直线、射线、线段【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升 （ 含答案解析 ）

专题14直线、射线、线段一、线段的和、差、倍、分【典例】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝12cm，BC＝8cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．【解答】解：（1）由AC＝12（cm），M是AC的中点，得MC=12AC＝6（由BC＝8（cm），N是CB的中点，得CN=12CB＝4（由线段的和差，得MN＝MC+NC＝6+4＝10（cm）；（2）由AC＝a（cm），M是AC的中点，得MC=12AC=a由BC＝b（cm），N是CB的中点，得CN=12CB=b由线段的和差，得MN＝MC+NC=a2+（3）①当点C在B点的右边时，AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=1由线段的和差，得MN＝MC−NC=a2-②当点C在A点的左边时，AC＝a，BC＝b，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=1由线段的和差，得MN＝NC−MC=b③点C在线段AB上时，MN＝MC+NC=a2+【巩固】如图，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m﹣12|+（6﹣n）2＝0．（1）求线段AB，CD的长；（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC＝4，求线段MN的长；（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA-PBPC是定值，②PA+PB【解答】解：（1）∵|m﹣12|+（6﹣n）2＝0，∴|m﹣12|＝﹣（6﹣n）2，∴m﹣12＝0，6﹣n＝0，∴n＝6，m＝12，∴AB＝12，CD＝6；（2）如图1，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB+DN=12BD=12（CD+∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB﹣DN=12BD=12（CD﹣∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9；（3）②正确．理由如下：∵PA+PBPC=∴②PA+PBPC是定值2二、计数类问题【学霸笔记】1. 若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多有个；2. 若一条直线上有n个点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有条；3. 过平面上任意三个不在同一条直线上的n个点中的两个点，可以画条直线；4. 平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最多，有个.【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．故选：B．【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n＝2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+…+9＝45条直线．请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？【解答】解：（1）当有2，3，4条直线时最多交点的个数分别是：∴20条直线最多有1+2+3+…+19＝190个交点；（2）当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是：∴100条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+…+100）＝5051个部分，同理n条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+…+n）＝1+n(n+巩固练习1．如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：①图中共有3条直线；②图中共有7条射线；③图中共有6条线段；④图中射线BC与射线CD是同一条射线．其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①图中只有BD1条直线，原来的说法错误；②图中共有2×3+1×2＝8条射线，原来的说法错误；③图中共有6条线段的说法是正确的；④图中射线BC与射线CD不是同一条射线，原来的说法错误．故选：A．2．如图，线段AF中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EF＝e．则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A．5a+8b+9c+8d+5e B．5a+8b+10c+8d+5e C．5a+9b+9c+9d+5e D．10a+16b+18c+16d+10e【解答】解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以E为端点线段有EF，线段的长度为e，故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选：A．3．互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（）A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定【解答】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三点互不重合∴a＞0，若点A在B、C之间，则AB+AC＝BC，即2a+1+3a＝a+4，解得a=3故A情况存在，若点B在A、C之间，则BC+AB＝AC，即a+4+3a＝2a+1，解得a=-故B情况不存在，若点C在A、B之间，则BC+AC＝AB，即a+4+2a+1＝3a，此时无解，故C情况不存在，∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，故选：A．4．如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB＝2BC＝3CD＝4DE，若A、E两点表示的数的分别为﹣13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（）A．﹣1 B．5 C．6 D．8【解答】解：由题意可设AB＝x，由AB＝2BC＝3CD＝4DE有BC=12x，CD=13x∵A、E两点表示的数的分别为﹣13和12，∴AE＝25∴x+12x+13x+14x∴AB＝12，BC＝6，CD＝4，DE＝3∴B、C、D三个点表示的数分别是﹣1、5、9．而A、E两点的中点表示的数应该是﹣0.5，∴上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是﹣1．故选：A．5．如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知：PQ＝AP﹣AQ=12AN-12AM=12（AN﹣AM）=12MN，所以MN故选：B．6．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36 B．37 C．38 D．39【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n＝1则m+n＝1+36＝37故选：B．7．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间【解答】解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×100+10×300＝4500m，当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200＝5000m，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200＝12000m，当停靠点在A、B区之间时，设在A区、B区之间时，设距离A区x米，则所有员工步行路程之和＝30x+15（100﹣x）+10（100+200﹣x），＝30x+1500﹣15x+3000﹣10x，＝5x+4500，也可以：利用人数越多，走的路程越少，总路程会越少，∴当x＝0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．故选：A．8．如图，B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE＝9，BD＝4，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为．【解答】解：∵AE＝9，BD＝4，∴AB+DE＝9﹣4＝5．∴以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和＝AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE＝（BC+CD）+（AB+DE）+（AC+CE）+（AD+DE）+AE+BD＝BD+（AB+DE）+AE+AE+AE+BD＝4+5+9+9+9+4＝40．故答案为：40．9．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC=12∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×12AB故答案为：4；（2）①点C在线段AB上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×（AC+②点C在线段BA的延长线上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ=23BC-23AC=23×（BC﹣AC）=23∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ﹣CP=23AC-23BC=23×（AC﹣故PQ是一个常数，即是常数23m（3）如图：∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．10．直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BC=12AB，此时点C就是点若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm．（1）MP＝cm；（2）若点G