有理数加减乘除乘方

有理数基础知识正数和负数.正数和负数的概念负数比0小的数；正数比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母可以表示任意数，当表示正数时，是负数；当表示负数时，是正数；当表示时，仍是。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如 就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“”，有时“”省略不写。所以省略“”的正数的符号是正号。.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.表0示的意义⑴表示“没有”，如教室里有个人，就是说教室里没有人；⑵是正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数有理数1.有理数的概念⑴正整数、0负整数统称为整数（和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①n是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 …也是偶数， …也是奇数。2.有理数的分类总结：①正整数、统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、统称为非正整数③正有理数、统称为非负有理数④负有理数、统称为非正有理数四对定义：①正负数负数比0小的数；正数比0大的数；0既不是正数，也不是负数②奇偶数整数中，能表示成的整数倍的数，都是偶数；否则就是奇数。注意：是偶数③非正数、非负数非正数就是和所有负数的合称。非负数就是和所有正数的合称。④有理数、无理数有理数：有理数分为正有理数，负有理数，0。有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数无理数：无限不循环小数。

.正负数1例1按要求选择下列各数：，，， .5，31-92， 8， 2属于整数集合的有__属于正数集合的有__属于正整数集合的有_正分数集合的有___属于非整数集合的有_属于非负整数集合的有属于分数集合的有__属于负数集合的有__属于负整数集合的有_属于负分数集合的有__属_于非负数集合的有__属_于_非_正整数集合的有属于整数集合的有__属于正数集合的有__属于正整数集合的有_正分数集合的有___属于非整数集合的有_属于非负整数集合的有属于分数集合的有__属于负数集合的有__属于负整数集合的有_属于负分数集合的有__属_于非负数集合的有__属_于_非_正整数集合的有例主动学习网饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有"± （L”字样，请问"± ”是什么含义？质检局对该产品抽查瓶，容量分别为3 1 9 3 7问抽查产品的容量是否合格？练习：若密云水库的水位比标准水位高出 记为+c某月的水位记录中显示，日水位为一，日水位为一，日水位为+，则（ ）日与日水位相差日与日水位相差日与日水位相差均不正确.篮球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表：篮球编号与标准质量的差（克）最接近标准质量的是 号篮球；质量最大的篮球比质量最小的篮球重 克..判断：1）最小的自然数是1；2）最小的整数是1；3）一个有理数的倒数等于它本身，则这个数是1；数轴.数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。⑵数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点n不是有理数）.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于，负数都小于，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。.数轴上特殊的最大（小）数⑴最小的自然数是0无最大的自然数⑵最小的正整数是1无最大的正整数⑶最大的负整数是1无最小的负整数可以表示什么数⑴表示是正数；反之，是正数，则;⑵表示是负数；反之，是负数，则⑶表示是0反之，是0则.数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。.数轴例在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“〈”号连接起来11 21-0 . 2，2 .1 2例如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为练习：、实数则结论错误表示如图所的是则结论错误a+b<。 aB<0 -b>a a-b<0.数轴上有一点到原点的距离是5.，5那么这个点表示的数是 .一个点从数轴的原点开始,先向右移3个单位长度,再向左移动5个单位长度则终点表示的数是 .数轴上点对应的数为那么与相距个长度的点所对应的数是 .相反数.相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶的相反数是它本身；相反数为本身的数是0.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵的相反数是0⑶互为相反数的两数和为，和为的两数互为相反数，即，互为相反数，则.相反数的几何意义在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。.相反数的求法⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“”即可求得（如：的相反数是-5）；⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“”，然后化简（如； 的相反数是（ ）。化简得）;⑶求前面带“”的单个数，也应先用括号括起来再添“”，然后化简（如：-5的相反数是-（-5），化简得5）.相反数的表示方法⑴一般地，数的相反数是，其中是任意有理数，可以是正数、负数或0。当 时， （正数的相反数是负数）当 时， （负数的相反数是正数）当时，,（的相反数是）.多重符号的化简多重符号的化简规律“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。.相反数例（）一与互为相反数；的相反数是（）一m的相反数是，—m+1的相反数是，m+1的相反数是 （）已知—a=9,那么一a的相反数是已知a=_9，贝ij的相反数是 例如果a<0,化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数（）-（+a）（）-（-a）（）-[+（-a）]（）-[-（-a）]a例7一个数的相反数的倒数是-4这,个数是 如_果__与_-3互为相反数那么a等于绝对值1.绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作。绝对值的代数定义⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶的绝对值是可用字母表示为：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么。可归纳为①：三，一 （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）②W,一 （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，取任何有理数，都有三0⑴的绝对值是；绝对值是的数是即：= ;⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是即：》；⑶任何数的绝对值都不小于原数。即： 2；⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若（），贝U土；或若⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:

或若⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： ，则或-⑺若几个数的绝对值的和等于，则这几个数就同时为0即 1则且=(非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0).有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。.绝对值的化简①当三时②当w时.已知一个数的绝对值，求这个数一个数的绝对值就是数轴上表示数的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。.绝对值例7求绝对值：() ； ()_1；()—(—)；()—|2I例已知I例已知II练习：II,求代数式II的值一一2|的倒数是计算5X(-4.8)+1-2«3绝对值不大于的整数有已知x=3,y=2,U<0,则x+y的值是.有理数的加减法.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。.有理数加法的运算律⑴加法交换律：⑵加法结合律：在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：①互为相反数的两个数先相加一一“相反数结合法”；②符号相同的两个数先相加一一“同号结合法”；③分母相同的数先相加一一“同分母结合法”；④几个数相加得到整数，先相加一一“凑整法”；⑤整数与整数、小数与小数相加一一“同形结合法”。.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即⑴当时，⑵当时，⑶当时，.有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： +.有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5..有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：I把符号相同的加数相结合(同号结合法)II把和为整数的加数相结合(凑整法)III把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)W既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)V把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)TOC\o"1-5"\h\zW分组结合 6 1」.V1 -3-+10--12—+4—5 11 翌15••• _原式二(-3+10-12+4)+(--+ -)皿先拆项后结合 工上二二411( …二一功百与 •一0有理数的加法1+?+」_J_T T 对3。•( 4 9 -一.9) . (

有理数的减法有理数的混合运算（有括号的先算括号里面的）.＋3（－7.）3＋（－.)7＋2--.＋3（－7.）3＋（－.)7＋2---(-1)+(-3)38 3 82＋＋72310（2I2（3有理数的乘除法.有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同0相乘，都得；法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为,则积等于0..倒数乘积是1的两个数互为倒数，乘积是1的两个数互为倒数，1示为•a（w）,就是说的倒数。注意：①没有倒数；②求假分数或真分数的倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表和a互为倒数，即是aa的倒数，1是

a只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；④倒数等于它本身的数是或不包括..有理数的乘法运算律⑴乘法交换律：⑵乘法结合律：⑶乘法分配律：.有理数的除法法则（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数的乘除混合运算（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

(2)有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。有理数的乘除()x(一)()(6x；()(7x(1(4)(-5)x44x(—3)=9 2()(3x(-1)=3、填空：() 的倒数是，它的相反数是，它的绝对值是()—22的倒数是 ， 的倒数是 ；5 ()倒数等于它本身的有理数是。()-2的倒数的相反数是 。3 、计算：()(-2)x5x(--9_)()(-2)x5x(--9_)x(-2)；

4 10 3(3)(-4)x7x(-1)x(2449——x(-5);25-7.8x(-8.1)x0x|-19.6|(-8)x(1-11+1)2 4814(-))x(-3-)453()－8)5x(－25)x(－4)XX(-7)x2;67()/5、8,3、1()(-——)x—x(-—)x—2415 2 4)(-8)x(-7.2)x(-2.5)x-5；JL乙-1-0.25x(-5)x4x(-X)。乙J)(---—+3-1)x(-48)。1236462 21-13x--0.34x_+_x73x1(4－)11)(-13)-5x0.34x2(－9)有理数的除法()(()(—27)+9=()1+(-9)=:()3+(-1)=、化简下列分数：()216；()上；2 -48、计算：()(-2)+(-J_)25 10 ()0+(-7)=；()-0.25+-=4 )-54;()上-6 -0.33(-12—)+43(-12—)+411(-0.33)+(-；)+(-11)311(--)x(-3-)+(-1-)+35 2 4)(-24)+(-2)+(-15)-2.5+5x(-1)

8 4-4x1+2x2；1(-0.75)+5+(-0.3)；

414-27+2-x—+(-24)；4924 1一f24 1一f5X(-24)+7-1834+—X—X43有理数的乘方.乘方的概念求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，叫做底数，叫做指数。2.乘方的性质(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。一．选择题1、181表示( )A个连乘、乘以 、个连乘、个别相加的值是（）、 、、 、、下列各对数中，数值相等的是（）、－32与－23 、－2B3与（－23）、一与一 、一X 与一X、下列说法中正确的是（）、表示X的积 、任何一个有理数的偶次幂是正数、一与一互为相反数 、一个数的平方是3,这个数一定是2TOC\o"1-5"\h\z9 3、下列各式运算结果为正数的是（）、一X、一） 、一X 、一3、如果一个有理数的平方等于（－2）2，那么这个有理数等于（ ）、一、 、 、或一、一个数的立方是它本身,那么这个数是（ ）、 、或 、一或 、或或一、如果一个有理数的正偶次幂是非负数,那么这个数是（ ）、正数 、负有 、非负数 、任何有理数、－24X（－22）X（－2）3=（ ）、 92 、－有29 、－224C 、 224何o两个有理数互为相反数，那么它们的几次幂的值（ ）、相等 、不相等 、绝对值相等 、没有任何关系、1一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ）、正数 、负数有 、正数对或负数、奇何数、一+— ・卜1+— 的值等于（ ）、 、 、 、二、填空题、一中指数为，底数为;的底数是，指数是；J3丫的底数是 ，指数是 ，结果是； 12J 2根据幂的意义，一表示，一表示；、平方等于_1的数是 ，立方等于1的数是 ；64 64 、一个数的 次幂是负数，那么这个数的 次幂是;、平方等于它本身的数是,立方等于它本身的数是;(3丫 (3丫 33一一= ，--= ，一一= ；I4) 14) 4 、(一2.7)，(-2.71，(-2.7)的大小关系用“<”号连接可表示为；、如果1a4|=一,4卜那么a是；、G-2)6-3)(3-4)•••(2001-2002)=；、如果一个数的平方是它的相反数，一个数的平方是它的倒数，那么这个数是—、右—a2加〉0，贝Ub计算题、-(-2}(一1)2003、、、-23+J3)2那么这个数是 ;如果•;、［JT、12J、-13-3X(-11、-32.(-3)(-2)-2+J21+23 、42.———544■(—5)I4)—26—(—2)4-32+—1— 、—(—2)2-3+(-ll+0x(—2)I7)有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：.先乘方，再乘除，