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文档简介
§4.2
特征函数特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；……….4.2.1
特征函数的定义定义4.2.1
设
X
是一随机变量，称j(t)=
E(
eitX
)为
X
的特征函数.
(必定存在)注意：i
=-1
是虚数单位.注意点(1)(2)
当X为连续随机变量时，kkeitxpk
=1¥(1)
当X为离散随机变量时，j(t)=itxe
p(x)dx+¥-¥j(t)
=这是p(x)的傅里叶变换特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：注意点(2)(1)
欧拉公式：eitx
=cos(tx)
+isin(tx)(2)
复数的共轭：a
+bi
=a
-bi(3)
复数的模：a
+bi
=
a2
+b24.2.2
特征函数的性质|j(t)|
£
j(0)=1j(-t)
=j(t)性质4.2.1性质4.2.2性质4.2.3性质4.2.4性质4.2.5jaX
+b
(t)
=eibtjX
(at)若X
与Y
独立，则jX
+Y
(t)
=jX
(t)jY
(t)j
(
k
)
(0)
=ik
E(
X
k
)特征函数的定理定理4.2.2非负定性.-
t
j
)
z
k
z
j
‡
0n
n
j
(tkk
=1
j
=1随机变量X的特征函数意正整数n，及n个实数数
Z
1
,
Z
2
，...Z有nj(是t)非负定的，即对任t1
,t
2
..和.tnn
个负(-¥上,+¥
)定理4.2.1
一致连续性.随机变量X的特征函数
j在(t)一致连续。定理4.2.4唯一性：随机变量的分布函数由其特征函数唯一决定逆转公式.j分(t别)
为随机变量X的分布函数和特征函定理4.2.3设F
(x和)数，则对的F任(x意)两个连续点211Titj
(t
)dt2p-TTfi
¥e
-itx1
-
e
-itx2F
(
x
)
-F
(
x
)
=
lim有X1
<X
2定理4.2.5连续场合p(x)=
1
2p¥e-itxj
(t)dt-¥为若X为连续随机变量，其密度函数为p(x)，特征函数，j如(t果)+¥-¥j则(t
)
d
t
<
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