2022-2023学年湖南省衡阳市 衡东县德圳中学高一数学理模拟试卷含解析

2022-2023学年湖南省衡阳市衡东县德圳中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数图象的一条对称轴方程是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A2.在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为()A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：A3.在△ABC中,,O是△ABC的内心,若,其中,动点P的轨迹所覆盖的面积为(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】画出图形，由已知条件便知P点在以BD，BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求出△ABC的面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．【详解】如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O为△ABC的内心；所以内切圆半径r=,所以∴==；∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．故答案为：A．【点睛】本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.4.给出下列命题：①存在实数x，使；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＞cosβ；③函数是偶函数；④函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数的图象．其中正确命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由sinx+cosx=判定；②，取α=3900，β=200都是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；对于③，函数=cos是偶函数；

对于④，函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2（x+）的图象．【解答】解：对于①，sinx+cosx=，不可能，故错；对于②，取α=3900，β=200都是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ，故错；对于③，函数=cos是偶函数，故正确；

对于④，函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2（x+）的图象，故错．故选：A．5.设S为全集,,，则A．

B．

C．

D．参考答案：C6.直线3x＋4y－5＝0与圆2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置关系是(

)．A．相离 B．相切

C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心参考答案：D7.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A．2π B．π C． D．参考答案：D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2π，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：=π，故选D．8.函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故选A．9.若函数则（

）A． B．2 C．1 D．0参考答案：B10.已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C． D．﹣参考答案：D【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为

参考答案：略12.若b=(1，1)，=2，，则|a|=

．参考答案：313.数列{2n}和{3n+2}的公共项由小到大排列成数列{cn}，则{cn}的通项公式cn=

，前n项和Sn=

。参考答案：2?4n，(4n–1)14.四面体的四个面中，最多可有

个直角三角形．参考答案：4【考点】棱锥的结构特征．【分析】△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂线定理知，PC⊥BC，此时四面体P﹣ABC的四个面都是直角三角形．【解答】解：如图，△ABC中，AC⊥BC，PA⊥面ABC，由三垂线定理知，PC⊥BC，四面体P﹣ABC的四个面都是直角三角形．故答案为：4．15.分解因式____

__________；参考答案：16.已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+，且f（）=0．给出以下结论：①f（0）=﹣；②f（﹣1）=﹣；③f（x）为R上减函数；④f（x）+为奇函数；其中正确结论的序号是．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用；抽象函数及其应用．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据抽象函数的关系式，采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0）+，即f（0）=﹣，故①正确，②令y=x=，得f（1）=f（）+f（）+=；令x=1，y=﹣1，得f（1﹣1）=f（1）+f（﹣1）+=f（0），即+f（﹣1）+=﹣；即f（﹣1）=﹣，故②正确，③取y=﹣1代入可得f（x﹣1）=f（x）+f（﹣1）+，即f（x﹣1）﹣f（x）=f（﹣1）+=﹣1＜0，即f（x﹣1）＜f（x），故③f（x）为R上减函数，错误；④令y=﹣x代入可﹣=f（0）=f（x）+f（﹣x）+，即f（x）++f（﹣x）+=0，故f（x）+为奇函数，故④正确，故正确是①②④，故答案为：①②④【点评】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用赋值法是解决抽象函数常用的一种方法，考查学生的运算和推理能力．17.对于函数，若使得成立，则称为的不动点。如果函数，有且仅有两个不动点，且，则函数的解析式为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的定义域为,且满足条件:①；②；③当时,.（1）求证:为偶函数；（2）讨论函数的单调性；（3）求不等式的解集.参考答案：（1）证明：令x=y=1

有f(1)=f(1)+f(1)

∴f(1)=0令x=y=-1

有f(1)=f(-1)+f(-1)

∴f(-1)=0令y=-1

有f(-x)=f(x)+f(-1)

∴f(x)=f(-x)且定义域关于原式对称∴f(x)是偶函数法二：f(x2)=f(x)+f(x)=f(-x)+f(-x)∴f(x)=f(-x)法三：令y=-1

f(-x)=f(x)+f(-1)

①x=-x

y=-1f(x)=f(-x)+f(-1)②①-②∴f(x)=f(-x)（2）任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则（3）∵f(x)是偶函数∴f(|x(x-3)|)≤f(4)∴解集为[-1，0）∪（0，3）∪（3，4]19.若对定义域内任意x，都有（为正常数），则称函数为“a距”增函数.（Ⅰ）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求k的取值范围.参考答案：（Ⅰ）是；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用“1距”增函数的定义证明即可；（Ⅱ）由题得时，恒成立，再对x分类讨论得解.【详解】（Ⅰ）任意，，故是“1距”增函数；（Ⅱ）因为，，其中，且为“2距”增函数，即时，恒成立，所以，当时，即，当时，，所以.综上所述，得.【点睛】本题主要考查新定义和函数的单调性，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知圆和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.

（1）当直线的斜率为1时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，问是否存在直线，使得若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案：解：因为圆，所以圆心，半径设（1）当直线斜率为1时，设直线，由直线与圆相切得：解得或（舍）.此时直线方程为…ks5u………4分由消去得，所以弦长………………6分（2）设直线方程为，由与圆相切得：得（1）由消去得，所以得…………10分因为M与N关于对称，所以，由得代入化简得：（2）……………12分（1）+（2）得：解得：或当时，代入（1）解得，满足且，此时直线的方程为。当时，代入（1）得：，方程无解。………14分当直线的斜率不存在时，因为直线是圆的切线，所以方程为，则，，由（1）得，此时与不垂直.综上，存在直线，其方程为……………15分21.已知，.（1）求的值；（2）求的值.参考答案：（本小题满分10分）

…………4分

从而

…………6分