D3-4单调极值与凹凸性new

第四节一、函数单调性的判定法三、曲线的凹凸与拐点函数的单调性、极值与曲线的凹凸性

第三章二、函数的极值及其求法一、函数单调性的判定法则定理1

设函数证:任取由拉格朗日中值定理得得即在(a,b)内单调递增.在(a,b)内可导,在(a,b)内单调增加(单调减少)的充要条件是充分性:(单调增加情形)则在上连续，在内可导，由则定理1

设函数设x为(a,b)内任意一点，的极限，得在(a,b)内可导,在(a,b)内单调增加(单调减少)的充要条件是必要性:当充分小时，所以总有仍有由于在(a,b)内单调增加，取注意：2.

在(a,b)内严格单调增加(严格单调减少)未必有(例如y=x3)函数1.

若则函数在(a,b)内严格单调增加(或严格单调减少)。(由定理1的证明可见)3.

若函数在[a,b]上连续，在[a,b]上严格单调增加(或严格单调减少)。则函数讨论函数单调性的一般步骤：①.

的定义域；求确定函数列表，找出使②.或不存在这些分界点将定义域分成若干区间；③.的符号，的增减性。判别确定的分界点，说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,例如,则不改变函数的单调性.例确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为例证明时,成立不等式证:

令从而有且上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加

,及B例

设在设函数在上有下面关系正确的是（）且(A)(B)(C)(D)解:由题则单调递增。则上有则上有单调增。且由Lagrange中值定理则B(08-09,二.1)例证明:①令例①证明：对任意的正整数②设证明数列收敛单调减函数，令单调增函数，则证明:②②设证明数列收敛单调减函数有下界收敛则定义:在其中当时,(1)则称为的极大值点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小值点

,称为函数的极小值

.极大值点与极小值点统称为极值点

.二、函数的极值及其求法注意:为极大值点为极小值点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或1)函数的极值是函数的局部性质.例如,为极大值点,是极大值是极小值为极小值点,函数不存在的点.费马(Fermat)引理且存在证:

设则证毕极值点(导数存在)驻点例解:由题若则处则即则取极大值(08-09,一(5))处取极大值.设函数在的某个领域内连续，且为函数的极大值，则存在当时，必有（）(A)(B)(C)(D)解:由题为函数的极大值，当时，由极限的保号性质，则存在B(09-10,二.1)例例已知解:由题在处取得极值，求则即(06-07,二(4))定理1

(极值第一判别法)且在空心邻域(1)内连续，内可导，(2)(3)若当保号，左正右负左负右正例求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得当3)列表判别是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为时，定理2(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束定理(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.极值的判别法(定理1~

定理2)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值,但不满足定理1~定理2的条件.试问为何值时,在时取得极值,还是极小.解:

由题意应有又例求出该极值,并指出它是极大即例求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.若函数则此函数必有（）满足(A)有极值B(B)无极值(C)不单调(D)不可导解:由题在上可导，在上单调，则即无极值(08-09,二.2)例解:由题定义域当时，例求的单调区间和极值极小值(05-06,三(19))已知在处有极值则的极大值为解:极大值极小值(08-09,一.2)例三、曲线的凹凸与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?

图形上任意弧段

图形上任意弧段凹弧凸弧位于所张弦的下方

位于所张弦的上方定义

在区间

I

上连续,(1)若恒有则称图形是上凹（下凸）的;(2)若恒有则称图形是下凹（上凸）的.连续曲线y=f(x)上凹弧与下凹弧拐点注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.设函数的分界点(x0,f(x0))称为拐点

.定理2.(凹凸判定法)(1)在

I内则f(x)在I

内图形是上凹的;(2)在

I内则f(x)在

I

内图形是下凹的.证:利用一阶泰勒公式可得两式相加说明(1)成立;(2)设函数在区间I上有二阶导数证毕且定理3.

∵在为曲线y=f(x)的拐点，证:又内二阶可导,(拐点的必要条件)若函数则二阶可导,∴存在且连续。是拐点，∴在x0两边变号。∴在点x0取到极值，知根据可导函数取到极值的条件，说明:1)若在某点二阶导数为0,2)拐点的判别法:若曲线或不存在,但在两侧异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,①.

②.设则点是曲线的一个拐点.且讨论曲线的凹凸性与拐点的一般步骤：①

的定义域；求确定函数列表，找出使②或不存在这些分界点将定义域分成若干区间；③在分界点两侧的符号，由的分界点，凹凸性与拐点。确定曲线的例判断曲线的凹凸性.解:故曲线在上是上凹的.例求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.上凹下凹对应例求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上是上凹的,是下凹的,点均为拐点.上凹上凹下凹及例求曲线解:凹向区间和拐点当时，当时，不存在.不存在上凹拐点下凹上凹拐点(09-10,三(1))例设满足且则是(A)的极大值是(B)的极小值是曲线(C)的拐点不是(D)的极值，不是曲线的拐点解:由题则是的极小值且不是的极大值，不是曲线的拐点(05-06,二(13))(B)例求曲线解:单调区间，凹向区间，极值和拐点时时单增上凹单增下凹单减下凹单减上凹拐点拐点极大值点(06-07,六)例曲线的一个拐点是（）解:由题曲线二阶导数为零的点但所以曲线拐点为C例设函数解:由题是由参数方程求函数确定，极值，和曲线凹凸区间及拐点。由此为极小值为极大值曲线下凹，曲线上凹则为曲线拐点内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+–拐点—连续曲线上凹弧与凸弧的分界点3.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值作业

P142

36(4),37(5)(7),44(5)(10),4749(4