全初三数学二次函数知识点归纳总结

全初三数学二次函数知识点归纳总结

，所以b的值决定了对称轴与y轴的距离，即对称轴的位置.（3）c决定抛物线与y轴的交点，即截距.10.典型例题例1：已知抛物线yaxbxc的顶点为(-1,2)，过点(2,3)的直线与抛物线交于点P、Q两处，求P、Q两点的坐标.解：由已知得，抛物线的解析式为yax12.将直线ykxl代入抛物线的解析式中，得到axbxcakxall.由于直线过点(2,3)，所以32kl，即l32k.将l带入上式，得到axbxcakxa(2k3)32k.整理得到：(a2k)b(c3)0.由于P、Q两点不同，所以直线与抛物线有两个交点，即方程有两组不同的解.①当ka时，解得x1，y2，即P点坐标为(-1,2).②当ka时，解得x2c/2(ak)，ykx32k，即Q点坐标为(-2c/2(ak)，k(-2c/2(ak))+32k).例2：已知抛物线yaxbxc的顶点为(1,2)，过点(2,5)的直线与抛物线交于点P、Q两处，求P、Q两点的坐标.解：由已知得，抛物线的解析式为yax12.将直线ykxl代入抛物线的解析式中，得到axbxcakxall.由于直线过点(2,5)，所以52kl，即l52k.将l带入上式，得到axbxcakxa(2k5)52k.整理得到：(a2k)b(c3)0.由于P、Q两点不同，所以直线与抛物线有两个交点，即方程有两组不同的解.①当ka时，解得x1，y2，即P点坐标为(1,2).②当ka时，解得x2c/2(ak)，ykx52k，即Q点坐标为(2c/2(ak)，k(2c/2(ak))+52k).y=kx+n和y=ax^2+bx+c的解的数量可以用以下方法确定：①当方程组有两组不同的解时，表示直线和抛物线有两个交点；②当方程组只有一组解时，表示直线和抛物线只有一个交点；③当方程组无解时，表示直线和抛物线没有交点。抛物线y=ax^2+bx+c与x轴两个交点的距离为x1、x2，其中x1、x2是方程ax^2+bx+c的两个根。因此，x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。如果抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则AB的长度为AB=|x1-x2|=√((x1-x2)^2)=(x1-x2)^2=4c/a/(b^2-4ac)。典型习题：1.抛物线y=x^2+2x-2的顶点坐标为（-1，-3）。2.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则正确的结论是ab<0，c>0。3.二次函数y=ax^2+bx+c的图象如图所示，则正确的结论是a<0，b>0，c>0。4.如图，已知三角形ABC中，BC=8，BC上的高为h，D为BC上一点，AD=h，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设AE=x，则EF=8-2x。因此，三角形ABC的面积为S=1/2*BC*h=4x-2x^2，其图象大致为一个开口向下的抛物线。5.抛物线y=x^2-2x-3与x轴的交点分别为A、B，则AB的长度为4。6.已知二次函数y=kx+(2k-1)，则对于下列结论：①当x=-2时，方程有两个不相等的实数根x1、x2；②当x>x2时，y>0；③方程kx+(2k-1)x^2=1；④x1<-1，x2>-1；⑤k=1。其中所有正确的结论是①③④。7.已知直线y=-2x+b（b≠0）...（文章缺失部分）(2)若M(a,b)，则N(-a,-b)。因为M、N是抛物线上的两点，所以有：①-a+ma-m+2=b，②-a-ma-m+2=-b。将①和②相加得：-2a-2m+4=0，因此a=-m+2。当m<2时，才存在满足条件的两点M、N，此时a=±(2-m)。此时M、N到y轴的距离均为2-m，点C的坐标为(0,2-m)。由题意可得：△MNC=27，因此2×1/2×(2-m)×(2-m)=27，解得m=-7。12.已知抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0)。(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解法一：(1)由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(-3,0)。(2)因为抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0)，所以有t=0。代入y=ax²+4ax+t中，得y=ax²+4ax。因为D为抛物线与y轴的交点，所以D的坐标为(0,4a)。设C的坐标为(x,y)，则有：y=ax²+4ax，因为AB∥CD，所以ABCD是一个梯形，且有AB=2，CD=4。由梯形面积公式可得：(AB+CD)×OD=9，代入AB=2，CD=4和D的坐标可得：6a=9，因此a=3/2。所以此抛物线的解析式为y=3/2x²+6x。(3)设点P的坐标为(p,3/2p²+6p)，则有：AP=√[(p+1)²+(3/2p²+6p)²]，PE=5/2p，AE=√[(p+1)²+(3/2p²+6p-5/2p)²]。因为点E与点A在对称轴x=-2的同侧，所以点E的坐标为(-15/4,-15/8)。代入AE和PE的表达式中，得：AE=√[(p+9/4)²+(3/2p²+3/8)²]，PE=5/2p。因为△APE是直角三角形，所以有：AE²=AP²+PE²。代入AE和PE的表达式中，整理后可得：(29/16)p⁴+(15/4)p³+15p²+8p+1=0。此方程没有实数解，因此在抛物线的对称轴上不存在点P，使△APE的周长最小。已知二次函数的图象，要求其解析式及抛物线顶点M的坐标。解法一：由于抛物线的对称轴与y轴平行，且过抛物线的顶点，因此对称轴的解析式为x=2。设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，由于抛物线过点（0，-2），因此c=-2。又因为抛物线过点（1，0）和（3，0），代入解析式得a=-1/4，b=3/2。因此，抛物线的解析式为y=-1/4x^2+3/2x-2。抛物线的顶点坐标为（1.5，-2.125）。解法二：由于抛物线的对称轴与y轴平行，且过抛物线的顶点，因此对称轴的解析式为x=2。抛物线的顶点坐标为（2，-2）。过顶点的直线的解析式为y=-x+2，与抛物线相交于两个点，分别为（1，-1）和（3，-1）。根据对称性，抛物线的另一个焦点坐标为（3，-3）。因此，抛物线的解析式为y=-1/4x^2+3/2x-2。（2）假设点N在线段BM上移动，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。设NQ的长度为l，四边形NQAC的面积为S。求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围。线段BM所在的直线的解析式为y=kx+b，点N的坐标为N（t，h），其中h=t-3，且t不等于2或3。解得k=3/2，b=-3。因此，线段BM所在的直线的解析式为y=(3/2)x-3。则点Q的坐标为Q（2t/3-2，0）。通过计算，可以得到S=t^2-t+1，其中t的取值范围为t不等于2或3。（3）是否存在符合条件的点P使得△PAC为直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。设点P的坐标为P（m，n）。则n=m-m/2，即n=m/2。根据勾股定理，可以得到PA^2=(m+1)^2+n^2，PC^2=m^2+(n+2)^2，AC^2=5。分以下两种情况讨论：i）如果∠PAC=90°，则PC=PA+AC。解得m=5/2，P的坐标为P（5/2，5/4）。ii）如果∠PCA=90°，则PA=PC+AC。解得m=3/2，P的坐标为P（3/2，3/4）。因此，存在符合条件的点P，其坐标为P（5/2，5/4）和P（3/2，3/4）。（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形的一边的两个顶点，另一边的对边上有一个未知的顶点。直接写出矩形的未知的顶点坐标。由于△OAC是等腰直角三角形，因此矩形的另外一个顶点的坐标为（1，-1）。因此，矩形的未知顶点的坐标为（2，-4）。根据题意，可以得到以下信息：1.当点P在对称轴右侧时，PA>AC，因此边AC的对角∠APC不可能是直角。2.以点O和点A（或点O和点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（-1，-2）。3.以点A和点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E（-12/55，-4/5）或F（8/5，-5/4）。4.已知二次函数y=ax-2的图象经过点（1，-1），求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数。根据题意，得到解析式为y=x-2，该函数图象与x轴有两个交点。5.在大桥截面1:11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图1。在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图2。6.求出图2上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域。由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为y=ax^2+9/10。因为点A（-2，0）（或B（2，0））在抛物线上，所以代入公式得到a=-5/2210或a=5/2210。因此所求函数解析式为y=-5/2210x^2+9/10（-2≤x≤2）或y=5/2210x^2+9/10（-2≤x≤2）。7.如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长。因为点D、E的纵坐标为-0.9cm，所以代入公式得到x=±2。因此点D的坐标为（-2，-0.9），点E的坐标为（2，-0.9）。根据比例尺得到DE=2×11000×0.01=220cm≈2.75m。因此卢浦大桥拱内实际桥长为385m。8.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图。二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C。(1)设点C的坐标为（x,y），则点D的坐标为（3-2x,0）。由于∠COD=∠CBO，所以三角形BCO与三角形DCO相似，即$\frac{CO}{BC}=\frac{DC}{OC}$代入坐标可得$\frac{y}{x}=\frac{3}{\sqrt{x^2+y^2}}$解得$x=3\sqrt{3}$，$y=3$。所以点A的坐标为（3,0），点B的坐标为（0,3），点C的坐标为（$3\sqrt{3}$,3）。(2)由于抛物线过点O，所以解析式为$y=ax^2$。由于抛物线过点C，所以$3a(\sqrt{3})^2=3$，解得$a=\frac{1}{3}$。所以经过O、C、A三点的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}x^2$。(3)设点P的坐标为（p,0），则有$BP=\sqrt{p^2+9}$。根据题意，$DP=2$，所以$BD=BP-DP=\sqrt{p^2+9}-2$。根据三角形BCO与三角形DCO相似可得$\frac{CO}{BC}=\frac{DC}{OC}$代入坐标可得$\frac{3}{\sqrt{p^2+9}}=\frac{\sqrt{p^2+9}-2}{3\sqrt{3}}$解得$p=3\sqrt{3}-2$。所以点P的坐标为（$3\sqrt{3}-2$,0）。直线PA的解析式为$y=-\frac{1}{\sqrt{3}}x+3\sqrt{3}$。由于点C在圆上，所以$\sqrt{3}x+y=3\sqrt{3}$。解得$x=3$，$y=0$。所以直线PA与圆E相切。文章中存在一些数学符号的格式错误，需要进行修正。删除明显有问题的段落后，进行改写如下：给定C(-,-3)，使得C到直线y=2/3x+2的距离为3。求C的坐标。解：设C的坐标为(x,y)，则有|y-2/3x-2|=3。根据距离公式，有：$\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=d$代入a=2/3，b=-1，c=-2，d=3，得到：$\frac{|2x-3y-6|}{\sqrt{13}}=3$化简得到：$2x-3y-6=\pm3\sqrt{13}$解得：$x=\frac{3y\pm3\sqrt{13}+6}{2}$由于C在直线y=2/3x+2上，所以可以代入得到：$x=\frac{3y\pm3\sqrt{13}+6}{2}=2/3x+2$解得：$x=\frac{18\pm6\sqrt{13}}{7}$因此，C的坐标为：$(\frac{18+6\sqrt{13}}{7},\frac{4\sqrt{13}}{7}-2)$有一个圆E，圆心为O，直径AB，点D在圆弧AB上，点P在线段AD上，满足∠BAP=90°，PD=AD=2。求证：直线PA是圆E的切线。解：首先，根据正弦定理可以得到：$BD=2sin50°$$OB=BD/sin30°=4sin50°$