测量误差基础知识

测量误差基础知识1第1页，课件共71页，创作于2023年2月第六章

测量误差基础知识2第2页，课件共71页，创作于2023年2月§6-1测量误差的概念一、测量误差的来源1、仪器精度的局限性2、观测者感官的局限性3、外界环境的影响第3页，课件共71页，创作于2023年2月一.产生测量误差的原因一.产生测量误差的原因产生测量误差的三大因素：仪器原因

仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因

判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响

气象因素(温度变化,风,大气折光)

结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件:

上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各次观测，称为等精度观测。第4页，课件共71页，创作于2023年2月二、测量误差的分类与对策（一）分类系统误差——在相同的观测条件下，误差出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。例：误差

钢尺尺长误差Dk钢尺温度误差Dt水准仪视准轴误差i经纬仪视准轴误差C……处理方法计算改正计算改正操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均)

……第5页，课件共71页，创作于2023年2月二、测量误差的分类与对策（一）分类偶然误差——在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”粗差——特别大的误差（错误）例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。第6页，课件共71页，创作于2023年2月（二）处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差第7页，课件共71页，创作于2023年2月如何处理含有偶然误差的数据？例如：对同一量观测了n次观测值为l1,l2,l3,….ln如何取值？如何评价数据的精度？第8页，课件共71页，创作于2023年2月三.偶然误差的特性

1.偶然误差的定义：

设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误差：(6-1-1)真误差真值观测值第9页，课件共71页，创作于2023年2月例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180–(i+i+I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。第10页，课件共71页，创作于2023年2月误差区间负误差正误差误差绝对值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然误差的统计

第11页，课件共71页，创作于2023年2月-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。第12页，课件共71页，创作于2023年2月偶然误差的特性有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。第13页，课件共71页，创作于2023年2月§6-2评定精度的标准一、方差和标准差（中误差）中误差第14页，课件共71页，创作于2023年2月§6-2评定精度的标准二、相对中误差平均误差一、中误差第15页，课件共71页，创作于2023年2月按观测值的真误差计算中误差第16页，课件共71页，创作于2023年2月如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数概率第17页，课件共71页，创作于2023年2月正态分布第18页，课件共71页，创作于2023年2月m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.6第19页，课件共71页，创作于2023年2月正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率第20页，课件共71页，创作于2023年2月第21页，课件共71页，创作于2023年2月区别错误与误差的阀值随机变量X在区间（x1x2）之间的概率为则函数是连续型随机变量X的分布密度函数如果就得正态分布第22页，课件共71页，创作于2023年2月

三、极限误差第23页，课件共71页，创作于2023年2月第24页，课件共71页，创作于2023年2月但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：

=？m=？寻找最接近真值的值x§6-3观测值的算术平均值及改正值第25页，课件共71页，创作于2023年2月集中趋势的测度（最优值）中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉lmax,lmin以后的平均数。算术平均数：满足最小二乘原则的最优解第26页，课件共71页，创作于2023年2月一、算术平均值：满足最小二乘原则的最优解第27页，课件共71页，创作于2023年2月证明（x是最或然值）

将上列等式相加，并除以n,得到

第28页，课件共71页，创作于2023年2月二、观测值的改正值若被观测对象的真值不知，则取平均数为最优解x改正值的特性定义改正值似真差满足最小二乘原则的最优解最小二乘第29页，课件共71页，创作于2023年2月§6-4观测值的精度评定标准差可按下式计算中误差第30页，课件共71页，创作于2023年2月证明将上列左右两式相减，得第31页，课件共71页，创作于2023年2月分别取平方第32页，课件共71页，创作于2023年2月取和对代入前式第33页，课件共71页，创作于2023年2月计算标准差例子第34页，课件共71页，创作于2023年2月小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差第35页，课件共71页，创作于2023年2月§6-5误差传播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

第36页，课件共71页，创作于2023年2月观测值函数的中误差

——误差传播定律一.观测值的函数例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数……第37页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?第38页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（一）和(差)函数已知：mx,my,

求：mz=?和第39页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和第40页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?第41页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（一）和差函数已知：mx,my,

求：mz=?和第42页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?和平方第43页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（二）倍乘函数已知：mx,求：mz=?第44页，课件共71页，创作于2023年2月解：例量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式中误差式第45页，课件共71页，创作于2023年2月二、几种常用函数的中误差（三）线性函数已知：mxi,求：mz=?第46页，课件共71页，创作于2023年2月（三）线性函数特殊xi为独立观测值第47页，课件共71页，创作于2023年2月例6距离误差例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第48页，课件共71页，创作于2023年2月二.误差传播定律(四)一般函数的中误差公式——误差传播定律设有函数xi为独立观测值对上式线性化第49页，课件共71页，创作于2023年2月中误差关系式：小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。第50页，课件共71页，创作于2023年2月观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

第51页，课件共71页，创作于2023年2月例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。三、几种常用函数的中误差求观测值函数中误差的步骤：(1)列出函数式；(2)对函数式线性化(全微分)；(3)套用误差传播定律，写出中误差式。第52页，课件共71页，创作于2023年2月例题已知

有求：错误第53页，课件共71页，创作于2023年2月例题已知

有；求：第54页，课件共71页，创作于2023年2月观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离DSvhD§6-6误差传布定律

应用举例第55页，课件共71页，创作于2023年2月§6-6误差传播定律应用

观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差hSvhD第56页，课件共71页，创作于2023年2月误差传播定律

应用举例算术平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx第57页，课件共71页，创作于2023年2月算例：用三角形闭合差求测角中误差第58页，课件共71页，创作于2023年2月误差传播定律的应用解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例：要求三角形最大闭合差

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差。第59页，课件共71页，创作于2023年2月DMPxyXYO由误差传播定律：解：P点的点位中误差：例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。第60页，课件共71页，创作于2023年2月§6-7加权平均数及其中误差现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值A组：123.360B组：123.333C组：123.356

=?第61页，课件共71页，创作于2023年2月加权平均数

各组的平均及其权A组：123.360权PA=3B组：123.333PB=4C组：123.356PC=5(

)()()第62页，课件共71页，创作于2023年2月一、权与中误差平均数的权pA=3平均数的中误差m——单位权中误差权与误差的平方成反比第63页，课件共71页，创作于2023年2月二、加权平均数第64页，课件共71页，创作于2023年2月三、加权平均值的中误差

第65页，课件共71页，创作于2023年2月四、单位权中误差的计算如果m可以用真误差j计算，则如果m要用改正数v计算，则第66页，课件共71页，创作于2023年2月加权平均值标准差的算例第67页，课件共71页，创作于2023年2月例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回计算该水平角的加权平均值。加权平均值的计算

组号测回数各组平均值L权P

LPL表5-5加权平均值：1240°20´14"