结构力学李廉锟矩阵位移法

第十章矩阵位移法§10-1

概述§10-2单元刚度矩阵§10-3单元刚度矩阵的坐标转换§10-4结构的原始刚度矩阵§10-5支承条件的引入§10-6非结点荷载的处理§10-7矩阵位移法的计算步骤及示例§10-8几点补充说明手算：小型、简单问题，讲究技巧。一、手算与电算比较：电算：大型、复杂问题，要求方法具有系统性、通用性。结构力学中的电算方法—结构矩阵分析方法(杆件有限元法)结构矩阵分析方法是以传统结构力学理论为基础、以矩阵作为数学表述形式、以电子计算机作为计算手段大规模的计算方法。

超静定结构分析：力法，位移法，力矩分配法。§10-1概述二、结构矩阵分析方法特点与分类：(1)公式推导书写简明,导出公式紧凑,形式规格化。

矩阵力法(或称柔度法)——以力作为基本未知量。

矩阵位移法(或称刚度法）——采用结点位移作为基本未知量。借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。

(2)各种情况可统一处理，通用性强。

(3)计算过程规范化，适合计算机进行自动化解算。

理论基础：位移法；分析工具：矩阵；计算手段：计算机

对于杆系结构，矩阵位移法因易于编制通用的计算程序。§10-1概述三、矩阵位移法的思路：1）离散，进行单元分析，建立单元杆端力和杆端位移的关系。2）集合，进行整体分析，建立结点力与结点位移的关系。任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程§10-1概述构造妙结点:杆件钢的转守折点禽、汇狸交点显、支博承点母和截艘面突险变点初。非构突造结悠点:一陶根各等终截挠面尼直神杆素内震的个单瓦元第与便单摧元左之蹦间踩的琴结芦点足。1.结点全和单两元单币元采与衬单狂元吃之搭间何通扔过结点联结幅，结笛点一傅经确做定，惰则单但元也甘就全减部确牺定了者。单狠元——最肆基稻本露的贪分迟析木部烈件俊，觉最畏简稼单花的挠单阶元喊是授等瓣截牌面国直这杆辩。梁窑单布元—撑—受轴府力、总还受敏剪力奶和弯劲矩作买用则地称为尊梁单序元（延梁、拘刚架丘）。轴力和单元—辛—只押受文轴驰力吗作晨用拳的坚单巷元竭（劲桁愧架照）济。四、包基本吧概念§1毯0带-生1概益述2.坐祥标显系结钩构凳整降体数坐泽标胀系xo夕y用侦于省描沃述岂结白构崖整坟体鸡的认量——结厕点灾的楚坐贺标裳、仁结姜点寨的立位档移毒、对作厨用壮在新结场构略上夏的箱外鄙力窑等庆。

单元局部坐标系固定在单元上，轴与杆轴重合,自轴逆时针旋转900时的方向为轴正向。用于描述单元的杆端力和杆端位移等。

§1得0迹-甩1概励述离派散潜化将挡结桶构宰离医散波成引单歇元东的脖分导割龟点趋称涌作赞结飞点.634512135642结点谦的选臣择:转肺折伴点部、岸汇龙交共点扒、读支灯承符点劳、刚抽度叹变管化杜、滚荷衡载芦作逮用掩点累等整码体膛编系码芝：岸单缠元俘编树码历、暗结堡点握编其码差、结点焦位移浓编码堆。（1阻,殊2须,傲3）（4授,生5蛾,还6）（7,阅8,敲9）（10木,1无1,睛12）（13剑,1设4,酷15）（16逃,1压7,纯18）坐标舅系:整刊体(结构)坐标扫系;XY局绍部(单元)坐标撇系.曲俩杆临结垦构:以便直遮代幼曲.变熄截朋面抹杆酿结意构:以丛等呈截园面鸟杆代阴变工截遗面作杆§1见0汤-森1概之述不乘忽携略前单次元听的摩轴券向沈变膛形秘时趴，寨平条面窑结博构静中况每纳个雹刚扭结绵点窄都世有3个独厨立的勒位移越（2个凶独长立的线广位贸移赴、1个辫角泽位倦移阔）坝，茅每我一仙个使铰豪结窑点肆则狼有2个忽独捷立苍线膛位裳移谣。平铸面仁刚幸架谋单项元虹的肥杆筋力晶列愧向忘量架为(10罚-1)平订面陡刚舞架取单她元使的虎杆照端椅位晋移咳列臂向独量趟为(1踢0到-毫2）注夜意粉：杆款端在力承与帅杆守端拌位景移素必名定驶是节一赠一正对脑应漠的饼，界即光有两几待个县杆递端霜位填移灯分找量务就漠有凑几挑个瘦杆容端惊力康分刘量糕。3粱.杆端捏位移榨和杆似端力§1早0灿-乐1概述平阀面坝桁踢架眠铰吉结洽点维只目有景两轨个砍独沈立禽的天线捷位巴移摸，荡与雁此平对猪应爷，张桁钞架趴单枯元黎的祖杆丈端蚂力灵只鹿有五轴扯力俯和付剪雪力笋与哑其梯对弯应设，轿但缩慧实肠际竹上逃桁宽架瞎单愿元疑的增剪倚力忙总丢是味为截零盼的扬，诸所捐以抛有(1庭0摸-爬3)杆端怒位移垂向量(10朱-4)其驳他夜任拍何贯单倦元谷都烛存真在鬼杆酸端呜力两与思杆毕端沃位腿移盘一封一煮对意应掩的陵关寒系沫。杆秃端盏力熟向撕量§10大-1概刘述作斯用宾于拿结必点蓬上处的洗所克有飞的终力闯的浮合耗力,沿坐娱标轴庙方向枯分解颈为三展个分破量,构成针该结分点的结点宜力向采量。4.结点蛛力和拔结点当位移与粒结么点培力沉向裁量可对蔑应生的成是结镰点秆位洋移牢向饲量，搞是澡矩矮阵杜位山移瓜法跌的基萍本酷未歼知葡量。注意息：结惩点止力挣和丈结尊点货位池移倡都纤是岸相达对匪于整虽体煮坐限标更系的。§10歇-1概述杆方端幕位沃移然和平杆筹端州力的狡正驼负翼号勉：作用啊在结点眼上的吵外力较和结旅点位天移的园正战负酸号塌：5.正绵负鲜号朗规筒定（扣强边调剖）凡是赏与单霜元坐载标轴午方向贸一致任的位颈移和篮力均篇为正择值，反之母为负床值。力球矩傍和扎转慈角嗓以逆娃时南针方静向漆为挂正嫌，穿反恋之痰为洋负哪。与付整治体快坐岁标道系堤方蚀向繁一慢致题的铺结填点铜力馋和牛结问点巷位准移陶为绘正博，气反睁之用为夜负且。以逆续时访针转轧的闭结脆点颗力浮矩开和琴结其点巧转击角左为迹正观值,反目之岛为主负廊值狠。§1乒0心-祥1概株述矩阵给位移祥法基监本思遗想:化妨整胸为触零--免--愧--结构盖离散甘化将结条构拆谣成杆对件，垫杆件词称作单宰元。单雄元廉的必连盏接兔点魂称幸作结植点。单元廊分析对单毁元和活结点疤编码.634512135642e单监元直杆敌端段力集零肿为整-储-筒-触-勺-害-整缴体准分详析单聚元渡杆析端哨力结旋点岂外辟力单台元粱杆尼端桌位猫移结点秋外力单元加杆端材位移(杆患端时位渠移=结田点牛位绒移)结数点鸣外丸力结点摊位移基本霉未知袄量:结点更位移§10牌-1概述1秒.建立单元公杆端功力与慎杆端喷位移鼠之间伤的关突系截面沙直杆缩慧单元e提,其杆凡端冒位介移步列愁向床量垃与脖杆匆端那力羞列蚁向伙量倡分编别刘为§1崇0杜-煤2单祥元扬刚砍度奋矩彼阵当杆端轴向位移为、时，，由胡克定律得杆件轴向变形的刚度方程为（a）在刷线瞎性残小倍位膝移勤范风围销内阀，时忽练略鼠轴圣向栗受盖力级状哑态述与维弯铅曲扬向扔受蹄力质状冬态艰之被间榴的银影扑响光。§10次-2单元跑刚度夺矩阵杆端压横向太位移△ij正负姐号规粱定:使杆的j端绕i端作括顺时刚针转艺时为组正值茅。由燥两坝端鹅固垄定哭等苹截戏面笔直障杆扮的兽转剂角浴位贞移衡方题程稀有（柜b哭）§10千-2单际元息刚建度淡矩泻阵将呆上烂述（a）和（b）两壮式糊合戚在含一赖起夺，受写映成贺矩锈阵稻形球式仅，妨有=——单忧元驰在缓局南部捞坐晕标屑系僚中聚的罩单您元华刚笋度讲方驴程巩。它甲可猎记浑为（1婆0鸟-叙6岭a）§10滋-2单元棍刚度特矩阵其益中（1健0训-旗7）称为局部坐标系中的单元刚度矩阵（简称单刚）。的行数等于杆端力向量的分量数,列数等于杆端位移向量的分量数，的每一个元素称为单元刚度系数，其表示了一个力。§10具-2单蓄元萝刚川度黑矩黑阵任一元素表示当j号位移为一单位时引起杆端沿i号位移方向的反力。§10管-2单估元适刚弱度沸矩嘱阵单刚阵中某一列的六个元素表示当某个秆端位移分量等于1时所引起的六个杆端力分量。第1列的六个元素就是当(即端点i沿正方向发生单位位移)时，单元的六个杆端力分量。§1痕0师-得2单元土刚度佩矩阵从宇单他刚很元信素本的最物通理焦意爱义滨出戚发非得省到休单世刚督阵图常示侨量盼均某是政正兽的单采元欠杆陵端贸位倦移骄示缓意§1宏0歌-交2单元行刚度锣矩阵单提元留杆仍端航力四示盒意图对示延量巡寿均斯是韵正耻的§1呈0厉-邮2单戏元森刚查度但矩光阵单一枕位移保时的挪单元路杆端拿力§10落-2单别元寄刚福度善矩派阵单一遇位移絮时的撇单元没杆端处力§10页-2单元靠刚度卧矩阵单袖一钟位昂移稼时筒的嫩单孝元舍杆扶端吉力§10貌-2单者元仆刚昏度脏矩哭阵单一赴位移饲时的裳单元任杆端妻力§10丽-2单酿元放刚罩度介矩筒阵2.单元地刚度胃矩阵蹦的特季性（进反变力士互呢等暑定乐理姻）（1）是对称矩阵。§10盆-2单斧元项刚性度快矩雨阵表劣达膝的闷杆保端茶力愁和耍杆盯端图位洞移词的薪关拼系脖，对汇应腥于岭一包个漏完稿全炉的跨自蓝由属单辈元廉，没壁有味任俊何伐支运承奔约湾束益，灵可怎以浇有朽任默意树的自刚银体脚位幸移爬。(2)是奇异矩阵。即，其逆矩阵不存在.可以由杆端位移确定杆端力。反之，若已知杆端力，却不能由式反求杆端位移。物理销概念慰为：局部食坐标旦系中渠的单蓝元刚窜度矩蛛阵错，只劳与单档元的展几何孟形状糠、尺海寸和嗓物理心常数煮有关广，与铜单元及在结昼构中父的位互置无厨关。(趴3宋)位视置采无厌关搂性矩阵粱位移膊法的停单元触体现够了更赔强的测通用在性。§10蛛-2单元部刚度侍矩阵单元然刚度傅矩阵也为:3.其他颜单元级的单依元刚山度矩逃阵（10荒-9）(1)平面递桁架贼单元§1障0辣-播2单牺元姻刚乱度瞧矩间阵若把连续梁两支座间的一跨取作单元，杆端位移条件为：，，，。单元导刚度屑方程室为(10-11)单势元拐刚迟度俯矩彩阵阅为（1疏0吵-贫1倍2）（10劝-1唐3）(2范)连续生梁单奇元杆塞端机位没移借向敲量冈与革单从元穿杆弊端吉力软向懒量蹈为:§1犁0之-毁2单元盾刚度辅矩阵注滑意摆：矩阵每中只如列出谜弯矩什没列膊出剪凳力。教这并非不是宫说连遍续梁务单元没中没种有剪辣力,只挨不集过言是旱只扬把退杆均端纳转奇角酿作恨为堆基凭本施未绕知该量铁来陕考候虑掩而警己雨。催求两出赖杆菊端术弯哑矩,便可国求出宵剪力萍。§10系-2单森元亦刚烤度拼矩筑阵整丧体舅分样析费时辫必毯须闻建兰立编一日个多统挡一仁的崇坐净标纽奉系换，能称倡为沫整伸体获坐蛋标旧系恐，槐其核作惩用茧是扰把查各您单末元像上搅不薯同防方拿向悦的衰量良值柱统默一妈到爱整饱体侄坐吵标磁系善方啊向仇上黄来智。炉整随体协坐独标餐系共中劫，雪单涛元离杆恐端故位径移刚向熄量妹记圣为{δe},单元埋杆端朝力向队量记武为{Fe}问题紧的提钩出§10阵-3单元敬刚度碗矩阵潮的坐裹标变环换局部坐标系下的杆端力整体坐标系下的杆端力1同.单元雀坐标台转换就矩阵局部坐标系

与整体坐标系为xoy的夹角α以x轴逆时针转到与局部坐标系为正。

§1华0锻-愤3单元稀刚度忆矩阵躲的坐禾标变亦换j端彼点疗杆将端允力愧转不换握关腹系端点i处的煌杆端日力分头量，甜有下鸦列转蹦换关五系：（10-10a）（10-10b）整介体么坐隐标驳系织下温的敢杆酸端箩力单与性局玩部菊坐意标悦系嗓下悦的古杆起端党力哨之寨间停的通关举系§1深0舒-前3单锻元陵刚啊度哈矩姨阵棕的递坐斤标删变晃换简记彩为将（10语-1屋0a）和（1毯0烘-划1手0丙b）联合抛起来脾写成俱矩阵均形式§10蚕-3单元钻刚度抬矩阵霜的坐巨标变酸换[T术]称为嗓单元亏坐标领转换惧矩阵,[T我]是一牺正交烂矩阵洞。[I役]为与[T]同逗阶坏的榆单针位坏矩参阵描。或§10铸-3单元对刚度拦矩阵暗的坐竿标变蛙换同理由可得坐巧标种转撞换发矩厌阵浇为象：对平面桁架单元

，。§1万0罗-顽3单元崇刚度苍矩阵橡的坐罚标变勉换整享体堡坐耳标崭系舍中案的锅单仪元竹刚辜度推方失程伞写姐为局部将坐标捐系中惩的单雪元刚友度方贫程写壤为由，

，得等式两边左乘，得2嗓.整亚体湖坐肢标扎系贡中叼的速单辰元辛刚优度尤矩巧阵从而房诚可得表两种将坐标登系中除单元墙刚度遍矩阵料转换阔关系廉式:§1开0揪-井3单但元盟刚烂度容矩河阵怒的勾坐恰标映变比换对钢于教平湖面附刚骄架赞单瓶元彻，整评体上坐督标冲系冬中眼的太单讲元昌刚凤度嘴矩锁阵哀为式捧中箱：§1鲁0师-挽3单元赏刚度袜矩阵问的坐岭标变剧换平面夫桁架阻单元倚在整默体坐赏标系同中的狼单元埋刚度敬矩阵敢为:整体坐标系中的单元刚度矩阵具有与类似的性质(对称性和奇异性)。§10钻-3单昏元回刚逆度政矩策阵紫的农坐虎标拖变鹅换表示单元j端产生单位位移时引起

i

端的杆端力。对捎于情平佳面讨刚应架吓单雅元整体茫分析咐中，尖对每逆一个搬结点正分别餐建立梁平衡幻玉方程笔，为嘉了讨亏论方姑便，省将单恋元刚肆度方叨程按自两端浩的结鹊点i、j进陕行萝分吐块芳，切写恰为对于拦平面柏刚架仔单元坊，它猫们都刑是3×丘3阶瓦方兵阵烦。对隶于扑平椅面元桁贷架纲单秀元路，州它骡们巷都追是2×踩2阶方踩阵。§10饿-3单元苍刚度赔矩阵演的坐叉标变轮换例:整徒体记单开刚毕的甜计来算21已知:求:各单婚元整台体单翅刚解:§1飘0辈-顺3单元秘刚度阁矩阵食的坐到标变傅换§10随-3单元暖刚度睁矩阵挡的坐骂标变勤换本节绕开始踪蝶对结家构进荣行整唇体分遮析(后慌处敲理反法)分逮析仆任协务:建泥立蜓结坡点箭力岭与纽奉结片点盐位寒移裳的腿关毙系-结遍构乌的抖刚挪度仗方垫程例:第侵一泳步:编号嫌，建侍坐标符呆号悟：会与松整治体纺坐济标跃正歉向狱为旺正射。结幕点工力充列忘向羡量结点框位移药列向旁量其中请：§10朋-4结份构朋的趟原必始驾刚政度及矩糕阵、

—

支座反力、

—

结点外力{F}俗=叫[K]{Δ}—掘—表扣示功整谢个怕结荣构赖在酒整步体夺坐陵标枣系粉中狮的病结渠点馅位轻移犬与派结拌点润力世之胸间泽的伤变永换葡关穴系挑。--明确答任务有n个结碍点的愧平面度刚架枪，Δ是3n阶向胆量。有n个禽结隐点鼓的平广面烧桁猾架,Δ是2n阶粗向曲量忍。{放F窝}——结毁构丈的戏结栽点勤力师向琴量秩。浊它订是道由膀作静用狱在泄每肯个核结蜜点椒上财的熔外堡力(包括遵已知阵的荷某载和制未知秤的支桐座反自力)构成湿的。注懒意愚：{F汇}与{Δ宣}的阶耽数相像同,而且旁是一肉一对棍应的显。{Δ尚}——结构剧的结葵点位嗓移向筐量。励矩阵煎位移从法的液基本棕未知撤量。[K]——结很构请的迫整骑体偿刚柏度丈矩倘阵蒸（战总烛刚鲜）叫。倘其狠行暑、饮列受数精等五于体结板构婚结道点让的叉位柿移钉数醋。§10声-4结目构士的辨原略始舱刚扮度胶矩陶阵第二惨步：晶单元铁分析§10氏-4结狡构贝的坟原睬始建刚扎度罪矩潮阵第三步，利用变形条件和平衡条件建立与的关系。分悔别绘对季结腿点1，2，3，4进拔行汇分斜析§1与0遮-妈4结构守的原酿始刚衔度矩绍阵由鼻变青形闯条乳件溜：由平片衡条刚件：如结销点2：即当：即：§10系-4结构仁的原作始刚摇度矩稍阵同理师，对组结点1、3、4的平唱衡条留件为熄：写成心矩阵临形式束：§1症0妥-争4结构微的原史始刚弟度矩聚阵上式扇称为再结构泻的原确始刚初度方确程，世简写告为：称为结构的原始刚度矩阵，简称总刚。总索刚起度忌矩迟阵曾特行性：（1）[K]是对语称方澡阵；kij=kji（反力挠互等里定理详），查贮存桂总刚高度矩单阵时她，只尸需贮须存它承的一训半就姑行了刻。（2）[K]是且稀自疏扩矩邀阵毛；非货零就元概素把只甘分摔布距在可主扮对止角蚂线饭两洲侧吓的册带笋状芦区追域疤内咐。表呢示袭结溉点畅位输移{}和蛋结泼点呆力{F}之间治的关狗系，煌反映富了结健构的太刚度拐性质贫，而扮不涉响及原帐结构压上作姨用的实侍际偏荷健载，并嚷不落是原议结夕构衫的纹位临移铲法乳基湿本叶方罩程泻。§10瓦-4结镜构价的产原凉始致刚共度识矩怨阵当轻尚役未五引窄进魔支死座锯条俗件届的嫂情茫况烛下哥，付结片构佛刚绣度估方吹程泰是倘无符法忘求颠解障的惯（来未御引功进战支腐座倒条湾件鸟时西，幕结犹构缎存胆在陈刚株体睛位钢移仁）拖。（3）K是替一胖个逮奇拔异壶矩陆阵援。特伶称蹲没蓄有成引御进腹支待座浆条东件箱的忆总咐刚衡度惑矩柱阵挽称盒为原寒始霞总殿刚胀度欧矩旅阵。建简立晚总荐刚牢度成矩墓阵绒有夜两唇种骄方煤法:1）劈燕理毙论蓬推涉导,即刚挤度法冈。2）直缘瑞接由徐单刚嫩阵按屡一定伏的规细律集益成总抄刚度灯矩阵典，称育为直接弓刚度发法§1藏0刚-兰4结构锤的原留始刚市度矩缎阵由总付刚中针元素尘的物枯理意挥义形径成：2(4,5,6)1(1,2,3)3(7,8,9)12则驳有:若令:其他Ki闷1为0，这昏种方殖法太该麻烦侍。§10椅-4结垄构驳的真原钳始缓刚根度期矩料阵桁即架君的除指透示习矩舱阵启为吃：任何任一个津杆端猪都与换一个哈结点险对应完。图劫示桁止架，淹其单碗元杆余端与向结点西号可斗用一纷个矩籍阵来积表示卸。矩虹阵的汁行数职为单害元数皂，列落数为2。每止一行亿的两志个数冰分别捡表示泡该单鼻元i、j端对童应的化结点切号。矛这个养矩阵虚称为版指示椅矩阵黎。指示遥矩阵渗实际序上也胶给出醒了各予单元叛坐标妹系。ij直接孔刚度故法形暮成总兴刚度房诚矩阵直接焦刚度筐法——直径接慕由钻各缺单步元咐刚阔度裳矩宗阵佣装撇配疗形宏成吗总责刚爽度乔矩句阵挖。扔是迁目垮前戴编胁制网计亮算赛机瞧程堂序蜻最陆常摘用恨的佩方徐法零。1.首熄先猜应岩将医结头构饺的桑结辟点搬和休单梁元耍编赌号攻。压编疫号循可异以偶任韵意滤编绩，藏并赏不根影喂响将计废算屈结秘果驰。§1按0辟-跟4结沿构针的阁原奸始迟刚烦度灭矩朽阵2热.首爬先湖列夹出谁整絮体招坐也标寺表侦示朝的电单门元吃刚壤度老矩碰阵牲。3.将柄单淹元悔刚摩度须矩反阵碌划葡分夜为4个吴子乳块民：4.按技“醋子留块另搬渠家汇，膛对剧号验入彩座恰”广的纲原明则桥将盒单厅元确刚灯度池矩渔阵认中光的您子子块屋，裁一体块卫块朗地其搬茎入披总窄刚格度鸟矩乖阵灯中退，自而隙搬淋入董的矿位患置态则尖根始据价指乎示能矩犬阵G的规不定来外确定晒。一般食的规门律是境：第e单元i端焰对记应煌结迹点松号棉为g,j端对池应结吉点号伍为h。“搬家顿”时因将该量单元喝单元塔刚度磁矩阵连中的宅子块Ki谦j搬吩到础总颠刚岸度洒矩锻阵座中半的息子斤块忌位满置Kg晨h，即打搬尾到酸总宽刚桂度姜矩仙阵喝中格第g子低块必行尚，阔第h子跪块醉列傅中获去僻。§10油-4结构垃的原组始刚捧度矩当阵→K11

→K13→K31→K33例如,图逆示坛桁付架棕第⑤号单案元的4个盆子希块穷，县根乖据山指您示径矩嫩阵G的症指润示国，可分逐别梯搬顷到储：§10碰-4结军构恨的句原晌始赖刚迫度谊矩专阵2）用上疾述“植子担块树搬琴家浆，解对承号败入椒座崖”粗装副配辫总受刚驳度伸矩宣阵的消方净法也寄适淹用众于钞其探他智任啦何勺杆钩件疫结盆构见。各单蔬元都局按此藏原则漏“搬姥家”淹后，廉桁架蹦的总骨刚度冬矩阵胸为：

1234

注贵意瘦：1）总蛾刚的一个愿子块吊位置纸中搬今入几躺个子竹块时介，这潜几个掩子块踩应叠拥加。§10瞧-4结奏构沙的昌原舟始零刚奸度紫矩钉阵总刚望度矩然阵的土构造图公示趁桁砍架蔑有4个结炭点，悟有8个标位皱移题分赏量梳。Δ=｛u1v1u2v2u3v3u4v4｝T总组刚宜度王矩翼阵灵则府为8阶丛方垄阵：子块行元素行子块列

1234

元素列

12345678

将其板分成4个子抱块。陪平面婆桁架勿，每倘一结设点具横有两删个位怜移分翠量，研每一痒子块旨中就糖有两势行两好列共4个毅元备素估。1框.K3哄2的捡物诸理晃意惑义旧是渗什谁么房诚？思偏考征：2.k35的既物偏理体意预义极是活什昆么？§1塞0沫-愁4结构杰的原遵始刚死度矩愚阵1啄.子碎块K32表渠示吓结种点2产青生童单尘位椅位像移唱时街引讯起万的政结盘点3的阴结步点绪力跟。2.k35表白示尺第5号亦位耳移翅（暖结类点3沿X方向背的位耕移）俊为一糕单位弦时引劈燕起沿炒第3号睁位沃移翼（叮结抬点2沿y方炎向馒的盼位枕移况）邪方辨向拘的肚力赢。衔这纠个根力舒应虾该修理朽解倒为为相皱当嚼于互按碎位户移泻法标的药基港本钳结骑构栋所象规页定耽的渣结素点2的竖先向附脑加约垃束的善约束竞反力唱。4.总刚称度矩壳阵中育某一盟元素能的物份理意瓦义是步什么颤？3秋.对镜于艰空焰间提桁捷架狠和牧平赴面遵刚肤架拣，重每固个揪子剩块爹中侍含咱多协少赠个阔元私素风？思您考舍：答屯：§10辫-4结构饱的原滥始刚胡度矩雨阵1）首浩先对株其结腥点和久单元印进行传编号烟如图虽示。每封个绘子新块员都犁是歌由3×狸3阶昨的9个元密素构杏成的番。3）列公出刚淹架的技指示思矩阵

ij2）列出各单元的用整体坐标表示的单元刚度矩阵为：平贤面白刚热架§10剧-4结构悠的原蚕始刚辰度矩老阵对号潜入座哨装配框总刚镜度矩举阵为笔：

12345§1臣0兽-魔4结构辅的原弊始刚跌度矩勾阵主宫子炕块钢：主对秃角线蔑上的夺子块爽，副子臭块：非联主耐对免角辛线灭上柿的饲子愚块垄，，相关单元：连接结点，单元。相关结点：与结点相邻的结点。

相关单元：与结点相连的单元。总手刚欠的后特闭点渗：1）（为结点的相关单元）

2）若，非相关，则，若为相关，则（为结点,的相关单元）

总刚鲁的形妄成：棒对号鲁入座每，同裹号相躬加。单刚雾子块托在总猪刚中即的分瓶布规辆律总奏结：§1元0扎-被4结构景的原位始刚筹度矩耗阵解：条有关抗参数单签刚秩见燥教善材影（院略晨）例：试求图示刚架的原始刚度矩阵。已知各杆§10构-4结败构与的津原夹始粥刚靠度挨矩咏阵§1宜0抄-炉4结构惧的原耕始刚掉度矩粥阵作业:求图示结构总刚度矩阵中元素1342（1,2,3）（4,5,6）（7,8,9）（10,11,12）EI、EA为常数，各杆长度相同。§1举0造-逢4结构愈的原吗始刚茂度矩容阵图示竖刚架乱原始木刚度布方程未知未知未知未知已知已知已知已知§1屠0茶-盒5支敏承通条巧件舍的候引殖入未知未知未知未知已知已知已知已知由轮于虎结呀点1、4为夹固捡定加端塌，幼故滤支戴承决约侍束幸条奥件晨为代入茫结构氧原始脂刚度姑方程海，有和§1仿0抹-帮5支承修条件迟的引咳入其中为送引值入窗支肺承破条奔件膜后条的唉结西构爸刚半度旬方莫程最，俭可再写懒为剧：式中：只包括已知结点荷载，只包括未知结点位移，此时的矩阵即为从结构的原始刚度矩阵中删去与已知为零的结点位移对应的行和列而得到，称为结构的刚度矩阵或缩减的总刚。此时，由于引入支承条件，消除了结构的任意刚体位移，故结构刚度矩阵为非奇异矩阵，可得到未知结点位移的唯一解。（若此时结构刚度矩阵仍奇异，说明原结构为几何可变或瞬变体系）。§10翅-5支悬承烤条捧件耗的诉引用入求训出具未召知象结肝点惯位慰移加后点，刷可宴由地单炮元多刚跳度稀方拍程烧计字算圆各宏单流元孕的战内温力禁。御整耐体碗坐说标指系笼下民，辈单眠元初杆捞端渴力区为雨：可屿求户得嗽局寨部倦坐泥标丙系弦下梁单秘元将杆溉端虽力或总：抵局冠部工坐项标蝴系欢下连单殿元香杆吊端企结榴点旬位兵移同样断可求夏得局苍部坐稍标系吊下单斑元杆破端力§10决-5支承坐条件狂的引脂入求出未知结点位移后，由式可计算支座反力。但惩是睛，脉当眼全浊部瞒杆腊件宪的惯内残力先都芳求修出得后亡，棋一沉般袜可数由男结碗点吹平栗衡勺条寺件骂求勉支探座跃反池力距更振方慰便疲。§1挖0岂-骂5支纸承队条述件酿的挣引青入24图示失刚架夫的原挑始刚伍度矩币阵舍弃则与约毁束所纺对应垮的行屈和列中，得而到引妨进了删支座都条件音后的本总刚窝度矩称阵：这就愈是后处慌理法，即先集僚成总问刚度平矩阵，然后泼再引尿进约托束条。厕还浸有先处筐理法，即先引扒进支棕座条冶件，然后诸集成痛总刚昏度矩覆阵。(暂略)§1贱0稻-栋5支趋承屑条耽件绑的即引恩入

1234引进哪约束她条件美后的贡刚度欢方程冰：通过日求解径线性仰代数遥方程五组的似方法园求出稿未知史的结酒点位匠移向外量。图押示草平惩面凯桁垃架刘结广构详，仁结帆构荣的羊原涝始别刚句度寇方孕程饶为者：§10泡-5支露承释条炮件洒的耽引素入123431241234②③①(a)(杠b电)(东c婚)对谢于艰平蜡面越刚士架座单张元野，博若清单义元个上方作锹用希着删非迹结锦点抢荷烂载假，芝则镇单俘元的杆碑端力世将由袋两部竖分构陕成。俯一部卧分是妙由结方点位旦移所荣引起的，盯另一卸部分拳是非昼结点颗荷载痒作用甜而直伶接引谅起的旦杆端拴力,即固雀端内昏力。§1当0额-纪6非结蔑点荷兄载的恩处理3124(逝b赖)同犯位泄移袭法恩，涝刚雹结瓣点那处纽奉施屈加很附枝加详链烤杆亿和显附逼加陵刚永臂允阻辈止鹊所岛有漠结盈点砌的秃线较位茄移性和卖角锡位经移脖，芹此暂时董各锈单锐元赏有码固垦端皂力拴，安附西加边链冷杆责和冷附炎加启刚辣臂蔬上约有歼附百加蛙反仓力安和笑附券加蓄反满力田矩臭。源由萄结刷点孝平营衡磨条榆件表可第知旷，致附羡加唯联姐系肯上镜的弃附斗加凡反欠力趣等咳于美汇繁交害于雕该续结俯点次的寨各探固败端罗力匪的杆代录数搞和处。某简单律元e受非爬结点拴荷载岂作用陶，单锦元局昂部坐破标系恭中的丙固端轨力为辱：固端忙大被小仰可搅由有固纳端贯内配力双表战查擦得评，P轰2沉5陪2表1昏0驼-凑3。§1掌0弄-接6非结倾点荷设载的努处理1234（c）取消绝附加寺联系狭，相随当于垮在结窃点上鼻施加道了与灿上述米附加丧反力耗和附共加反沉力矩定反号崇的荷是载，运此荷颂载成撇为原肃结构浆上非笑结点秆荷载根的等效算结点待荷载尘。注意益：这衣里“约等效愿”指五图（a）茎和蝇图托（c）蓄的剃结样点射位覆移冶相例等整忠体准坐煮标统系据中朽的桐固糟端蜓力下为怒：将各播分量胀反号杠并对芦号入霜座送坑到荷做载列掀阵中敲去，乐即为眯等效柄结点程荷载录。§1过0暴-志6非结摇点荷这载的雄处理任一原结点i上的软等效振结点受荷载FEi为：如果显除了趁非结炉点荷滑载的伏等效食结点嫩荷载FEi外挺，阻结糕点i上还渠作用蔬有直惜接结贼点荷郊载FDi，口则i点总蓄的结折点荷蚂载为乎：结点i的综合结点荷载整个结构的综合结点荷载§10换-6非断结乖点填荷次载考的浮处步理各唐单泄元航最说后继的堪杆眠端糊力薪是鸣固破端阻力岁和友综摘合岛结酷点裤荷担载坑作僻用赶下舌产筹生钉的值杆钻端必力班之以和粱，镰即和或§10粮-6非早结施点谎荷筐载侮的王处枝理表:

单元固端约束力（局部坐标系）

荷载简图

始

端1末

端21

2

122abFP-§10聋-6非结考点荷劝载的祖处理表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10艺-6非结劝点荷连载的烟处理3

4

表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§1隆0奴-良6非结洽点荷饥载的柔处理5

6

表:

单元固端约束力（局部坐标系）

§10撤-6非佛结贺点施荷柴载孟的悼处戒理7计算牺步骤速：（1）切对绢结猜点唯和御单米元恼进留行迫编俘号粉，撇选勺定扯整方体壁坐男标夫系撇和留局诞部挎坐蜓标培系蜓；（2）计瓦算各缸杆的渴单元灿刚度豪矩阵含；（3）真形嗓成旁结票构提原可始粘刚颜度饶矩予阵异；（4）计材算固誉端力恶、等享效结宅点荷汉载和鸟综合茶结点诊荷载造；（5）遮引辰入妙支昏承虽条好件很，喂修件改效结枝构竭原召始昼刚别度额方撞程响，游得慰到凤缩千减倒总徒刚思；（6）悼结忧算计结恒构灾刚勾度移方术程葛，西求柴出奏结掉点搂位脸移喘；（7）锋计偿算恨各罪单碑元沉杆石端礼力循。§1佳0取-签7矩阵纠位移等法的庆计算闹步骤织和示英例[K]求陵单旨元筛常梢数[T]{F}原始倾数据易、局勿部码维、总摇码解表方洪程{F}=[K]眉{}求屡出男结岂点市位传移{悦}开始单元刚度矩阵ke单元固端力e结束[K]{}={F}{FP}+=程序设计框图求杆端力eeee§1拿0怀-战7矩阵算位移掩法的那计算爪步骤碗和示僚例123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③10蚊-1求图塞示刚培架的四内力放。已懒知各茧杆材安料及催截面过相同抽。（1）梁将轻单型元告、训结励点落编洒号欺，技确标定粒坐南标拴系珍，如占图酿所筋示环。（2）竟求奏出舅各京单额元笔在铅整戚体葛坐储标风系深中解的计单元刚优度矩直阵，强见书P2枯47。（3）将夫各单瓶刚子鸟块对馒号入尊座，桃形成涛结构个原始绵刚度质矩阵祸，见搬书P豆2遮4斥8。（4）计策算非盏结点赤荷载润作用炮下的拴各单朗元固敞端力谨、等膀效结津点荷跨载及硬综合结喘点荷捡载。对局赶部坐窗标和振整体认坐标罢不一池致的亿单元县，要衡对刚方度、逝荷载暂进行甚坐标篮转换娱。§10遥-7矩恒阵拣位型移贴法至的询计古算技步签骤舱和催示颈例各啊单获元镇在践其贡局返部哀坐段标倍系熔下慈的寸固说端溪力节为态：§1笨0柄-插7矩阵精位移舰法的万计算循步骤种和示伙例经过锄坐标习转换柴，得设到各肠单元铁在整饼体坐昆标系匹下的悲固端砍力为免：§1把0姻-等7矩阵吉位移危法的猾计算左步骤史和示缎例结哲点2、3上的同等效嗽结点隆荷载芦为：结储点2、3上绍的萌综理合麻结棋点留荷怕载御为厅：123430KN/m100KN50KN2m2m4mxy②①③§1刮0拣-楚7矩瞒阵虹位胞移欢法衰的粪计示算府步气骤猛和蓄示输例结构验的结象点外犬力列辉向量萍为这瞒里幕，F1和F4应喜为晴综旷合咽结拖点记荷锋载块和蒸支殖座气反赠力槐的榜代研数写和铜，富其非中离支列座吗反堡力银仍秆为稍未蔽知呀量停；仆引菠入茶支粒承贞条图件居时穴，F1和F4将徐被渐划常掉明，栏因乎此刷不治必鬼计烤算象其协等俭效河结侮点贫荷护载箭和拐综程合顿结始点码荷志载忌。结蚀构赴原妻始下刚起度摆方何程图见捐书P茶2座5订6§10浩-7矩六阵达位货移廉法知的哀计喜算斯步丘骤设和烫示添例（5）喂引爆入躺支费承泳条蛇件嫂，星修茧改糠原锅始骑刚澡度惧方箱程网。结点1、4为批固中定桐端亚，膜位村移蛋已众知祖：代入闭原始损刚度畜方程陕，得乏到修嗽改后紫的结持构刚欺度方钓程为§1耻0顿-滥7矩皮阵瞎位劳移评法央的耳计有算泥步涛骤贤和厌示尾例（6）顿解低方锻程顿，蒸求稿得委未彻知消结费点推位佩移木为顷：（7）投计脉算井各公单谁元吗杆咸端页力细，役见澡书P2泼58。§10牙-7矩阵由位移悠法的丹计算弟步骤跑和示摄例10敬-2平面急桁架赶如图核所示成，各壶杆截离面EA均为劲常数此。已勇知F1=予1箱5k霉N,F2=2能0k秒N,试求重桁架杂各杆皆轴力韵。解:(接1循)对结内点和孟单元诊编号cosαsinαα即Cy即Cx单元单元坐标x轴方向（即指示矩阵）单元长度(m)1→2①30°101.732②3→20°0.8660.52.00各单元参数表§1软0经-值7矩处阵肢位丙移刚法软的晕计敏算罗步抱骤松和乏示疲例(2准)列例出累各鞋单摄元胃刚详度衔矩垮阵整体秆坐标雾表示缓的单顾元刚心度矩膨阵§1撕0筋-魔7矩阵惹位移臣法的姿计算军步骤夕和示葡例即

§1遣0巷-邪7矩串阵乞位屑移孤法竟的圈计轮算培步俗骤贼和怪示终例(贡3鸦)集合疼总刚然度矩释阵原始冰总刚幼度矩若阵为核：

123取出侍总刚蔽度矩紫阵中毫与自陶由结宇点2相对域应的微元素乐（第2子俊块貌行言、蚁第2子豆块滚列疾中戴的沉元才素庄）,舍弃泥约束屠结点鲁所对竿应的科元素缠，得问考虑聪约束乎条件地后的燥总刚执度矩帅阵变庭成：§10修-7矩阵疼位移聋法的袋计算裹步骤荐和示推例(4帮)建纯立穿刚享度砍方具程权并柏求女解F=K被Δ解得结谢点丝式位险移照列今向拾量展为(5聚)求荡杆验端世力§10舟-7矩阵舒位移炒法的糕计算疼步骤计和示拖例单元①的单厅元结嘉点位肠移向尝量为单元①的杆端力为§1膊0饮-奏7矩贯阵凯位地移改法确的加计关算从步佩骤盛和润示亮例单夜元②的单茎元结伙点位获移向捎量为结果鲁的正纱确性枯很容所易从耻结点2的平饮衡条蓝件判侵断出宰来。单元②的飘杆录端监力攀为§10花-7矩残阵盘位篇移狂法妻的阳计吹算飞步转骤垮和缩慧示怠例解:缸(1)对应剥结点爷及各在单元趁编号铸。例10慕-3平慰面贿刚牌架你如咏图遵所牧示务，肿各捕杆汗截冶面巷相欺同脸。A=0皇.2具4蚁m2,E=1塔×1危07kN洒/m2,I=伪0蒸.雅0沫0洒7恒2泼m4，宜试谦求涨各植杆慕端踏力饮，伸并妹画安出霜内读力蔽图啦。§10劈燕-7矩叫阵驱位竞移施法茅的跌计竞算冲步榜骤赖和峰示雁例Cx单元单元坐标x轴αCy1→3①45°14×105

0.12×105

②2→30°2.8285×105

0.0849×105

0°lEAB=lEIi=3→410.707110.7070.12×105

4×105

(奥2牧)列出梁单元领参数表§1呢0援-搞7矩阵御位移熊法的冷计算盆步骤欧和示碍例整光体脉坐趣标炉表槽示证的剂单脖元矩刚爷度灭矩嫩阵恒公堤式(溪3峰)列出瓣单元贷刚度凶矩阵§10帝-7矩阵愈位移蠢法的联计算管步骤辫和示创例单元①，尺③为钢：单元②为邻：§10钓-7矩辅阵地位隶移丈法侮的贝计疏算口步居骤献和袄示娇例(蕉4极)集合括总刚123

4

§10碑-7矩轻阵芦位街移遮法脾的胖计秘算狡步榆骤沟和别示慈例(着5棒)引装入恰支债座村条任件取踏出味自迫由内结庄点3所对冒应的侨子块,构成乳考虑臂约束茫条件很后的政总刚算度矩先阵123

4

§10根-7矩火阵若位却移瓦法宗的屈计侵算远步耻骤毁和念示亡例(丹6菌)计朴算德荷纤载颤向妨量先求传出单歇元3的非绒结点匆荷载松引起咸的固枣端内许力，固然后执将固技端内脊力反腹向加风到结愚点上填去。荷载茶向量扒为§10颂-7矩阵摩位移缝法的僚计算泻步骤嘱和示磨例(励7呆)建立辜结构污刚度改方程浙并求叔解结踪蝶构问刚鸣度隆方栋程勿为F呈=膛KΔ即由此解出u3=7.428×105v3=－48.285×10-5θ3=47.995×10-5所以跌结点庙位移腾向量珍为：§1貌0叔-底7矩异阵泽位辛移帖法狸的她计加算君步花骤互和硬示推例(8呜)计算堡杆端六力Δ(e)可嫂根抄据者单芝元外两痒端筐结堤点贩号浩直驻接肤由场结塑点膜位持移准向世量Δ中督取确出§10猪-7矩阵棕位移极法的摘计算把步骤国和示拐例1)计竟算敲单椅元朝坐奋标广变源换动矩退阵T(e)§1本0工-著7矩阵获位移庭法的倾计算充步骤考和示像例2累)计叛算鸽各习单唯元胀的字单税元孤坐寸标恨表即示湾的京单坚元充刚暑度术矩脸阵§10排-7矩阵赛位移蒙法的成计算黄步骤吧和示闭例3)计捞算览各朽单彩元污杆笋端忘力旱向帆量单元①§10秒-7矩阵蠢位移胞法的侍计算阳步骤时和示庭例单元②§1作0饲-杨7矩妨阵顷位及移之法米的送计香算淋步窗骤车和拜示果例单元③作用吸非结庸点荷捏载,固端辛内力询向量放为§1絮0堆-疲7矩阵劲位移缴法的析计算后步骤仔和示熄例(9演)画伍出侄结惯构只内渗力煌图§10暂-7矩如阵扭位命移局法受的浆计沉算军步疯骤翁和强示牵例解:斜(丑1埋)整理元原始胀数据修并编坦号。罗各跨察的线家刚度菊相等,i=E绢I／1礼2。进泛行贱结顿点竖编陶号右、辰位溪移添编所号欺、鹊单湖元跨编兴号忌。例10都-4用矩畏阵位励移法升计算再图所丹示的夸连续盈梁的省内力奋。EI=常森数义。(疤2尊)建立店结点签位移嫩向量Δ§1之0还-伐7矩阵厌位移鹊法的鞠计算重步骤峰和示予例(3亿)建立柳各单忽元的锅定位彼向量各单谣元的耗单元起定位昏向量池分别叛由该扫单元喂两端轨的位趋移编喉号组斑成:(4)计算单元刚度矩阵。连角续赖梁掏的热单夏元阵局牛部狠坐编标挖系主与陵结楚构固整任体胃坐腹标申系灯平拣行敲，0

1

12

23有§10愿-7矩壤阵碗位黑移月法拘的慎计蠢算市步穗骤率和智示羡例(搬5脉)集圾成贺整共体恨刚息度仅矩达阵K(注意躺定位抛与累婚加)011223；；；§10到-7矩阵长位移伞法的朋计算畜步骤址和示崭例(6君)形叼成躬荷屿载期向图量F计算哑单元避固端弹内力粗；将浓固端袍内力腾反向筝加到枕结点默上去纺；同一国结阻点窃上凝同搂向晶的乏力阻叠斧加配而雅成达。荷载向量为:§10恒-7矩竭阵蚁位楚移涌法裹的距计收算她步看骤萌和抛示米例(7质)建拍立骄结箭构没整棍体折刚劳度倒方姿程，阵并觉求吴解阅结采点块位召移赠向Δ解键得损结伸点留位塔移深向冠量Δ为整延体匙刚抵度迫方台程K⊿=磁F§10河-7矩阵挑位移女