2023年高考考前押题密卷（全国甲卷） 数学文试题

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（改编）复数在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．2．已知全集，集合，则集合等于（

）A．B．C．D．3．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（

）A．该公司2022年营收总额约为30800万元B．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多C．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多D．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%4．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（

）A．14 B．7 C． D．5．（改编）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（

）A． B． C． D．6．函数的图象大致为（

）A．B．C．D．7．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（

）A． B． C． D．8．（改编）在平面直角坐标系y中，圆的方程为，若直线上存在一点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值不可能是（

）A． B． C． D．9．将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是的中点，以下说法错误的是（

）A．若，，则B．C．平面D．若，则平面平面11．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（

）A．若过点，则的准线方程为B．若过点，则C．若，则D．若，则点的坐标为12．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线方程为___________.14．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为______.15．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______．①；②数列的前n项和存在最小值．16．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），.若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求的值；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为9．18．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；(2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？（注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.19．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.(1)已知点满足，求证四点共面；(2)求点到平面的距离.20．已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数，为常数，且.(1)判断的单调性；(2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。某高中体育爱好者为纪念在我国举办的第三次亚运会，借四叶草具有幸福幸运的象征意义，准备设计一枚四叶草徽章捐献给亚运会。如图，在极坐标系Ox中，方程表示的图形为“四叶草”对应的曲线C．(1)设直线l：与C交于异于O的两点A、B，求线段AB的长；(2)设P和Q是C上的两点，且，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为m，正数a，b，c满足，求证．2023年高考考前押题密卷（全国甲卷）数学（文科）参考答案123456789101112CBDCDADBBBDD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．14．15．(答案不唯一)16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．【详解】（1）∵，则，（3分）∴.（4分）（2）由（1）可得，由正弦定理可得，（5分）若选条件①：由余弦定理，即，（7分）注意到，解得，则，由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，（9分）∵，则，可得，（11分）∴的面积.（12分）若选条件②：∵，可得，则有：若为锐角，则，由余弦定理，即，整理得：，且，解得，则；（7分）若为钝角，则，由余弦定理，即，整理得：，且，解得，则；（10分）综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.（12分）若条件③：由题意可得：，即，解得，则，（6分）由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，（7分）由余弦定理可得，（9分）则，可得，（11分）∴的面积.（12分）18．【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为，（1分）由题意可得，，（3分）则，所以，关于的回归方程为.（5分）（2）解：由可得，（7分）年利润，（9分）当时，年利润取得最大值，此时，（11分）所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.（12分）19．【详解】（1）证明：如图，作中点，连接，因为是平行四边形，所以，（2分）在中，为中位线，故，所以，故四点共面．（5分）（2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，（7分）在中，．故的面积．（9分）同理，由三棱锥的体积，（10分）所以，得．故到平面的距离为．（12分）20．【详解】（1）由已知得：，，，设，因为M在椭圆上，所以①（2分）因为，将①式代入，得，得，（4分）所以椭圆．（5分）（2）①证明：设，则，，同理可得，，（6分）联立方程，得，，则．（7分）同理联立方程，可得，，则.（8分）又椭圆的右焦点为，所以，，（9分）因为，说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点．（10分）②周长为定值．因为直线CD恒过点，根据椭圆的定义，所以的周长为．（12分）21．【详解】（1）∵，∴，，记，（1分）①当，即时，恒成立，所以在上恒成立，所以在上单调递增.（2分）②当，即时，方程有两个不等实根，且，，∴，，，单调递增，，，，单调递减，，，，单调递增，（4分）综上所述：①当时，在上单调递增，②当时，在和上单调递增，在上单调递减.（5分）（2）∵，∴，（6分）由（1）可知时，在上单调递增，故不妨设，要证：，即证：，（7分）又∵当时，在上单调递增，∴只需证，又∵，∴只需证：，（8分）即证：，（），记，，，∴当时，恒成立，单调递增，（11分）∴，∴原命题得证.即.（12分）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【详解】（1）设A、B两点的极坐标分别为、，（2分）则，，因此，；（5分）（2）根据对称性，不妨设、，．（8分）