小波分析教案第1章详解

2001．3 22第一章信号的时间—频率分析信号实际上是传递信息的某种具体物理过程，例如当人们交谈时，传递信息的语音信号例如语音通过微音器之后转换为一个随时间变化的电压信号。最常用的信号分析方法是寻找一种简单有效的变换，使信号所包含的重要特征在变换域能更直接的显示出来。在小波变换兴起之前，傅里叶变换是信号分析最重要的数学方法。傅里叶变换实际上是将时间信号展开为不同频率正弦信号的线性迭加。从信号的傅里叶变换，能看出信号各种不同频率成份的强弱，信号能量在频率域的分布。傅里叶变换的核函数是正弦函数，它在时间域上是无限的，非局域的。而小波变换是将时间信号展开为小波函数族的线性迭加。小波变换的核函数是小也正是因为小波变换在时间—频率域内都是局域化的，所以小波变换可对信号同时在时间—频率域内进行分析。首先，让我们回顾一下传统的傅立叶变换(1.1)(1.2)注意(1.1)式中对时间t的积分是在整个时间轴上，即为了获得信号中某一特定频率分量的信息，我们必须知道信号在整个时间过程中的变化情况。也就是说，它在时域内是非局(1.1)式中也必须在信号的整个持续时间内积分，傅里叶分析也仍然是非局域的。从上述分ft时域特征，而F()描述了信号的频域特征。也就是说，要么在时域，要么在频域描述信号的特征。但在许多实际问题中，我们关心的却是信号在局部范围内的特征：例如音乐和语音信号中人们关心的是什么时刻演奏什么音符，发出什么样的音节；对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波；图像处理中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。尤其对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频率特性都很重要。如柴油机缸盖表面的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬由于傅里叶变换在时域内是非局域的，不太适宜于暂态的、非平稳信号的分析。针对暂分布和加窗傅里叶变换两种，前者是一种非线性二次型变换，与小波变换的概念相去甚远。而D.Gabor于1946年提出的加窗傅里叶变换在非平稳信号的分析中起过很好的的作用，而传统的傅里叶变换是对信号在整个时间过程中变化情况的分析。它在时域内是全局化的、非局域的。其原因在于傅里叶变换的核函数正弦函数在时域内是无限的。显然，将正弦函数乘以一个时域内衰减很快的函数之后作为核函数是一种合理的改进方法,这种衰减很快我们称为窗函数，以g(t)表示。一般来说，g(t)是一个实偶函数，且其能量主要集中在原点附近。例如均值为零的高斯函数，就是一个常用的窗函数。为了能实现对信号在整个能量主要集中在T附近。对任意一个能量有限信号f(t)L2(R)，其加窗傅里叶变换定义为tR叶变换给出了信号在T附近的频率信息。由上式可以看到，加窗傅里叶变换确实是传统傅里叶变换的一种改进，即核函数由ejt改进为,函数f(t)g(t一T)的傅里叶变换。由于窗函数的局域性，所以(1.3)式中的积分实质上只在T附近的一段时间内进行。也就是说，加窗傅里叶变换给出了信号在t=T附近的一段时间内的频率信息。现在我们可以看到，加窗傅里叶变换在时域内是局域化的。也正是由于这个性质，加窗傅里叶变换又称为短时(Short-time)傅里叶变换。根据希尔伯特空间中内积的定义，加窗傅里叶变换也可以写成内积形式：,t叶变换Gf(,T)是对信号f(t)在时间—频率域内的联合分析。而信号f(t)的傅里叶变换F()仅是频率的函数，所以传统的傅里叶变换仅是对信号在频率域内的分析。为了更清楚地了解加窗傅里叶变换在时间—频率域的性质，我们有必要先分析其核函数(1.4)式的性质。由于窗函数g(t)应选择为一平滑函数，所以其傅里叶变换()为一低通滤波器。那么g(t)=g(tT)ej0t0,T000的傅里叶变换为()=()ejT00,T0(1.6)(1.7)它显然是中心频率为的带通滤波器。0由(1.3)式可以得到在时间—频率平面内点(,T)的加窗傅里叶变换00(1.8)00T0(1.8)00T00,0RR其中横线表示取共轭。由上式可以明显看出加窗傅里叶变换在时域内的局域性。应用巴塞瓦R 000000在时域内是局域化的，而且在频域内也是局域化的。或者说，加窗傅里叶变换是对信号在时间—频率域内进行联合分析。为了更形象地说明这种联合分析，我们引入时—频窗的概念，R(1.10)和分别称为g(t)和()的标准差，他们描述了图1.1所示时—频窗的宽度。对加窗t傅里叶变换，其时—频窗的中心可以分别由(1.8)和(1.9)式中的变量T和来调节。0但时—频窗的的宽度与窗的中心T和无关，是固定不变的，如(1.10)所示。0twTT12图1.1加窗傅氏变换的时频窗t但同时在时—频域内提高精度是有限制的，著名的测不准原理告诉我们：22t2(1.11)当且仅当窗函数为高斯函数时，上式中的等号成立。和量子力学中的测不准原理一样，我们不能无限地同时提高时—频率域内的测试精度。这并不是由于测试仪器的限制，而是具有深刻的物理含义的。讨论某一时刻的频率是多少是没有意义的。LRftL(R2)空R2R2上式说明，经过加窗傅里叶变换之后，范数保持不变(带有一固定的比例系数)，故加窗傅里叶变换具有唯一的反演公式：TR2上式也称为加窗傅里叶变换的反变换。应该注意，(1.12)隐含着如下意义：经过加窗傅里叶变换之后，并未丢失信息，只不过是将时间信号f(t)所携带的信息在时间—频率域内用T1.3连续小波变换加窗傅里叶变换实现了信号在时间—频率域内局域化的联合分析，但是其时间—频率窗的宽度却是固定不变的。在加窗傅里叶变换中，我们当然可以选择不同类型的窗函数，或者是调整窗函数的参数，例如可以调整高斯函数的方差。但是一旦窗函数的类型及参数确定之后，唯一可以调整的就是平移量C，而变量C只能改变窗沿时间轴的位置，不能改变时—频没有影响。时—频窗的宽度是由窗函数的类型及其参数确定的。这样加窗傅里叶变换就不能适应许多复杂的信号分析和处理。上述这些性质都是由加窗傅里叶变换的核函数决定的。下面我们将要详细讨论的连续小波变换也是信号在时间—频率域内局域化联合分析的一种方法。首先我们将引入小波的概念，说明小波是一种持续时间很短的波。在小波分析的所,ab,为分析小波。以(t)为核函数的积分变换，如(1.17)式所示，正是本节要讨论的小波变,ab,这是小波变换和加窗傅里叶变换的根本区别。也正是由于这个特点，决定了小波分析在实际应用中的独特地位。t为R(1.14)t由上式可以清楚地看到，(t)必须时正时负地波动，否则，(t)的积分不会为零。在实际,,它在时间域内是局域的。正弦波也时正时负地波动，但是它是一种等幅的波动，在时间上是无限的，它显然不满足(1.15)式。“小波”不是指其波动的幅度很小，而是持续时间很短。率域内也是局域的。小波在时间域和频率域都是局域的，这是小波最重要的特性。小波在时—频域内的局域性实际是其能量在时—频域内的集中性，主要是时域内集中于某一时刻附将母小波伸缩和平移之后得到的函数族v(t)=t-b)|a=R+,b=R(1.16)a,ba(a)即v(t)=v(t)。b为平移参数，可以取任意实数。实际上，加窗傅里叶变换中不同频,ab,率可理解为正弦函数疏密程度的不同，也可以理解为是沿时间轴的伸缩。只不过加窗傅里叶变换中的伸缩和平移是分别针对正弦函数和窗函数的，而小波变换中伸缩和平移都是针对小v(t)；右面为a=1/2，b=5时的v(t)。ababRWf(a,b)=1jf(t)v(|t-b)|dt=f(t),v(t)a(a)a,bR实际使用的小波函数中大部分都是实函数，这时上式中取共轭的符号也可以没有。我们可以看到，连续小波变换和传统的傅里叶变换及加窗傅里叶变换其数学描述方法是类似的，都是取信号和核函数的积分。这些变换也都可以解释为信号和核函数相关程度的度量。而各种变换的区别在于选取的核函数不同。从数学形式上看,傅里叶变换将一维时间函数f(t)映射为一维频率函数F(o)，所以傅里叶变换是对时间信号的频率分析。加窗傅里叶变换将一维时间函数f(t)映射为二维函数Gf(o,T)，是对时间信号的时—频分析。类似的，小波变换将一维时间函数f(t)映射为二维函数Wf(a,b)，也是对时间信号的时—频分析。由于连续小t00R波变换是按积分形式定义的，所以又称为积分小波变换。R1.18)可以看出小波变换和加窗傅里叶变换一样，在时—频域内是同时局域化的。我们要再一次强调，小波是一种持续时间很短的波。这样(1.17)式中的积分区间主要由分析小波的持续时间决定，于是我们可以这样理解积分小波变换：小波函数相当于一个ab们正是在这一观测窗内对信号进行分析、提取我们某种感兴趣的信息。也就是说，积分小波变换是在时间域内的一种局域化分析。由于在时间观测窗内，小波函数是衰减振荡的，可以预料到积分小波变换是在此时间vo通滤波器的中心频率和带宽分别为o和装。那么vˆ(o)仍然是一个带通滤波器，只不过其中0ooaao00理解为信号通过一个带通滤波器，这就是说，连续小波变换在频率域内也是对信号的局域化分析。到此为止，我们已经可以清楚地看到，连续小波变换确实是对信号在时间—频率域内a范围或者说尺度。而变量b只影响时间域内窗的位置。所以积分小波变换也可以说是对信号的时间—尺度分析，这样称呼或许较准确一些。当然尺度和频率确实存在着一定的联系，但在许多实际应用中这种联系并不是那么明显。现在让我们进一步地分析一下积分小波变换在时间—频率域的性质。首先让我们定义母小波v(t)的中心和标准差：jtv(t)2dtR000R(1.16)式定义的分析小波v(t)的中心t*和标准差装*为abttt0(1.19)(1.20)(1.21)aOO完aOaOOa0a1tOa0a1t011完aa01O0aa完0aa02t021完aa02at+b202at+b202t图1.2图1.2低频方向移动；a越小，则时窗变窄，频窗变宽且频窗中心向高频方向移动。也就是说，为了获得信号的低频信息，应做较长时间的观察，这时有较好的频域局域性。而当我们做短时间的观察时，将获得信号的高频信息，这时有较好的时域局域性，这正是小波分析的优良性的是被测物的大致全貌，这时提取的是低频信息。而为了看到细节(高频信息)，我们则必须将镜头聚焦于感兴趣的部分。所以也有人将它称为小波变换的“变焦”特性。从(1.22)式可以O心频率较高时频率分辨率较低，而中心频率较低时则有较高的频率分辨率。与加窗傅里叶变换类似，利用巴塞瓦定理和傅里叶变换的相似性质，很容易证明连续小波变换的反变换由下式给出：f(t)=1jwjwWf(a,b)v(t)dadb(1.23)vv这说明信号f(t)的小波变换确实没有损失任何信息，变换是守恒的，因而下式成立：bvwwcavw上式左边是信号的能量，故其小波变换的模的平方表示了信号能量在时间—尺度平面内的分出受噪音污染的方块信号及其连续小波变换。由于一维信号的连续小波变换是尺度参数a和在信号的平坦部分，其小波变换的模很小，故灰度等级很低。这一点也很容易从小波变换的定义(1.17)式看出，当信号在小波的持续时间内不变时，f(t)可从积分号内移出，而小波的积分为零，故此时其小波变换的值亦为零。在信号的突变部分，其小波变换的模很大，故灰度等级很高，对应图中的亮条纹。由这个简单的例子不难看到小波分析的时—频局域性。同时应注意，不同的(a，b)值一般对应不同的小波变换值Wf(a,b)，但这些不同的小波变换值。应当注意，傅里叶变换用到的核函数为正弦函数ejt，具有唯一性；小波分析用到的核函数为小波函数则有很多种，具有不唯一性，同一工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析实际应用中的一个难点，也是小波分析研究的一个热点，目前往往是根据经验或通过不断的试验，对结果进行对比分析来选择合适的小波。1.4离散小波变换离散化而不丢失信息，其中最有意义的是a按2的整数次幂变化，即a=2一m，mZ，由0,0T0这时(1.17)式定义的小波变换也离散化为c=<f(t),v(t)>mnmn回想一下我们熟悉的傅立叶级数，实际上也是将连续变化的频率离散化为基波频率的整数倍，从而构成正交归一的正弦波函数族，即：11T0从而得到周期函数的傅立叶级数1Tf(1Tf(t),00T0n类似的，如(1.22)所示的小波函数族构成正交归一系，即<v(t),v(t)>=66mnlkmlnk意f(t)=L2(R)的离散小波变换表达式为f(t)=x<f(t),v(t)>v(t)=xcv(t)mnmnmnmnm,nm,n二维系数C称为f(t)的离散小波变换或离散小波系数。(1.26)是函数f(t)的离散小波变n则是离散小波变换的反变换。通过2的整数次幂伸缩和整数平移构成正交归一系的小波称为正交小波。必须注意，并不是所有的小波都是正交小波。离散小波变换C同样也是对信号的时—频局域化分析，其中m表示尺度或者说频率，n而n表示时间。由于小波在时—频域都是局域化的，所以只有少量的系数C较大，而其它n系数都很小甚至为零，尤其对暂态的,非平稳的信号更是如此。这也是小波分析成功应用于数据压缩，去噪和信号检测的根本原因。对于离散小波变换的计算，存在快速算法，既第二章通滤波器，而与0(t)相联的是低通滤波器。需要强调的是，离散小波变换所分析的信号仍然是连续时间信号，只是尺度参数a和时间平移参数离散化而已。这和离散傅里叶变换是不同的，希望不要因为名称上的类似而产生概念上的混淆。另外也不要因为正交展开数学形式上的类似，把离散小波变换和傅里叶级数从物理概念上混淆起来。傅里叶级数是对周期性时间信号的频谱分析，而离散小波变换并不期性的。wt原始信号的单级分解。原始信号可能是实际模拟信号的离散抽样，也可能它本来就是离散的数字序列。通常用m=0表示原始信号的尺度，dwt将原始信号分解为两部分，分别称为逼近系数和细节系数，它们的长度均为原始信号的一半。细节系数就是下一个较粗糙的尺度m=解，但每一级逼近系数和细节系数的长度均与原始信号相同。横轴为时间而纵轴为信号幅度及离散小波变换的值。可以看到，在信号的平坦部分，离散小波变换的绝对值很小；而在信号的突变部分，离散小波变换的绝对值很大。对这一类信号，大量小波系数的绝对值都很小，可以设定一个适当的閾值，提取绝对值大于该閾值的少量小波系数，达到数据压缩和去噪的目的。由于在信号的突变部分离散小波变换的绝对值很大，所以小波变换也可用于信号的奇异性检测。在工程技术中，仪器设备的故障往往表现为信号的奇异性，所以小波分析在故障检测及诊断中获得了广泛应用，第三章将详细介绍奇异性检1.5常用小波函数简介在1.3节曾提到，小波分析中用到的小波函数有很多种，具有不唯一性。但小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题是最优小波基的选择。目前主要是通过实际结果与理论分析结果的误差来判定小波基的优劣，从而选定适合于具体工程问题的小波基。本节我们将介6.1中用到的各种小波函数。为此，先简要介绍几个描述小波特性的基本概念。撑宽度波在某个有限持续时间之内是衰减振荡的，而在此持续时间外为零，则我们称这样的小波是Meyer小波就是这样的小波。对这样的小波我们就只能定义其等效支撑宽度。 (2)正交性如上一节所述，有些小波经过二进伸缩和平移构成L2(R)空间的正交基，我们称它们为正交们都是紧支撑的。但并不是所有的小波经过二进伸缩和平移都能构成L2(R)空间的正交基，(3)对称性撑的正交小波都不可能是对称的，墨西哥帽小波和高斯小波和Meyer小波是对称的，而(4)尺度函数理的角度去看，伸缩参数对应于图像的分辨率。所以小波分析也可以理解为对信号的一种多分辨率分析方法。在下一章我们将更详细地讨论小波多分辨率分析。在对信号进行多分辨率分析时。将引入另一个分析函数—尺度函数，在小波分析的文献和书籍中，尺度函数一般以0(t)表示。在小波多分辨率分析中，尺度函数0(t)和小波函数v(t)是紧密相连的，但它们通波器的冲击响应。对尺度函数0(t)也可以定义其支撑宽度，正交性、对称性。由傅里叶变换的性质，上式在频率域的形式为：1doko=01doko=0如小波的零阶、一阶，直到N—1阶矩为零，即：vvv则我们称小波v(t)具有N阶消失矩。一般地说，N越大，v(t)vv这是一个与消失矩有密切关系的概念，我们将在第5章详细介绍。一般来说，一个函数的正则性越好，其消失矩越高，这个函数也就越光滑。第二章信号的多分辨率分析小波变换中的伸缩参数实质上描述了观测信号的范围，也就是尺度，在图像处理中，我们称之为分辨率。所以小波变换也可以理解为信号的多分辨率分析。多分辨率分析和时—频分析一样，是理解小波变换的核心概念。小波多分辨率分析不仅仅是信号分析的一种方法，傅里叶分析中的地位和作用；在小波多分辨率分析数学模型的推导过程中，将指出构造小波的一条重要途径。此外，在本章还将引入许多重要的概念，以后各章内容可以说都是这些概念的进一步发展和深化，所以本章是全书的重点。在小波多分辨率分析中，将引出与小波函数(t)紧密相联的另一个分析函数—尺度函数0(t)。在Mallat算法中，与小波函数和尺度函数相联系的是两个数字滤波器，与(t)相联的是高通滤波器，而与0(t)相联的是低通滤行下采样(取偶数样本)，分别得到较粗分辨率的离散逼近信号和离散细节信号，然后再对离正是离散小波变换系数。不难理解，多分辨率分析和滤波器组，子带编码这些技术是紧密相2.1多分辨率分析的基本原理多分辨分析的基本思想是构造一系列相继的线性函数空间V，mZ表示不同的分辨mm意f(x)L2(R)，其分辨率为2m时的逼近信号f(x)V，分辨率越高，f(x)对f(x)mmAmmm的逼近程度越高。mAf(x)=f(x),f(x)L2(R)，f(x)V，mZ(2.1)mmmAmm现将多分辨率分析的基本原理详述如下：1)A是线性算子，而且，我们要求Af(x)=f(x),故A还应是一投影算子,另外,mmAAmAf(x)f(x)g(x)(x)，g(x)V(2.2)mm所以A应是一正交投影算子，这样Af(x)才是f(x)的最佳逼近。Af(x)是f(x)在线性mmm函数空间V的正交投影，它也是x的函数，(2.2)式中Af(x)f(x)表示用Af(x)逼近mmmmm)mm)f(x)时的误差。而g(x)则是V空间的任一函数，g(x)-f(x)表示用g(x)逼近f(x)时mVAfx)来逼近f(x)时的误差最小，mm所以Af(x)是对f(x)的最佳逼近。m -2-1012这样Af(x)包含为了计算Af(x)所必需的所有信息，或者说Af(x)比Af(x)包含mmm+1m3)g(x)=V一g(2x)=V,Vm=Z(2.4)mm+1即g(x)如属于V，则g(x)经二进压缩得到的g(2x)必然属于V，反之亦然。我们说相mm+1邻的两个矢量空间具有二尺度关系。m)m)或或m=-的m或即当m)的时，Af(x)包含越来越多的信息，对f(x)逼近得越来越好，而当mm)-的时，分辨率变低，Af(x)包含越来越少的信息，对f(x)的逼近程度越来越差。mm+1mmmmm即按投影定理，V可分解为V及其正交补W的直和。令D为到W的正交投影子，则mmmmmf(x)=Df(x)mDmm即f(x)表示f(x)在W上的正交投影。由(2.7)式可得mDmmf(x)=f(x)+f(x)AADmmmf(x)称为f(x)在分辨率为2m时的细节信号，f(x)则为同一分辨率时的逼近信号。请DAmm0mmmmADmmmm包含了更多的信息，而f(x)比f(x)多余的信息正是包含在f(x)中。下面我们将看mmmA+1mmmfxfx)的低频部分，而f(x)包含了f(x)的高频部分。V称为mmmmAA+1Dmmmm尺度函数空间，而W称为小波函数空间。m从(2.7)式可以看到，多分辨率分析实际上是尺度函数空间不断递推分解的过程。假定我们从V出发，将V分解为V和W，又将V分解为V和W，再将V分解为V和W，如此递推分解下去，直到将V分解为V和W。于是，多分辨率分析可以表式为M下一节我们将讨论实现多分辨率分析的具体算法,即Mallat算法。在多分辨率分析的Mallat算法中，我们将引入另一个重要的分析函数—尺度函数0(t)，mnmn尺度空间V的正交归一基。于是信号f(x)在V上的正交投影，即逼近信号f(x)可表示mmmAmmnm交小波函数v(x)经二进伸缩和平移之后得到函数族v(x)，{v(x),n仁z}构成小波空间mnmnW的正交归一基。f(x)在W上的正交投影，既细节信号f(x)也可表示为正交展开的mmmDm形式，展开式的系数d(n)称为离散细节信号。Mallat算法正是离散信号在相邻分辨率之间m的递推计算方法。在Mallat算法中，将不再出现尺度函数和小波函数，而是与它们对应的数字滤波器h(n)和g(n)。原始信号a(n)可能是模拟信号的离散采样，也可能a(n)本身就00是一个离散的数字序列。a(n)经这两个数字滤波器滤波后再下取样(抽取偶数样本)分别得mnm+1,kRRR到a(n)和d(n)，a(n)再经这两个数字滤波器滤波和下取样得到a(n)和d(n)，如dnMMmm二进伸缩和平移得Z0(x)称为多分辨逼近{V,m仁Z}的度函数。上式园括弧内的小园点表示任意自变量。(2.11)式意味着V是由数族{0(x),n仁z}张成的线性闭包，即V中的任意一个函数均zmmn0(x)与0(x)的能量一致，即mn现在开始推导分R解算法，由上R述定理，任一能量有限信号f(x)在V上的正交投影可写m为如下正交展开式Af(x)=xf(u),0(u)0(x)mmnmnn上述正交展开式的系数定义为f(x)在分辨率为2m时的离散逼近信号a(n)，mummn离散逼近信号a(n)又称为尺度系数。m由于0(x)仁V，而V仁V，故0(x)可按V的正交归一基展开为mnmnm+1,km+1,k上式中，由内积表示的系数为kR则mnm1注意，由内积表示的系数已与表示分辨率的参数m无关。这一点应该是不难理解的，因为我将看到它在Mallat算法中起核心作用。(2.16)实际上反映了多分辨率分析中两相邻分辨率之间的关系，我们称之为二尺度关系。由(2.16)可以看到，数字滤波器h(n)和尺度函数(x)是(x)h(k2n)(x)mnm1,kk将上式两边与f(x)求内积，得f(x),(x)h(k2n)f(x),(x)mnm1,kk注意到离散逼近信号的定义式(2.13)，则上式可写为a(n)h(k2n)a(k)mm1k上式实际上已是两相邻分辨率的离散逼近信号之间的递推关系式。如定义(n)h(n)则(2.20)式可更明显地表示为数字滤波的形式a(n)(2nk)a(k)mm1k即a(n)经过冲激响应为(n)的数字滤波器之后再抽取偶数样本就得到a(n)。我们知m1m道，a(n)经过冲激响应为(n)的数字滤波器之后的输出a(p)可表示为如下卷积和m1a(p)(pk)a(k)mmm1令p2n，a(n)=a(2n)则由上k式可得(2.22)，而a(n)=a(2n)意味着a(n)是a(p)mmmmmm本的结果。mZxmˆ()为(x)的傅里叶变换，它由下式给定222其中H()为h(n)的傅里叶变换。则由(x)二经伸缩及整数平移后得到的函数族具mmmnm(2.23)中G(O)是另一数字滤波器g(n)的傅里叶变换。不难理解，由h(n)可导出g(n)，从而可导出v(x)。今后我们将看到，这确实是寻求小波的一条重要途径，它在小波分析的发展过程中起着重大的作用。我们再进一步推导分解算法，根据定理二，f(x)在W上的正交投影可写为mDf(x)=xf(u),v(u)v(x)(2.27)mmnmnn同样的，将上式中由内积表示的系数定义为分辨率为2m时的离散细节信号d(n)d(n)=f(u),v(u)mmn离散细节信号d(n)又称为小波系数。将上式与(1.26)对照，离散细节信号d(n)确实就是离mm经过和上面类似的推导，可得如下递推关系式d(n)=xg(k_2n)a(kmm+1k我们又一次看到二尺度关系，而且数字滤波器g(n)和小波函数v(x)是紧密相连的。如定义(n)=g(_n)(2.31)则递推关系式(2.29)又可写成数字滤波的形式k即a(n)经过数字滤波器(n)之后再抽取偶数样本就得到d(n)。mm应分辨率参数m=0，记为a(n)，按分解算法逐次降低分辨率将信号分解为离散逼近信号0HH2am2d~mm~00ddamdm设a有N个样本，将它分解为a和d，由于滤波后仅取偶然样本，故a和d各为1111mm个样本。这样，如下一组离散信号Mm那么原始信号a(n)是如何得到的呢？如果待处理的信号本身就是数字信号，则直接把0它作为a(n)。如果待处理的信号是模拟信号，则按取样定理对它抽样，把抽样得到的离散00样本作为a(n)。解释如下：对足够精细的尺度，尺度函数的持续时间很短，但其面积为一00的内积表达式就可以看成对原始模拟信号的抽样。如抽样频率高于奈奎斯特频率，则这些离散样本确实是对尺度系数的极佳逼近。我们知道，当抽样频率高于奈奎斯特频率时，可以从离散样本恢复模拟信号，也就是说抽样并未丢失信息。当我们把这些离散样本作为a(n)时，就不需要小0波系数了。如尺度函数矩为零或很小，把模拟信号经A/D转换器得到的抽样作为a(n)产生00Matlab的小波工具箱中，函数wavedec可用来实现一维信号的多尺度分解。图2.2(a)为一含有白噪声的正弦信号，样本数为1000。对它作三级分解，图2.2(b)为第三级次为第三级、第二级、第一级的离散细节信号，样本数依次为125、250、500。原始信号的低频成分(正弦分量)保留在离散逼近信号中，而其高频成分(噪声分量)则包含在离散细节信号中。众所周知，白噪声具有很宽的频谱范围，所以三级离散细节信号的幅度基本一样。如果只保留第三级离散逼近信号，则既可去噪，又达到数据压缩的目的。二、重构算法现在我们讨论如何以(2.33)式所示的一组离散信号重构a。0由于V=V中W，而矢量空间V和W的正交归一基分别为函数族{0(.),nZ}m+1mmmmmn(.),v(.),k仁Z}是V的正交归一基mkmkm+1因为0(x)仁V，故可将它展开为m,n(x)+x1k0(.),0(.)0(x)+x0(.),v(.)v(x)m+1,nm+1,nmkmkm+1,nmnmkk上式k上式中，由内积表示的第一个系数为jm0(2m+1u_n)2m0(2mu_k)dum+1,nmk0(.),0(.)=h(n_2k)类似的，展开式(2.33)的第二个系数为于是(2.35)式可写成0(x)=xh(n_2k)0(x)+xg(n_2k)v(x)mnmkmkkkxm+1mmkkam↑2Hdma0_10_1ddd_1_1_M+1a_Md_M图1·4中，符号↑2表示将a(或d)拉长，奇数时刻信号值为零，偶数时刻保留原来mm的信号值，即符号↑2表示上取样，这与信号分解时的下取样相对应。令a的上取样为a,，mm则a,可写成m三.多分辨率分析的物理意义11论中，我们将0(x)经二进伸缩和平移得到0(x)，且保持它们的能量一致。实际上也可以经二进伸缩和平移而保持面积一致。现定义m它是将0(x)沿x方向伸缩的同时，保持面积不变，将0(x)平移得到mmmn0(x2mn)仍保持与0(x)一样的面积。这时定义离散逼近信号为maanfmn22f(.),0(.)mmmn与(2.13)式的定义比较，仅有一系数2的差别。类似的，也可定义(x)和离散细节信号为mnxmmmndnf.2mn=2f(.),(.)mmmn这时分解和重构算法为a(n)=(2nk)a(k)mm+1mm+1m+1mmkk上式中的数字滤波器分别为mnmmnmkRmnmknkR即多分辨率分析中的尺度函数0(x)的能量为一。这样，0(x)的持续时间必然是有限的。事实上，我们要求0(x)在时域也是局域化的，即当x)士w时，0(x)应很快地衰减到零。于是其面积应当是有限的，我们要求R显然0(x)不是小波，因为小波的面积必须为零。下面我们来分析尺度函数的频域特性。令函数一样，多分辨率分析中的尺度函数在时—频域内也是同时局域化的，但尺度函数是一个低通滤波器，而小波函数是一个带通滤波器。由于多分辨率分析中的尺度函数和小波函数在时—频域内都是局域化的，而尺度函数是一个低通滤波器，小波函数是一个带通滤波器，不难想到，尺度函数空间中包含着信号的低频信息，而小波函数空间中包含着信号的高频信息。我们在上一节已导出多分辨率分析的函数空间表达式0-1-2-M-M将f(x)正交投影到上面的函数空间得ADD-1-2DA-M-M这便是逼近信号和细节信号的多分辨率分析表达式。由上列两式可以看出，多分辨率分析实现在让我们更详细的观察一下多分辨率分析的含意。由(2.42)式不难得到mRmnRx2-mn也就是说，a(n)是f(x)和0(-2mx)卷积之后的取样，取样间隔为2-m，即每单位长度(或m说时间)的样本数为2m。假定0(x)的傅里叶变换为0ˆ(o)，则0(-2mx)的傅里叶变换为所以a(n)也就是信号f(x)通过低通滤波器0(-2mx)之后取样的结果，也就是说，离散逼m近信号描述了信号f(x)的低频成分。类似的，由(2.44)可得dnjfav(u)du=2[f(x)*v(-2mx)]mRmnx=2-mn由于v(-2mx)的傅里叶变换为-2-mvˆ(-2-mo)，它仍然是一个带通滤波器，故d(n)是信m号f(x)通过带通滤波器v(-2mx)之后取样的结果，也就是说，离散细节信号描述了信号f(x)的高频成分。综上所述，当我们用Mallat算法对信号进行逐级分解时，逼近信号保留了原始信号的大致变化趋势，而细节信号则突出了原始信号的快速变化。是多分辨率分析的一个尺度函数，而故mm(02滤波器组从上述分析可以看到，Mallat算法中出现的是离散逼近信号和离散细节信号，以及数字滤波器h(n)和g(n)，而没出现模拟信号、尺度函数和小波。其实我们应当从连续和离散两个方面来理解。为此，可将(2.12)和(2.27)进一步写为f(x)=Af(x)=xa(n)0(x)mAmmmnmf(x)=Df(x)=d(n)v(x)mDmmmnmn也就是说，我们可以从离散逼近信号a(n)和离散细节信号d(n)由上列两式分别计算出逼mm近信号f(x)和细节信号f(x)。Mallat算法既可以理解为离散信号在相邻分辨率之间的ADmm递推关系，也可以理解为函数空间和模拟信号在相邻分辨率之间的递推关系。，故Mallat算法中，起核心作用的是h(n)，关于它，我们有下述定理。定理三设h(n)的傅里叶变换为反之，如某一H(o)满足上述两个条件，且2定义的0(x)必然是构成多分辨率分析的尺度函数。Mallat器g(n)与h(n)是有密切关系的，正如(2.23)式出的对应的时域表达式为请注意，我们这儿讨论的h(n)和g(n)是按(2.16)和(2.30)定义的。令(2.16)中m=n=0，得0(x)=2xh(k)0(2x-k)(2.65)k类似的，令(2.30)中m=n=0，得v(x)=2xg(k)0(2x-k)k将上列两式的两边作傅里叶变换可得222222将(2.67)式逐次递推下去就可以得到(2.63)，而(2.68)实际上就是(2.23)式。Mallat个数字滤波器(n)和(n)，hngnMatlabOrthfilt算这四个滤波器。其中如下二尺度(twin—scale)关系定义了所谓的尺度滤波器W：n10(|x)|=xW0(x-n)2(2)读者不难看到，除归一化系数外，上式与(2.65)是一致的。若0(x)是紧支的，那么W是一个n长度为2N的FIR低通数字滤波器，其和为1，即xxnn其等价关系为o=0o而且，其范数为1/2。然后经下列计算得到四个滤波器WJLR=W)L_D=wrev(L_R)o_norm(W)ooJH_R=qmf(L_R))H_D=wrev(H_R)ioii其中L_R就是Mallat算法中的h(n)，而L_D就是Mallat算法中的(n)。只不过与oo(2.21)式比较，为使(n)保持因果性，除镜像对称外，再加上延迟，即io上式与(2.65)是一致的,只是将(2.65)式取负号,而且延迟(2N—2)便得到上式同样的，延迟也是为了使g(n)是因果性的。1x(O)1x(O)，On器组均可用函数Orthfilt来计算。下面我们想介绍Lemarie和Battle提出的多分辨率分析中的尺度函数、小波和滤波器。上一节我们介绍了多分辨率分析的一个简单例子，其中，尺度oo出x(O)=xw1k=_w可以通过下式计算x(O)的封闭形式x(O)=1d2n_2x(O)，x(O)=122n2(O(O)x(O)2n2nn4Mallat算法进行信号分解时，逼近信号Af(x)描述了信号f(x)在频带2+m,2m]内的mWWVVV0424MRA这时0(x)和(x)都不是紧支撑的，相应的h(n)和希望读者按照(2.45)~(2.47)给出的分解和重构表达式数据a(n)有N个样本，为了避免在两端突然截断o造成的不平稳，可按下式将它延拓为周期性的信号。00在这一节我们将前面的分析直接推广到二维情况，以便将多分辨率分析用于图象处理。我们将讨论一种特定的情况，这时二维矢量空间V2可以分解为两个相同的一维矢量空间V1jj，即jj时二维尺度函数为两个相同的一维尺度函数的乘积，即C(x,y)=0(x)0(y)V2的正交基为jjjnjmjf(x,y),0(x)0(y)jnjm而这时V2在V2中的正交补W2要稍微复杂一点。jj+1j定理四设v(x)是与0(x)相对应的一维小波，那么下列三个小波经二进伸缩和平移形成的函数系jv1(2jx_n,2jy_m),2jv2(2jx_n,2jy_m),2jv3(2jx_n,2jy_m);n,m=Z2}是W2的正交归一基。jjv(2jx_n,2jy_m),2jv2(2jx_n,2jy_m),2jv3(2jx_n,2jy_m);j,n,m=Z3}按上述定理，我们分别定义三个离散细节信号d1(n,m)=f(x,y),2j1(2jx-n,2jy-m)=f(x,y),0(x)(y)j