相似三角形解题技巧及口诀

相似三角形解题技巧及口诀常见相似类型：A字形，斜A字形，8字形、斜8字形（或称X型），双垂直（母子型），,旋转形【双垂直结论，即直角三角形射影定理】：【1】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。（1）ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD²=AD•BD△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC²=AD•AB（3）CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC²=BD•AB结论：⑵÷⑶得AC²:BC²=AD:BD结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式【证明等积式(比例式)策略】:1、直接法：找同一三角形两条边变化：等号同侧两边同一三角形，三点定形法2、间接法：对线段比例式或等积式的证明：常用等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．⑴3种代换①等线段代换；②等比代换；③等积代换；⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——创造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比【口诀】：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边；彼相似，我角等，两边成比边代换。或：遇等积，改等比，横看竖看找关系；遇等积，化比例：横找竖找定相似；不相似，不用急：等线等比来代替；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；☞遇等积，改等比，横看竖看找关系①△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形，求证：BD•CN=BM•CE．②等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证：BP•PC=BM•CN

☞斜边上面作高线，比例中项一大片Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两对三角形相似证得结论。☞有射影，或平行，等比传递我看行①ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角线G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E，②梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC²=OA·OE，☞四共线，看条件，其中一条可转换；Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。求证：EF²=BE•FC②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，求证：BP²=PE·PF。。③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F.求证：DE²=BE·CE.巧求三角形中线段的比值例1.如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：过点D作DG//AC，交BF于点G所以DG：FC＝BD：BC因为BD：DC＝1：3所以BD：BC＝1：4即DG：FC＝1：4，FC＝4DG因为DG：AF＝DE：AE又因为AE：ED＝2：3所以DG：AF＝3：2即所以AF：FC＝：4DG＝1：6例2.如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC因为AF＝FC所以AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，因为CG：DE＝BC：BD又因为BC＝CD所以BC：BD＝1：2CG：DE＝1：2即DE＝2GC因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请练习下面3题，让我们感受其中的奥妙！练习：在△ABC中，BF交AD于E.(1)若AE:ED=2:3，BD:D