经济数学(二)教案

教案

授课名称经济数学（二）

授课教师苏宏

授课班级管理系15级1、2班

单元名称第1讲行列式

教学重点：

教学重点

教学难点：

及难点

教学方法启发式与互动式

教学环节教学内容(1.精讲2.互动3.练习)时间分配

历史上，行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的，

如今，它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计

引入新课2分钟

算工具.特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量

组的线性相关性的一种重要工具.

一、二Ki"行列式

。12

1.定义1记符号=«11«2一2a21为二阶彳亍列式.

a2\"22

在」二面的定义中，称数劭(，=1,2；j-l,2)为行,列式的第i行第j

列元素.元素均白勺第一个T:标i称)y行标，荒:示该元:素位于行列式的第

i行，第二个下标/称为列布示，表示该元素位于第/歹'J.

2.二阶行列式的t十算一对我勺线法则

二%”亍列式的定义可以用对角图滋则来资计乙，把即到42的连线

a2\a22

称为主赤t角线，把。12到。21的连线矛尔为次(a匕副)对角线，那么二阶行

列式就关E主对角线上两元素之积与物《对角线」二两元素之积的差.

53_

例1计算=5>(6-3x(-2)=3().

-26

讲授新课83-90分钟

俨2

例2设。=问⑴2为何他i时，D=0；(2)2为何

31

值时，1)。0.

c矛'=矛-

解-3/1-Aa-3),

31

所Lk,⑴当%=0或工=3时,D=0；

(2)当/LHO且,%声3时,0Ho.

二、二不三线性方程组

%内+a2》2=b](1)

设<加减消元

的内+〃nx2~4(2)

⑴X,%2-⑵X42得(qIa~-Q12^21)^1==4a，2~-%22⑶

2a2\)X2Z

(2)x,卬-⑴X。21得(41。22-a也许一-a21bl(4)

a\\a\2442«iia

记。=,D2=

，=%a22

。21。22。21b2

1

/.(3)、(4)方程组可以写成[O'=3

[Dx2=D2

于是在系数行列式。HO的条件下，方程组(1)、(2)有唯一解

p2

X'~-B~D

例3解方程组卜|+3々=8.

[X]—2必=-3

⑪23

解

D=i=2x(-2)-3xl=-7,

83

2=.o=8x(-2)-3x(-3)=-7,

-J-z

28

D2=3=2x(—3)—8x1=-14.

因。=—7w0,故所给方程组有唯一解

-7-14_

D}D20

D-7D-7

三、三阶行列式

a\\。12。13

定乂2I己彳寸q。21。22。23=。11。22〃33+3a31+。[3。＞1。32

。31。32。33

一4]〃23。32~a]2a21a33一。13〃22。31为三阶行歹U式.

三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠

于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述

之.

123

例4计算三阶行列式405

-106

123

解405=1x0x6+2x5(-l)+3x4x0-3x0x(-l)

-106

-1x5x0-4x2x6=-10-48=-58.

四、三元线性方程组

%)-2X2+尤3=—2

例5解三元线性方程组122+“3”1.

-+工2一工3二。

解由于方程组的系数行列式

1-21

D=21-3=Ixlx(-l)+(-2)x(-3)x(-l)+1x2x1-(-l)xlxl

-11-1

-lx(-3)x1-(-2)x2x(-l)=-5w0,

-2-21-21

=11-3=-5,D2=21-3=-10,

01一1-10-1

2

1-2-2

。3=211=-5,

-110

故所求方程组的解方勺：

=4=i,巧=",看=马”

王

D2D3D

课堂练习

a10

1.设D=\a0试给出的充分必要条件.

401

1.二阶行列式的计算一一对角线法则

2.二元线性方程组的解法

内容小结3.三阶行列式的定义2分钟

4.三阶行列式的计算

5.三元线性方程组的解法

课后作业1-2分钟

3

单元名称第2讲n阶行列式

1.教学重点：

教学重点

2.教学难点：

及难点

教学方法启发式与互动式

教学环节教学内容（1.精讲2.互动3.练习）时间分配

1.二阶行列式

复习提问2.三阶行列式3-5分钟

一、排列与逆序

定义1由〃个自然数1,2,…，〃组成的没有重复数字的有序数组称

为一个〃级全排

列（简称排列），每个自然数都称为这个排列的元素.

例如，12345和34152都是5级排列；12…〃是一个〃级排列，这

个排列称为自然排列（或标准排列）.

由1,2,…，”构成的不同的“级排列共有

n（/i-l）（n-2）...2•1=〃!个.

比如，由1,2,3能组成3!=6种不同的没有重复数字的三位数即三级排

歹U，这六个不同的三级排列如下：

123,231,312,132,213,321.

定义2对于〃个自然数1,2,，规定：按元素由小到大的排列次

讲授新课序构成的排列12…〃称为自然序排列.在八级排列中，当两个元素的先83-90分钟

后次序与标准排列中这两个元素的次序不同时，就说该排列有一个逆

序，一个〃级排列P1a…P"中所有逆序的总数称为该排列的逆序数，

记作N（P]〃2…p“）.

根据排列的逆序数定义，可按下面方法计算排列的逆序数：

设在一个n级排列门P2…P“中，比Pk*=U,­••,»）大的且排在

p«前面的元素共有4个，排列就有4个逆序，称”为该排列中元素p*

的逆序数，而该排列中所有元素的逆序数之和就是该排列的逆序数.即

N（Pl,P2,p“）=fI++…+%=!?*•

定义3逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序薮为偶数的排列称为

偶排列.规定：自然排列为偶排列

例1求排列362514的逆序数.

解在排列362514中,

4

3排在首位，其逆序数为0；

6的前面比6大的数为。个，其逆序数为0；

2的前面比2大的数有2个(3和6),其逆序数为2；

5的前面比5大的数有1个(6),其逆序数为1；

1的前面比1大的数有4个(3,6,2,5),其逆序数为4；

4的前面比4大的数有2个(6和5),其逆序数为2.

于是这个排列的逆序数为

N(362514)=0+0+2+1+4+2=9

这个排列为奇排列.

定义4在一个排列P|…p,……p”中，将任意两个元素对调，

而其余元素不动，就得到一个新排列P1…P,…Pj…p"，这样的变换

称为一个对换，记为(0,〃,),相邻两个元素对换，称为相邻对换.

例如，排列21354经对换(1,4),得到新排列24351.排列21354

的逆序数N(21354)=2,排列24351的逆序数N(24351)=5,可见，

排列的逆序数的奇偶性经过一个对换后发生了变化.

定理1任意一个排列经过一个对换后，排列的奇偶性改变.

一个排列经过奇数次对换，排列的奇偶性改变；一个排列经过偶数

次对换，排列的奇偶性不改变，因此有下面结论成立.

推论1奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排

列的对换次数为偶数.

定理2由〃个自然数组成的〃级排列共有〃!个，其中奇偶排列各

占一半.

二、引例

a\\a\2ai3

观察三阶行列式a2]a22a23

“31”32433

="11。22a33+412a23a31+。13a21。32—%3a22a31—411。23a32~a]2a2}a33-

(1)三阶行列式共有6项，即3!项.

(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.

(3)每项的符号是：当该项元素的行标按自然数顺序排列后，若对应

的列标构成的排列是偶排列则取正号，是奇排列取负号•.

故三阶行列式可定义为：

a”。12ai3

aa(a

2\22。23=^(―1)*<Z171Ct2J,3jy

a3la32a33

例如=1.j2=2,73=3a”a22a33对应的逆序数为

N(123)+N(123)=0

a”a23a32N(123)+N(132)=1奇(-)

5

42421a33N(123)+N(213)=l奇(-)

卬2423a3iN(123)+N(231)=2偶(+)

%3422a3iN(123)+N(321)=3奇(-)

《3〃22a32N(123)+N(312)=2偶(+)

「•°=〃1］。22〃33+%2a23〃31+%3〃21。32一3a22。31一%2421a33

—。］］。23。32

三、n阶行列式

1.定义：由〃X几个元素%.组成，记为

“11a\2…a\n

。=心如二"：=£(-1严收””％产咕…%.

piPi--Pn

%42…an„

其中P1P2…P”是自然数1,2,…,”的一个二级排列.

注：(1)〃阶行列式是一个代数和，而代数和是数，因此〃阶行列

式的实质是一个数；

(2)N(p〃2…P”)是排列P1P2…P”的逆序数，代数和中的求和符

号表示排列P/2…P”取遍所有的〃级排列，这样的排列共有〃！个，

所以，和式共有“！项，而且正号项和负号项各占一半；

(3)和式中的项(―1)NS也…九%。产2%…，此处啰产2以…为“

是取自不同行、不同列的〃个元素的乘积.

n阶行列式一般简记为def(勺)或|%|.其中均称为n阶行列式

det^ij)的第i行第j列元素，称

为”阶行列式的一般项.

0an00

000%4

例2计算行列式2=24.

1

«31000

00。430

解由行列式的定义，有

00生4a0

2=%2(T产•心oo=-62・%(T严

0河

0(30

=一。］2〃24〃31443・

2.余子式与代数余子式

在前面，我们首先定义了二阶行列式，并指出了三阶行列式的计算

41012”13

万法，。21。22。］］。22。33+2a+。13。21。32

旬。32〃33

-41%3。32—42%1。33一。13。22a31，若将上式按第一行的元素提取公因

6

子，可得二孙⑷2%?一。23a32)—a\241。33-。23。31)

。22。23a2\。23。21。22

1d]3(^^2]^^32a^^3[)Q]]~an+43

。32a33a3\。33。31a32

具有以下特点：

(1)三阶行列式可表示为第一行元素分别与一个二阶行列式乘积的代

数和.

^2311^21'

a22，23a22

(2)2\。

J分别记为M12,a3,它们

。32。33〔|。31。33。31。32

分别称为62,43的余子式.令&=(T)”'Mg,称其为元素为

的代数余子式.

a\2a\3

3

a

CL-yj^^22^^23=iAi+\：“也+。"4=Z。1;Aj

j=1

a3\a32。33

我们把上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式.类似地，我们可以

把它推广到n阶行列式上，n阶行列式可按第i行或第j列展开.

例3计算行列式.

0101

1010

D=

0100

0011

解为了使取自不同行不同列的元素的乘积不为0,第一列只能取

生「第三列只能

取%3,第四列只能取44,第二列只能取的2，所以由定理1

0101

1010

D==(-l%内必3%

0100

0011

=(-l)3+oxlxlxlxl=-l.

而由定义1可知，O=(-1)M⑷23)q4%图32a43=一1•可以看出，结

果是一致的.

四、几种特殊类型行列式

a\2

即…«ln

0〃22

1.形如Cl]]〃22*•a.“为上三角形行列式.

00明”

a\\0…0

a2\a22•••0

2.形如=aua22-••a.“为下三角行列式.

Q,/凡，•••a„n

7

an0…0

0生2…0

3.形如=ana22…ann为对角行列式.

0°an„

1.n阶行列式的定义

内容小结2.余子式与代数余子式3-5分钟

3.几种特殊类型的行列式

习题一1、2、5

课后作业1-2分钟

8

单元名称第3讲行列式的性质与计算

教学重点1.教学重点：

及难点2.教学难点：

教学方法启发式与互动式

教学环节教学内容（1.精讲2.互动3.练习）时间分配

1.n阶行列式的定义

复习提问3-5分钟

2.行列式按行（列）展开

一、转置行列式

将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置行列式，记

为加或O,即若

a\\a\2a\n“Ua2ian\

aaaC,aa

D=21222„则JJT_1222…„2

aaa

%n2•••,„.Xn%,,a,m

性质1行列式与它的转置行列式相等，即0=0。

注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的

行具有的性质，它的列也同样具有.

性质2交换行列式的两行（列），行列式变号.

推论若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零.

性质3用数/乘行列式的某一行（列），等于用数/乘此行列式，即

a\\al2a\na\\a\2a\n

D[=kankaj2•••kajn=k%aj2•••a*=kD.

讲授新课a“2…a”“a”i%2""'a""83-90分钟

第i行（列）乘以A,记为%xA（或C,xk）.

推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式

符号的外面.

推论2行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.

性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，

a\\a\2a\n

D=瓦[+Q|bi2+ci2bin+cin.

%2…

则

“11《2…"EqI42…

0=bi\bi2…bin+Cii0>•-%,=A+%

“"Ia"2…%”“川…

性质5将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一

9

行（列）对应位置的元素上，行列式不变.

注：以数々乘第j行加到第i行上，记作ri+krj;以数h乘第/列加

到第i列上，记作《+h八

二、行列式的计算

计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.

例如化为上三角形行列式的步骤是：

如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列

第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得

第一列除第一个元素外其余元素全为0;

再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,

如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘

积就是所求行列式的值.

1231-10

T

例1若。=-101,则D=201=D.

01V231V2

12101-1

例2(1)01-1=-121（第一、二行互换）.

2-102-10

121112

(2)01-1=—0-11（第二、三列互换）

2-1020-1

110

(3)110=0（第一、二两行相等）

5V27

-211

(4)422:0（第二、三列相等）

7-3-3

1-12

例3(1)015=0因为第三行是第一行的V2倍.

V2-V2272

1410

2835

(2)=0因为第一列与第二列成比例，即第二列

0014

-1-4-57

是第一列的4倍.

102

例4若3-10

12-1

-20-4102

则3-10=(-2)3-10=-2£>

12-112-1

10

402102

又12-10=43-10=4D.

42-112-1

a\2436a-2Q]2一10。

113

例5设a22223=1,求-3cl2\a225a23

-3c

.31。32。33。325。33

解

=-2

2H,：,3+01310

例6⑴+

111111

1+V2

1511+(、5

(2)03-27=03+(-2)7

2-1-V2-12-1+(-V2]-1

115165

二037+0--27.

2-1-12-1

3+12-2_40

例7因为=12,

—1+23+0-13

321-2

而+0=(9+2)+(0+4)=15.

-132

3+12-2321-2

因此*+

-1+23+0-1320

注：一般来说下式是不成立的

aa

\\+41\2+012Cl\\a!2“l2

~土T~+

a

i\+821a^21

。22+b)?a2122%

13-113-1

例8⑴14-1r2-r\010，上式表示第一行乘以-1后加第二

231231

行上去，其值不变.

13-1130

(2)14-1C3+C1140，上式表示第一列乘以1后加到第三列

231233

上去，其值不变.

11

3612

例9计算行列式D=2-30

512

解先将第一行的公因子3提出来:

3612124

2-30=32-30

512512

再计算

124124124122

0=32-30=30-7-8=27078=54074

5120-9-18012011

4231

例10计算0=20111

0-1-13

-5201

4231clc41234

解201_______1012

0-1-133-1-10

-5201120-5

12341234

G-3乙o_2_2-2=_6°111

r4-r\-0-7-10-120-7-10-12

00-3-90013

r、+7r,12341234

___10111_o111

^00-3-5=600

13

001300-3-5

1234

r+3r

430111

-----------6=24.

0013

0004

3111

1311

例11计算。=,：、，

1131

1113

解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2,3,4行同时

加到第1行，可提出公因子6,再由各行减去第一行化为上三角形行列

式.

12

66661111

13111311

Dn+r.+r.+r.二6

11311131

11131113

1111

弓一八

020(

r>-r6=48.

0020

0002

注：仿照上述方法可得到更一般的结果:

abb­­•b

bab…b„,

=[a+(n-l)b](a-by-'.

bbb…a

ax-ax00

0a-a0

例12计算。22

00a3-a3

1111

解根据彳1J式的特点，可将第1列加至第2歹U，然后将第2列加

至第3歹ij,再米y酉3列加至第4歹U,目的是使O4中的零元素增多

)006°0°

%

-。暖的

。4——0a22000°

0)00a3一

12111231

a,000

q+c、C)。200

=4。]。2。3・

c)0。30

1234

1234

1012

例13计算行列式D=

3-1-10

120-5

12347014

1012"+2丐1012

解D=

3—1-10〃+2r33—1—10

120-570-2-5

714602

=(-1)x(--1)3+2112112

7-2-590-1

2+262

=1x(-1)=-6-18=-24.

9-1

13

三、课堂练习

0-1-12

1-102

1.计算行列式。=

-12-10'

2110

abb­­•b

bab•­•b

2.计算«阶行列式D=

bbb•••a

1.行列式的性质

分钟

内容小结2.利用行列式性质计算行列式3-5

课后作业习题一6、7、81-2分钟

14

单元名称第4讲克莱姆法则

教学重点1.教学重点：

及难点2.教学难点:

教学方法启发式与互动式

教学环节教学内容(1.精讲2.互动3.练习)时间分配

+%2%+%3%3=4

三元线性方程组，a2Ml+%2%2+a23X3=b2,当。w0时，其解为

a3Ml+a32x2+a33x3=4

引入新课£),3-5分钟

X：=—(/=1,2,3)

JD

问：解含有n个方程的n元线性方程组是否与解二元和三元线性方程组

相同的法则？

一、克y奏姆法则

对于含有〃，於未知数Jn个线性方程白勺方程组

a]]x+%2%2+…+=b\

ax+ax+…+%“乙=。2

V2\\222(4-3)

an\X\+%2々+…+4,再=hn

称为〃1非齐・次线性方.程组.

定J里1(Cramer月:则)如果线中生方程组(4-3)的系数行列式不等

于零，1

a]n

…a2n

DH0.

讲授新课an\an2•••ann83-90分钟

则方程2且(4--3）有唯一解;且

x-L入X.2D,,

一,・・•，J

x'~1父X2~~D

这里2(/=1,2,…，〃:)是用方程组彳亍端的常?女项去代替。中第/列的

元素所彳寻到的阶行列式.

例1用(:ramer法则求解下列线性方程组

2%+3龙2T卜5龙3=2

{％+2X2=5

3X2+5X3=4

235235

解

120=20,D}=520=-20,

035435

15

225232

3=150=60,125=—20,

045034

所以

2==2=

Xx23,X=—1.

DD3一万

例2解方程组

X1~x2+2A4=-5,

3%|+2x2—=6,

4xj+3x2—-=0,

2%|-=0.

1-102

32-1一2

解：D=二5W0,

43-1-1

20-10

-5-1021-502

62-1236-1-2

5==10,D==-15,

03-1一1240-1-1

00-1020-10

1-1-521—10-5

326--232-16

。3==20，D==—25,

430--1443-10

200020-10

所以，

_A_10_%a-15

占：2