2021年江西省上饶市石狮中学高二数学理期末试卷含解析

2021年江西省上饶市石狮中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不在3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是

A（0，0）

B（1，1）

C（0，2）

D（2，0）参考答案：D2.在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等可能事件的概率．【分析】先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|﹣π≤a≤π，﹣π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2﹣π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选B．【点评】高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．3.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知的值如表所示：如果与呈线性相关且回归直线方程为，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.各项为正数的等比数列，则(

)A．5

B．10

C．15

D．20参考答案：C略6.设集合，A={1,3,5,7,8}，B={2,4,6,8}，则（

）A.{2,4,6,7} B.{2,4,5,9}C.{2,4,6,8} D.{2,4,6}参考答案：D【分析】先求出,再求得解.【详解】由题得，所以=.故选：D【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题.7.在面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的面积大于的概率是

（

）A．

B．

C．

D.参考答案：D8.某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，现选出的两人中有中国人的概率为（

）A.

B.

C.

D．1参考答案：C9.已知则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连结AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为()．A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为

、

．参考答案：9.5、0.016【考点】BC：极差、方差与标准差；BE：用样本的数字特征估计总体的数字特征；BF：随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据已知中七位评委为歌手打出的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，先计算出其平均数，代入方差计算公式，即可得到答案．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，方差为=0.016，故答案为：9.5；0.016．12.已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．参考答案：

【考点】椭圆的简单性质．【分析】画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可．【解答】解：O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：，==，可得b=c，a=c，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．13.设正方体的内切球的体积是，那么该正方体的棱长为

．参考答案：4【考点】球的体积和表面积．【分析】先求球的半径，直径就是正方体的棱长，然后求出正方体的棱长．【解答】解：正方体内切球的体积是，则外接球的半径R=2，∵正方体的棱长为外接球的直径，∴棱长等于4，故答案为：4．【点评】本题考查正方体的内切球问题，是基础题．14.中，已知，则

．参考答案：15.《数学万花筒》第7页中谈到了著名的“四色定理”．问题起源于1852年的伦敦大学学院毕业生弗朗西斯?加斯里．他给自己的弟弟弗莱德里克写的信中提到：“可以使用四种（或更少）颜色为平面上画出的每张地图着色，使任何相邻的两个地区的边界线具有不同的颜色吗？”回答他这个问题用了124年，但简单的图形我们能用逐一列举的方法解决．若用红、黄、蓝、绿四种颜色给右边的地图着色，假定区域①已着红色，区域②已着黄色，则剩余的区域③④共有

种着色方法．参考答案：2【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先涂区域③，再涂区域④，使用列举法得出不同的涂色方案．【解答】解：区域③只能涂蓝色或绿色，若区域③涂蓝色，则区域④只能涂绿色，若区域③涂绿色，则区域④只能涂蓝色，故只有2种涂色方法．故答案为2．【点评】本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．16.设z=1﹣i（i是虚数单位），则在复平面内z2+对应的点位于第象限．参考答案：四【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=1﹣i代入z2+，再利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z2+对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵z=1﹣i，∴z2+==﹣2i+1+i=1﹣i．∴在复平面内z2+对应的点的坐标为：（1，﹣1），位于第四象限．故答案为：四．17.若双曲线（）的左焦点在抛物线的准线上，则p=

．参考答案：

双曲线的左焦点，双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，可得，解得p=4，故答案为4.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．参考答案：考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．解答： 解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE?BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°点评：本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．19.（本小题满分12分）已知复数的平方根是，且函数.（1）求；（2）若.参考答案：20.已知一元二次方程：x2+2ax﹣b2+4=0，（1）若a是从{﹣1，0，1}中任取的一个数字，b是从{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的一个数字，求该方程有根的概率．（2）若a是从区间[﹣2，2]中任取的一个数字，b从是区间[﹣2，2]中任取的一个数字，求该方程有实根的概率．参考答案：【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，由一元二次方程的性质，可得x2+ax+b2=0有实根的充要条件为a2+b2≥4；（1）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{﹣1，0，1}，{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的数字，易得一共可以得到15个不同方程，得满足a2+b2≥4的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案；（2）由题意分析可得，这是几何概型，将a，b表示为平面区域，进而可得其中满足a2+b2≥4的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，方程x2+2ax﹣b2+4=0，有实根则△≥0即a2+b2≥4；（1）由题意，a，b是分别从{﹣1，0，1}，{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}中任取的数字；则a有3种取法，b有5种取法，共有5不同的情况，可以得到15个不同方程，满足a2+b2≥4的有（﹣1，﹣3）（0，﹣3）（1，﹣3）（﹣1，﹣2）（0，﹣2）（1，﹣2）共有6种情况满足方程有实根，∴p=；（2）a是从区间[﹣2，2]中任取的一个数字，b从是区间[﹣2，2]中任取的一个数字，由题意得：a，b满足的区域为边长是4的正方形，面积为16，使得方程有实根的，a，b满足a2+b2≥4，区域面积为4π，由几何概型的公式得到方程有实根的概率为．21.(1)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，①当x、y为何值时，a与b共线？②是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，试求向量a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角．参考答案：(1)①∵a与b共线，∴存在非零实数λ使得a＝λb，∴?②由a⊥b?(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0?x－2y＋3＝0.(1)由|a|＝|b|?(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.(2)解(1)(2)得或∴xy＝－1或xy＝．(2)∵m·n＝|m||n|cos60°＝，∴|a|2＝|2m＋n|2＝(2m＋n)·(2m＋n)＝7，|b|2＝|－3m＋2n|2＝7，∵a·b