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文档简介
线性代数昆明理工大学数学系
2009.122第五节二次型及其标准型二次型的定义和矩阵表示化二次型为标准型一.
二次型的定义和矩阵表示在解析几何中，为了研究二次曲线ax2
+
bxy
+
cy2
=
1所属的类型，选择适当的坐标旋转变换
x
=
x¢cosq
-
y¢sinq
y
=
x¢sinq
+
y¢cosq（*）将在旧坐标（x，y）下的方程，化为新坐标(x¢,y¢)下只含平方项的标准方程1
2l
(
x¢)2
+
l
(
y¢)2
=
1从代数上讲，这一问题就是对二次齐次多项式ax2
+
bxy
+
cy2选择适当的线性变换（*），将其化为标准形
x
=
x¢cosq
-
y¢sinq
y
=
x¢sinq
+
y¢cosq（*）1
2l
(
x¢)2
+
l
(
y¢)2的问题。本节将这一问题一般化，讨论将n个变量的二次齐次多项式化为标准形问题，它在其它许多理论和实际问体中都有其重要应用。定义1.
n个变量
x1
,
x2
,...,
xn
的二次齐次多项式1
n
11
1
22
2
nn
nx2f
(
x
,...,
x
)
=
a
x2
+
a
x2
+
...
+
a+2a12
x1
x2
+
...
+
2a1n
x1
xn+2a23
x2
x3
+
...
+
2a2n
x2
xn+...+2an-1,n
xn-1
xn称为n元二次型，简称二次型。当
j
>
i
时，记aji
=
aij
，则2aij
=
aij
+
a
ji，于是二次型
f
可写成11
112
1
21n
1
nf
=
a
x2
+
ax
x
+
...
+
a x
x21
2
122
22n
2
n+a
x
x
+
a
x2
+
...
+
a
x
xn1
n
1
n2
n
2
nn
nx2+a
x
x
+
ax
x
+
...
+
a+...n=
aij
xi
x
ji
,
j=1=
x1
(a11
x1
+
a12
x2
+...
+
a1n
xn
)+
x2
(a21
x1
+
a22
x2
+
...
+
a2n
xn
)+...+
xn
(an1
x1
+
an2
x2
+...
+
ann
xn
)21
122
2...1
2
n
a11
x1
+
a12
x2
+
...
+
a1n
xn
a
x
x
+
a
x
+
...
+
a=
(
x
,
x
,...,
x
)
2n n
ax
x
+
a
x
+
...
+
a
n1
1
n2
2nn n
2122...a
...
a...
...a
...
aa1n
x1
a11
a12a
x
2n
=
(
x
,
x
,...,
x
)
1
2
n
......
...
a
x
n1
n2
nn
n
2
=
xT
A
xxTf
(
x1
,
x2
,...,
xn
)
=
x1
(a11
x1
+
a12Ax2
+...
+xa1n
xn
)+
x2
(a21
x1
+
a22
x2
+
...
+
a2n
xn
)+...+
xn
(an1
x1
+
an2
x2
+...
+
ann
xn
)其中2122n2...a
...
a...
...a
...
aa1n
a11
a12a2n
,A
=
......
a
n1
nn
ijjia
=
aA称为二次型f的矩阵，它是对称矩阵。A的秩称为二次型f
的秩。本书只讨论系数为实数的实二次型，因此，它的矩阵是实对称矩阵，全体n元实二次型与全体n阶实对称矩阵是一一对应的。1
2
3
1
2
1
2
2
3例如，将二次型
f
(
x
,
x
,
x
)
=
2
x2
+
x2
+
4
x
x
-
x
x写成矩阵形式为f
(
x1
,
x2
,
x3
)
=
2
x1
x1
+
2
x1
x2
+
0
x1
x32
1
2
22
32+2
x
x
+
x
x
-
1
x
x3
1
3
223
3+0
x x
-
1
x x
+0
x
x=
x1
(2
x1
+
2
x2
+
0
x3
)2
1
232+
x
(2
x
+
x
-
1
x
)3
12
32+
x
(0
x
-
1
x
+
0
x
)21232x
)x
(2
x
+
x
-1
2312
320
x
2
x1
+
2
x2
+
0
x3
2
x
+
x
-
1
x=
(
x1
,
x2
,
x3
)
x
+
0
x-
12
1
2
32212
2
0
f
(
x1
,
x2
,
x3)
=
x1
(2
x1
+
2x2
+
0
x3
)1
x1
-
1
=
(
x
,
x
,
x
)
2
+
11
x3
0+
x-3
(0x1
-0
x2
+
0
x3
)2
2TAxx
=
x定义2.只含平方项的形如f
(
y
,...,
y
)
=
k
y2
+
k
y2
+
...
+
k
y21
n
1
1
2
2
n
n的二次型称为标准形。若系数都是1或-1，且系数为+1的项排在前面，形如p
p+1
rf
=
z2
+
...
+
z2
-
z2
-
...
-
z221
2
n0
y1
1的标准形称为规范形。标准形的矩阵形式为k1
0
...
0
k
.........0
y
f
=
(
y
,
y
,...,
y
)
...
...0...
...
k
y
n
n
2
=
yT
L
y标准形的矩阵L
0为对角矩阵2
21
122
2...2n
n
x1
=
p11
y1
+
p12
y2
+
...
+
p1n
yn
x
=
p
y
+
p
y
+
...
+
p
y
xn
=
pn1
y1
+
pn2
y2
+
...
+
pnn
yn称为线性变换，它可以写成矩阵形式
x1
...
x
n
pp
p11
x
p
2
=
n1
n2p12
…
p1n
21
22
…
2n
…
…
… …
p
p
…
pnn
y1
y
2
...
y
n
P为系数矩阵二.
化二次型为标准型定义3.
从变量
x1
,...,
xn
到变量
y1
,...,
yn
的变换
x1
...
x
n2pp
p11
x
p
2
=
p12
…
p1n
21
22
…
2n
…
…
… …
p
p
…
p
y1
y
2
...
y
n
n1
nn
n
简记为x
=Py若系数矩阵P为可逆矩阵，则称x=Py
为可逆线性变换。若系数矩阵P为正交矩阵，则称x
=Py
为正交变换。本节的主要问题是：对给定的二次型f
(
x)
=
xT
Ax求一个可逆线性变换x
=Py使f
化为标准形f
(
x)
=
f
(
Py)
=
yT
L
y
=
k
y2
+
k
y2
+
...
+
k
y21
1
2
2
n
n先考察一下，二次型经过可逆线性变换后，其矩阵是怎样变化的。设f
(x)=xT
Ax
，令x
=Py，则f
(
x)
=
f
(
Py)
=
(
Py)T
A(
Py)
=
yT
(
PT
AP
)
y
=
yTBy显然，当PT
AP
=B为对角阵时，yT
By
就是标准形。
因此，求可逆线性变换x
=Py将二次型f
(x)=xT
Ax化为标准形1
1
2
2
n
nf
(
Py)
=
yT
L
y
=
k
y2
+
k
y2
+
...
+
k
y2等价于求可逆矩阵P，使PT
AP
=
L为对角矩阵。定义4.
设A，B为n阶矩阵，若有n阶可逆矩阵P，使PT
AP
=
B则称A与B合同，上式称为由A到B的合同变换，P称为合同变换矩阵。因此，可逆线性变换x
=Py
将二次型f
(x)=xT
Ax化为标准形，等价于二次型的矩阵A合同于对角阵，而合同变换矩阵就是可逆线性变换的系数矩阵P。因为合同变换矩阵P为可逆矩阵，所以若A与B合同，则A与B的秩相等，特别地，若A合同于对角阵L
，则对角阵L
中主对角线上非零元素的个数就等于的秩，因此二次型f
(x)=xT
Ax
的标准形1
1
2
2
r
rr
+1
nf
(
Py)
=
yT
L
y
=
k
y2
+
k
y2
+
...
+
k
y2
+
0
y2+
...
+
0
y2中不等于零的项数r
等于A的秩。实二次型f
(x)=xT
Ax
的矩阵A为实对称矩阵，因而由§4定理4，存在正交矩阵P（满足P
-1
=PT
），使2
,P
-1
AP
=
l1
0
... 0
0
l
... 0
...
...
... ...
0
0
...
l
n
20
l1
0
... 0
0
l
...
...
...
... ...
0
0
...l
n
即PT
AP
=因而有以下定理：定理.
对于实二次型
f
(
x)
=
xT
Ax
，总存在正交换x
=
Py将二次型f
化为标准形1
1
2
2
n
nf
(
Py)
=
l
y2
+
l
y2
+
...
+
l
y2其中标准形的系数l1
,l2
,...,ln是二次型的矩阵A的全部特征值，而正交变换矩阵P
=
(
p1
,
p2
,...,
pn
)的列向量p1
,p2
,...,pn是A的相应于特征值l1
,l2
,...,
ln的规范正交特征向量。由定理可知，求正交变换x
=Py
，将f
(x)=xT
Ax化为标准形的步骤如下：求出二次型f
的矩阵A;求A的全部特征值l1
,l2
,...,ln
及相应的规范正交特征向量p1
,p2
,...,pn作正交变换矩阵P
=
(
p1
,
p2
,...,
pn
)则正交变换x
=Py
将二次型f
化为标准形f
(
Py)
=
l
y2
+
l
y2
+
...
+
l
y21
1
2
2
n
n例1.
已知二次型f
(
x
,
x
,
x
)
=
x2
-
2
x2
-
2
x2
-
4
x
x
+
4
x
x
+
8
x
x1
2
3
1
2
3
1
2
1
3
2
3求正交变换x=Py，将二次型f化为标准形。解：例2.
已知二次型f
(
x
,
x
,
x
)
=
5
x
2
+
5
x
2
+
cx
2
-
2
x
x
+
6
x
x
-
6
x
x1
2
3
1
2
3
1
2
1
3
2
3的秩为2。求参数c及此二次型对应矩阵的特征值。指出方程f
(x1
,x2
,x3
)=1
表示何种二次曲面。解：解：二次型f
的矩阵为f
(
x
,
x
,
x
)
=
x2
-
2
x2
-
2
x2
-
4
x
x
+
4
x
x
+
8
x
x1
2
3
1
2
3
1
2
1
3
2
34
1
-2 2
A
=
-2
-2
2
4
-2r3
+
r21
-
l
-2
2-2
-2
-
l
40 2
-
l
2
-
l先求A的特征值：A
-
lE
=1
-
l
-2
2-2
-2
-
l
42
4
-2
-
l1
-
l-22=
(2
-
l)-2-2
-
l40111
-
l-42=
(2
-
l)-2-6
-
l40010
0
1(2
-
l)1
-
l
-4
2-2
-6
-
l
41
-
l
-4=
(2
-
l)-2
-6
-
l=
(2
-
l)(l2
+
5l
-
14)=
-(l
-
2)2
(l
+
7)A的特征值为l1
=
l2
=
2，l3
=
-7l1
=l2
=2
，解方程组(
A
-
2E
)
x
=
0
:4
1
-2 2
A
=
-2
-2
2
4
-24
-1
-2 2
A
-
2E
=
-2
-4
2
4
-41
200-200
0
r2
-
2r13
1r
+
2rr1
‚
(-1)
000
1
2
-20
0
0同解方程组为x1
+2
x2
-2
x3
=0
，基础解系为x
=
(-2,1,0)T
,
x
=
(2,1,0)T1
2正交化，得b
=
x
=
(-2,1,0)T1
12
11
1[x
,
b
][b
,
b
]1(2,
4,5)4515Tb1
=
x2
+b
=b2
=
x2
-单位化，得111bbp
==
(-
2
,
1
,0)T5
52p2
=
bb2
2
4
53T
0=
(
5,
3 5
,
3
)
1
-2 2
2
4
-2l3
=-7
，解方程组(A
+7E
)x
=0
:4A
+
7E
=
-2
8
-2
5
2
4
51
32
r
‹
fi
r4r2
+
r1r3
-
4r109
2
4
9
0
-18
-183
25
r
+
2rr2
‚
901
2
4
5-2
5
8
-2
22
0
1
1
0
0
0同解方程组为2
x1
+
x3
=
0
x
+
x
=
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