导数常用结论汇编

导数常用结论汇编

全国名校高中数学导数专题训练经典试题汇编（附详解）是一本涵盖导数常用技巧和结论的经典试题汇编。在考试时，需要给出证明过程，因此需要熟练掌握放缩公式。以下是一些常用的放缩公式。第一组：对数放缩（1）lnx≤x-1，lnx<x，ln(1+x)≤x（2）lnx<x-1/x，lnx>x-(x-1)/x（当x>1时），lnx>x（当0<x<1时）（3）lnx≤x^2-x，ln(1+x)≤x-x^2（当-1<x<0时），ln(1+x)≥x-x^2（当x>0时）（4）lnx≥1-1/x，lnx>x（当x>0时），ln(1+x)≤x/(x+1)（当x>0时），ln(1+x)<x（当x<0时）第二组：指数放缩（1）ex≥x+1，ex>x，ex≥ex（当x≤0时），ex<ex（当x>0时）（2）ex≥1+x+x^2，ex≥1+x+x^2+x^3（当x>0时）（3）ex≤(1/x)(e^x-1)，ex≥(1/x)(e^x-x-1)（当x>0时）第三组：指对放缩ex-lnx≥(x+1)-(x-1)/2第四组：三角函数放缩（1）sinx<x<tanx（当x>0时）（2）sinx≥x-x^2（3）1-x^2≤cosx≤1-sin^2x第五组：以直线y=x-1为切线的函数y=lnx，y=ex-1，y=x^2-x，y=1-x，y=xlnx在解题过程中，可以使用经典导数构造模型。经典模型一是y=lnx或y=x/lnx。例如，对于函数f(x)=lnx-ax，当a>0时，无零点；当a=0时，有一个零点；当0<a<1/e时，有两个零点。需要注意的是，本文中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除和改写。讨论函数f(x)=ex-mx的零点个数（移项平方后与1等价）：我们可以将f(x)移项并平方，得到f(x)²=e²x-2emx+m²x²。将右边的式子改写为完全平方形式，即(e^x-mx)²=e²x-2emx+m²x²+2emx-m²x²=e²x+2emx。所以f(x)²=(e^x-mx)²=e²x+2emx，移项得到(e^x-2mx)+(m^2-1)x=0。因为e^x-2mx是单调递增的，所以当m^2-1>0时，左边的式子有且只有一个零点；当m^2-1=0时，左边的式子只有一个零点x=0；当m^2-1<0时，左边的式子无零点。讨论函数f(x)=ex+mx²的零点个数（移项开方后换元与1等价）：我们可以将f(x)移项并开方，得到|f(x)|=|ex-mx|。将右边的式子改写为完全平方形式，即(e^x-m)^2=m^2+e^2x-2emx，移项得到(e^x-m)^2-(m^2-e^2x)=0。因为e^x-m是单调递增的，所以当m^2-e^2x>0时，左边的式子有且只有两个零点；当m^2-e^2x=0时，左边的式子只有一个零点x=log(|m|)；当m^2-e^2x<0时，左边的式子无零点。讨论函数f(x)=ex-1-mx的零点个数（乘以系数e，令em=a）：我们将f(x)乘以e，得到ef(x)=e^x-emx-e，将右边的式子改写为完全平方形式，即(e^x-em/2)^2=(em/2)^2+e-1。移项并开方，得到e^x-em/2=±sqrt(em/2)^2+e-1，即e^x-em/2=±sqrt(em/2)^2+e-1。因为e^x是单调递增的，所以当em/2>sqrt(e-1)时，左边的式子有且只有两个零点；当em/2=sqrt(e-1)时，左边的式子只有一个零点x=ln(2sqrt(e-1))；当em/2<sqrt(e-1)时，左边的式子无零点。讨论函数f(x)=lnx-mx的零点个数（令x=et，转化成2）：我们令x=et，得到f(et)=ln(et)-met=(1-m)e^t。因为e^t是单调递增的，所以当1-m>0时，左边的式子有且只有一个零点；当1-m=0时，左边的式子只有一个零点t=0，即x=1；当1-m<0时，左边的式子无零点。讨论函数f(x)=ex+1-mx+m的零点个数（令x-1=t，m=2e/a）：我们令x-1=t，得到f(t+1)=e^(t+1)-2e^(t+1)/a+1-e^(t+1)/a=(a-2)e^(t+1)/a+1。因为e^(t+1)是单调递增的，所以当a-2>0时，左边的式子有且只有一个零点；当a-2=0时，左边的式子只有一个零点t=0，即x=1；当a-2<0时，左边的式子无零点。已知函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$，求解以下问题：（1）讨论$f(x)$的单调性；（2）若$f(x)$有两个零点，求$a$的取值范围。解析：（1）$f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1=(2e^x+1)(ae^x-1)$。若$a\leqslant1$，则$f'(x)<0$恒成立，所以$f(x)$在$\mathbb{R}$上递减；若$a>1$，令$f'(x)=0$，得$e^x=\frac{1}{a}$，$x=\ln\frac{1}{a}$。当$x<\ln\frac{1}{a}$时，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a})$上递减；当$x>\ln\frac{1}{a}$时，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在$(\ln\frac{1}{a},+\infty)$上递增。综上，当$a\leqslant1$时，$f(x)$在$\mathbb{R}$上递减；当$a>1$时，$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a})$上递减，在$(\ln\frac{1}{a},+\infty)$上递增。（2）为使$f(x)$有两个零点，必须满足$f(x)<0$在某个区间内成立，即$a>\frac{1}{e}$，且$f(x)=0$在某个区间内成立，即$f(1)=a(e^2-2)+e-1=0$。构造函数$g(x)=1-x-\lnx$，$x>0$。易得$g'(x)=-1-\frac{1}{x}<0$，所以$g(x)=1-x-\lnx$单调递减。$g(1)=0$，所以$g(x)>0$当且仅当$x\neq1$。因此，$a>\frac{1}{e}$等价于$g(a)>g(1)$，即$1-\lna-a>0$，即$1-\lna>\frac{a}{2}$，即$\ln\frac{1}{a}<\frac{1}{2}-\ln2$，即$a\in(\frac{1}{2e},1)$。又因为$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a})$和$(\ln\frac{1}{a},+\infty)$上分别单调递减和递增，而$f(0)=-1<0$，$f(\ln\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}<0$，$f(+\infty)=+\infty$，所以$f(x)$在$(-\infty,\ln\frac{1}{a})$和$(\ln\frac{1}{a},+\infty)$上各有一个零点。因此，$a\in(\frac{1}{2e},1)$时，$f(x)$有两个零点。注意：取点过程用到了常用放缩技巧。这篇文章存在格