实际问题的函数建模

实际问题的函数建模第1页，课件共30页，创作于2023年2月

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画。第2页，课件共30页，创作于2023年2月1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的方法.(重点)2.增强应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力.(难点)第3页，课件共30页，创作于2023年2月问题1

当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表中给出了实验的一组数据，这些数据能说明什么？环境温度/（oC）410203038代谢率/[4185J/（h·m2）]60444040.554第4页，课件共30页，创作于2023年2月解析：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。/（℃）/[4185J/(h·m2)]3840第5页，课件共30页，创作于2023年2月

根据图像，可以看出下列性质：（1）代谢率曲线在小于20oC的范围内是下降的，在大于30oC的范围内是上升的；（2）环境温度在20oC～30oC时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；（3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响.

所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20～30oC之间，这样可以使环境温度的影响最小.通过图像，更好地把握环境温度与人体代谢关系第6页，课件共30页，创作于2023年2月问题2

某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？第7页，课件共30页，创作于2023年2月解：总成本C与产量x的关系C=200000+300x；单位成本P与产量x的关系P=300+200000/x；销售收入R与产量x的关系R=500x；利润L与产量x的关系

L=R-C=200x-200000。以上各式建立的是函数关系。

第8页，课件共30页，创作于2023年2月（1）从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。若x<1000,则要亏损；若x=1000

，则利润为零；若x>1000，则可盈利.

(2)从单位成本P与产量x的关系P=300+200000/x

可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益。第9页，课件共30页，创作于2023年2月【提升总结】解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题．第10页，课件共30页，创作于2023年2月数学建模过程：实际问题抽象概括数学模型推理演算数学模型的解还原说明实际问题的解第11页，课件共30页，创作于2023年2月思考：（1）总费用由哪些部分组成？（2）每一部分费用的表达式是什么？例1某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机.该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,可以认为平均库存量为x件,每个元件的库存费是一年2元.请核算一下,每年进货几次花费最小?第12页，课件共30页，创作于2023年2月分析：1.每次进货量x与进货次数n的关系：2.进货次数为：3.全年的手续费是：4.一年的总库存费为：5.其他费用：（C为常数）(n≥1,n∈z)第13页，课件共30页，创作于2023年2月即n=4时,总费用最少，故以每年进货4次为宜.令总费用为F≥4000+C，当且仅当，第14页，课件共30页，创作于2023年2月例2电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶黏合扬声器中的磁钢与夹板.长期以来,由于对AB胶的用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,胶水外溢;或用胶过少,产生脱胶,影响了产品质量.经过实验,已有一些恰当用胶量的具体数据如表.序号12345678910磁钢面积/cm211.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.1443.4用胶量/g0.1640.3960.4040.6640.8120.9721.6882.864.0767.332第15页，课件共30页，创作于2023年2月现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系思考如下问题：（1）磁钢面积与用胶量之间是否具有函数关系？用什么方法可以确定他们是什么函数关系？（2）在确定函数类型后，如何求出具体的函数解析式？第16页，课件共30页，创作于2023年2月解：以磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标,建立直角坐标系.根据上表数据描点.01234567850100150200250300350400450500x/cm2y/gy/gy/g根据点的分布特点,用y=ax+b表示其关系第17页，课件共30页，创作于2023年2月取点(56.6,0.812),(189.0,2.86)代入y=ax+b,得方程组:解得：a=0.01547,b=-0.06350这条直线是

y=0.01547x-0.06350注：取不同的点代入会得到不同直线，要注意检验是否符合实际问题。第18页，课件共30页，创作于2023年2月数据拟合:

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.第19页，课件共30页，创作于2023年2月实际数据画出散点图选择函数模型求出函数模型检验用函数模型解答实际问题不合乎实际合乎实际【提升总结】数据拟合过程：第20页，课件共30页，创作于2023年2月某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表提供的数据,能否建立一个恰当的函数模型,使它能近似地反映这个地区未成年男性体重y㎏与身高x㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式.【变式练习】第21页，课件共30页，创作于2023年2月解：以身高为横坐标、体重为纵坐标,画出散点图根据图的分布特点,设y=a·bx这一函数来近似刻画其关系;y/kgx/cm第22页，课件共30页，创作于2023年2月取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx

得：用计算器得：a2,b1.02这样就得到函数模型：y=21.02x.第23页，课件共30页，创作于2023年2月(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?解析:

将x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用计算器得：y63.98由于7863.981.22>1.2,所以这个男生偏胖。第24页，课件共30页，创作于2023年2月1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20元B.18元C.16元D.14元C第25页，课件共30页，创作于2023年2月2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为()A.95元B.100元C.105元D.110元A第26页，课件共30页，创作于2023年2月3.某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（）A.95=15（1+x）2B.15（1+x）3=95C.15（1+x）+15（1+x）2=95D.15+15（1+x）+15（1+x）2=95解析：二月份的产值为：15（1+x），三月份的产值为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，故由第一季度总产值为95，得15+15（1+x）+15（1+x）2=95．D第27页，课件共30页，创作于2023年2月4.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件