2019-2020学年辽宁省丹东市高二期末数学试题及答案

试卷第=page22页，总=sectionpages33页第Page\*MergeFormat17页共NUMPAGES\*MergeFormat25页2019-2020学年辽宁省丹东市高二期末数学试题及答案一、单选题1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据直线的方程的特点直接求解即可.【详解】，所以该直线与横轴垂直，故倾斜角为.故选：C【点睛】本题考查了求直线的倾斜角，属于基础题.2．已知复数满足，则的共轭复数（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据复数除法的运算运算法则求出的表达式，并根据共轭复数的定义求出的表达式.【详解】.故选：D【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义，考查了数学运算能力.3．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（）A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直【答案】B【解析】因为，，，，所以,,可得，所以，线与的位置关系是平行，故选B．4．已知，分别为双曲线的左右焦点，是上的一点，若，则（）A． B．或 C． D．或【答案】A【解析】根据双曲线的定义和双曲线的性质直接求解即可.【详解】由双曲线的方程可知：由双曲线的定义可知：或，而双曲线上的点到焦点的距离最小值为，所以.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质，考查了数学运算能力.5．一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，那么这个四棱锥体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正四棱锥为，斜高为，设，正四棱锥的高为，利用正三角形的性质结合斜高的长能求出的值，再利用勾股定理求出，最后利用棱锥的体积公式求出体积即可.【详解】设正四棱锥为，斜高为，设，正四棱锥的高为，因为侧面是正三角形，所以三角形是正三角形，则有，因此，，所以这个四棱锥体积为.故选：B【点睛】本题考查了求正四棱锥的体积，考查了勾股定理的应用，考查了正三角形的性质，考查了数学运算能力.6．过点作圆的切线，切点为，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】把圆的方程化为标准方程形式，求出半径和圆心坐标，利用圆的切线性质结合勾股定理直接求解即可.【详解】，设圆心为，所以坐标为，半径为，根据圆的切线性质可知：，所以三角形是以为斜边的直角三角形，故.故选：C【点睛】本题考查了圆的切线的性质，考查了勾股定理，考查了数学运算能力.7．已知正四面体，，分别是，的中点，则与所成角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设正四面体的棱长为2，到的中点，结合已知，分别是，的中点，利用三角形中位定理，可以得到是与所成角，再利用勾股定理和余弦定理求解即可.【详解】设正四面体的棱长为2，到的中点，连接，，分别是，的中点，所以有，所以是与所成角.，所以，由余弦定理可知：，所以.故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成的角，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.8．已知点，而且是椭圆的左焦点，点是该椭圆上任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据椭圆的定义，结合平面几何的性质求解即可.【详解】由可知：，设右焦点，，，显然当在同一条直线上时，有最大值，即有最小值，，所以的最小值为.故选：A【点睛】本题考查了椭圆的定义的运用，考查了数学运算能力.二、多选题9．圆（）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】ABC【解析】把圆的方程化为标准方程形式，求出圆心坐标，根据圆的对称性对四个选项逐一判断即可.【详解】，所以圆心的坐标为.A：圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点是圆心，所以本选项正确；B：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；C：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线过圆心，所以本选项正确；D：圆是关于直径对称的轴对称图形，直线不过圆心，所以本选项不正确.故选：ABC【点睛】本题考查了圆的对称性，考查了由圆的一般方程求圆心的坐标，属于基础题.10．正三棱柱中，，则（）A．与底面的成角的正弦值为B．与底面的成角的正弦值C．与侧面的成角的正弦值为D．与侧面的成角的正弦值为【答案】BC【解析】结合正棱柱的性质，线面角的定义逐一判断即可.【详解】设.A：由正棱柱的性质可知：与底面垂直，故与底面的成角的正弦值为，故本选项是错误的；B：由正棱柱的性质可知：与底面垂直，所以是与底面的成角，,因此，故本选项是正确的；C：取的中点，连接，由正三角形的性质可知中：，因此，由正三棱柱的性质可知平面与侧面互相垂直，由面面垂直的性质定理可知：与平面互相垂直，因此是与侧面的成角，，故本选项是正确的；D：由C的分析可知本选项是错误的.故选：BC【点睛】本题考查了线面角的求法，考查了正三棱柱的性质，考查了推理论证能力，考查了数学运算能力.11．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】设出点的坐标，把点的坐标代入抛物线方程中，根据抛物线的定义和已知，可得方程组，解方程组即可求出的值.【详解】设，所以有，由点到其准线及对称轴的距离分别为和，所以有，，所以有或.故选：BD【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.12．如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则（）A．直线，是相交直线B．直线与直线所成角等于C．直线与直线所成角等于直线与直线所成角D．直线与平面所成角小于直线平面所成角【答案】ABD【解析】A：结合三角形中位线定理、平行线的性质、梯形的定义进行判断即可；B：取的中点为，利用线面垂直的判定定理、平行线的性质进行判断即可；C：利用异面直线所成角的定义，计算出直线与直线所成角、直线与直线所成角，然后判断即可；D：根据线面角的定义求出直线与平面所成角和直线平面所成角，然后比较判断即可.【详解】A：连接，因为点为正方形的中心，是线段的中点，所以有，，因此四边形是梯形，故直线，是相交直线，所以本选项是正确的；B：取的中点为，连接，为正三角形，所以有，点为正方形的中心，所以有，所以平面，因此有，而，所以直线与直线所成角等于，故本选项是正确的；C：因为，所以是直线与直线所成角，由正三角形的性质可知，，因为，所以是直线与直线所成角.连接，设正方形的边长为2，由勾股定理以及上述的分析可知：，所以，因此有，由余弦定理可知：，所以本选项是错误的；D：取的中点，连接，所以平面，所以是直线与平面所成角，，所以，是直线平面所成角，，因为，所以直线与平面所成角小于直线平面所成角，故本选项是正确的.故选：ABD【点睛】本题考查了线面角的求法，考查了异面直线所成的角，考查了数学运算能力.三、填空题13．复数，则______________.【答案】1【解析】试题分析：因为，所以.故正确答案为1.【考点】复数分母有理化、模.14．已知双曲线(，)的一条渐近线方程为，则的离心率为__________．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线方程可以知道的关系，再根据，求出的关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，所以有，而，所以有.故答案为：【点睛】本题考查了已知双曲线的渐近线方程求离心率，考查了数学运算能力.15．已知曲线的方程为，若是椭圆，则的取值范围为__________，若是双曲线，则的取值范围为__________．【答案】【解析】根据椭圆、双曲线标准方程的特点进行求解即可.【详解】若是椭圆，所以，所以的取值范围为；若是双曲线，所以，所以的取值范围为.故答案为：；【点睛】本题考查了已知方程是椭圆和双曲线求参数的取值范围，属于基础题.16．设，，，是半径为的球表面上的四点，是面积为的等边三角形，当三棱锥体积最大时，球心到平面的距离为_______，此时三棱锥的体积为________．【答案】【解析】设所在的小圆的圆心为，运用正三角形的性质可以求出小圆的半径，当三棱锥体积最大时，球心在上，利用直角三角形的性质，可以求出球心到平面的距离，根据三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设所在的小圆的圆心为，因为是面积为的等边三角形，所以有,当三棱锥体积最大时，球心在上，因此有，所以有，三棱锥的体积为：.故答案为：；【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，考查了三棱锥的体积公式，考查了数学运算能力.四、解答题17．已知直线经过点．（1）若与直线平行，求的方程；（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意可设．把点的坐标代入方程求出即可；（2）根据截距是否为零进行分类讨论，结合直线的截距式方程和斜截式方程求解即可.【详解】（1）由条件可设．点代入可得，所以的方程为．（2）设直线在，轴上的截距均为．若，则过点和，故的方程为．若，设，点代入得，．的方程为．综上可知，直线的方程为或．【点睛】本题考查根据两直线平行求其中一条直线方程，考查了直线截距的定义，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.18．已知圆过点和，且圆心在直线上．（1）求的垂直平分线的方程；（2）求圆的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）求出中点的坐标以及直线的斜率，利用两直线互相垂直斜率的关系求出的垂直平分线的斜率，最后求出方程即可；（2）根据垂径定理可知圆心是直线与直线的交点，解方程求出交点坐标，再求出半径，最后求出圆的方程.【详解】（1）直线的斜率为，的中点坐标为，所以的垂直平分线的斜率为，其方程为．（2）由垂径定理知圆心是直线与直线的交点，所以有：，解得圆心坐标为．圆的半径，因此圆的方程为.【点睛】本题考查了求线段的垂直平分线，考查了求圆的标准方程，考查了数学运算能力.19．如图，在直棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且平面．（1）证明：；（2）若为中点，求直线与直线所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解法1：（1）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．设，，求出相应点的坐标，利用空间向量共线的定义求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.解法2：（1）利用线面平行的性质定理，结合平行线公理进行证明即可；（2）延长到，使，连接，．利用平行四边形有判定定理、平行四边形的性质可以证明出．所以直线与直线所成角．利用余弦定理进行求解即可.【详解】解法1：（1）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．设，，则，，，，，．所以，，所以，与共线．因为平面，所以．（2）因为为中点，所以为中点，故，于是，．所以，因此直线与直线所成角的余弦值为．解法2：（1）因为平面，平面，平面平面，所以．在直棱柱中，，所以．（2）延长到，使，连接，．则，，四边形是平行四边形，所以．故直线与直线所成角．设，则，．因为为中点，所以为中点，故．因为，所以，因此．在中，．所以直线与直线所成角的余弦值为．【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了异面直线所成的角，考查了线面平行的性质定理，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．设直线与抛物线交于，两点，为坐标原点．（1）求的值；（2）求的面积．【答案】（1）-3；（2）【解析】（1）将直线方程与抛物线方程联立，消得到一元二次方程，结合平面向量的数量积的坐标运算公式和一元二次方程根与系数关系直接求解即可；（2）解法1：结合抛物线定义和（1）中的一元二次方程根与系数关系求出弦长，再利用点到直线的距离公式，求出边上的高，最后求出面积即可；解法2：利用，结合（1）中的一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）由得，代入得，．设，，则，．所以．（2）解法1：由（1）知，因为抛物线焦点在直线上，所以．到直线的距离为．所以的面积．解法2：因为，所以．直线与轴交点为，．所以的面积．【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了三角形的面积，考查了平面向量数量积坐标运算公式，考查了数学运算能力.21．如图，已知是直角梯形，，垂直于平面，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解法1：（1）根据已知利用线面垂直的判定定理可以证明出平面，根据可以得到到平面的距离等于到平面的距离，最后利用线面角的定义求出直线与平面所成角的正弦值；（2）延长，，设点是它们的交点，连接，则所求二角角延展为二面角．利用线面垂直的判定定理、二面角的定义可以证明出是二面角的平面角，最后利用正切函数的定义求出平面与平面所成锐二面角的正切值．解法2：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．（1）利用空间向量夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值；（2）利用空间向量夹角公式求出平面与平面所成锐二面角的余弦值，再根据同角的三角函数的关系式求出平面与平面所成锐二面角的正切值．【详解】解法1：（1）因为，，所以平面，于是到平面的距离为．因为，所以到平面的距离等于到平面的距离等于．由题设，所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）延长，，设点是它们的交点，连接，则所求二角角延展为二面角．因为