用其它的方法证明你的猜想.（1）AD+BD=BC；（2）∵AB=AC，∠A=100°∴∠ABC=∠C=40°∵BD为∠B的平分线，∴∠ABD=∠DBC=20°；（