多次相遇和追及问题题库教师

3-1-3学会画图解行程题能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题能够利用比例解多人相遇和追及问题题所有行程问题都是围绕“路程=速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．【例1】(难度等级※)甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每？米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了30003000=1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行【巩固】(难度等级※)甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3(倍).按照这个倍数计算，小(千米).【例3】(难度等级※※)甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：【巩固】(难度级别※※)甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【巩固】(难度等级※※)甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【巩固】(难度等级※※)甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一【巩固】(难度等级※※)甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.【巩固】(难度等级※※)甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一离.【巩固】(难度等级※※)甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一千米处第二次相遇，求AB两地之间的距离.第二次相遇.求此圆形场地的周长．1【解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙2222【巩固】(难度等级※※※)如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向个圆的周长.ABA点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了列决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长． 【解析】甲AF第一次相遇E第一次追上B乙钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上【例7】(难度等级※※※)甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二李李乙时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了2份和3份；第【巩固】(难度等级※※※)小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，则甲、乙两地的距离为千米．【解析】由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在A处相遇，第二次在B处相遇．由于2个王甲AAB李乙王甲BAB②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李米，两人的速度比为3:9=1:3．所以第一次相遇时小李也走了9千米，甲、乙两地的距离为【巩固】(难度级别※※※)A，B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在【解析】第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又【例8】(难度级别※※※)小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了离(3＋2＋2)倍的行程.其中张走了就知道第四次相遇处，离乙村.柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前(途中)能遇上几艘从纽约开来的轮船？他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船(图中用实线表示)会与从纽约开出的15艘中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了【巩固】(难度级别※※※)一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：第一步：在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，等距离划分，每一小段表示5分钟．第二步：因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点(注意：这两点在水平方等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．第三步：从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了【例10】(难度级别※※※)甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇相遇的地点)：不同两端又重新开始，这正以两人跑10分钟，正好是四个周期，也地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相ADENNMBCF由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船别走了(10020)2=40千米和10040=60千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为几次相遇时距B地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在30分钟A0)步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米．则甲、乙二人第几次迎面相遇时距B地【解析】半小时内，两人一共行走(40＋150)×30=5700米，相当于6个全程，两人每合走2个全4:15，所以相同时间离B地5/19个全程，所以甲、乙两人第二次迎面相遇时距离B地最近．地跑步90分钟．甲跑步的速度是每分钟40m；乙跑步的速度是每分钟150m．在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？遇时他们离B点距离最近．B地间往返锻炼．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两【例13】(难度等级※※※※)(仁华入学试题)甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相到了A点，并且行驶的方向与最开始相同． 【例14】(难度等级※※※※)下图是一个边长90米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边(不包括C，D两点)上相遇，两人相遇一次，依次可推出第7次在CD边相遇(如图，图中数字表示该点相遇的次数)【例15】(难度等级※※※※)如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分)道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距A点还有米。A【解析】本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期．在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到乙甲乙甲是第一次相遇点与A点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与A点的距离．顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?A甲AA乙B甲清楚．B乙还没有到达B点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA某处．所以当甲再次到达B处时,乙还未到B处,那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达A处开始计算,还需(40050)(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了A48厘米，小圆直径30厘米。两只甲虫同时从A点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿两个圆爬行。问：当小【解析】我们知道，大小圆只有一个公共点(内切)，而在圆上最远的两点为直径两端，所以当一只甲虫在22度相同，所以相同时内路程相同，起点相同，【例18】(难度等级※※※※※)如图所示，甲沿长为400米大圆的跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆AA4B【解析】从图中可以看出，甲、乙两人只有可能在A、B两点处相遇(本题中，虽然在B处时两人都是顺时针，但是由于两人的跑道不同，因此在此处的相遇不能看作是追及)．个时间单位，则乙跑200米所用的时间为3个时间单位．根据题意可知，1个时间单位为3可以看出，只有甲跑的时间是5个时间单位的整数倍时，甲才可能在A点或B点，而且是奇数倍同样地，是奇数倍时在B点，是偶数倍时在A点．要使甲、乙在A、B两点处相遇，两人所跑的时间应当是15个时间单位的整数倍(由于3和5的奇偶性相同，所以只要是15个时间单位的整数倍甲、乙两人就能相遇)，可以是15个时间单是3BBABAB9BABA6BAABAA00B53甲乙BA经过【例19】(难度等级※※※※)三个环行跑道如图排列，每个环行跑道周长为210厘米；甲、乙两只爬和每分钟l5厘米，甲、乙两爬