黑龙江省哈尔滨市兆麟中学2021年高三数学文期末试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市兆麟中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.外接圆半径等于1，其圆心满足，则向量在方向上的投影等于（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：C2.函数f(x)=sin+acos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是(

)

A.0

B.3

C.6

D.9参考答案：D略3.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播，若D是DFE弧与x轴的交点，设OD=x，，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y（图中阴影部分），则函数的图像大致是参考答案：D5.若实数，且满足，则的大小关系是A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知在上有两个零点，则的取值范围为(

)

A．（1，2）

B．[1，2]

C．[1,2)

D．（1，2]参考答案：C7.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是(

)A． B． C． D．参考答案：D【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，10]要求这两个数的平方和也在区间[0，10]内，即要求0≤x2+y2≤10，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤10在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为；故选D．【点评】此题考查等可能时间概率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握．8.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于(

)A．? B．{1} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】根据题意，Q为方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的运算可得答案．【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意义，可得P∩Q=?故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，注意本题中P与Q的元素的范围的不同．9.函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：B由图象可知，所以函数的周期，又，所以。所以，又，所以，即，所以，所以，选B.10.若，则的值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论：甲：f（3）=1；乙：函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；丙：函数f（x）关于直线x=4对称；丁：若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根之和为4，其中结论正确的同学是

．参考答案：甲、乙、丁【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题利用函数的奇偶性和函数的解析式的关系，得到函数的对称关系，从而得到函数的中心对称和轴对称的性质，得到本题的相关结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，f（﹣x）=﹣f（x）．∵函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4），∴f（x﹣8）=f（x），∴函数f（x）的周期为8．（1）命题甲∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（3）=﹣f（﹣1）=f（1）．∵x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，∴f（3）=1．∴命题甲正确；（2）命题乙∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴函数f（x）在[0，2]上单调递增．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上单调递增．∴函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增．∵f（﹣2+x）=﹣f（2﹣x）=f[（2﹣x）﹣4]=f（﹣2﹣x），∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数．∴命题乙正确．（3）命题丙∵f（4﹣x）=﹣f（x﹣4）=﹣f（x﹣4+8）=﹣f（4+x）∴由点（4﹣x，f（4﹣x））与点（4+x，f（4+x））关于（4，0）对称，知：函数f（x）关于点（4，0）中心对称．假设函数f（x）关于直线x=4对称，则函数f（x）=0，与题意不符，∴命题丙不正确．（4）命题丁∵当x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），∴函数f（x）在[0，2]上单调递增，0≤f（x）≤log23．∵f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣2﹣4）=f（x﹣6）=f（2+x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称．∴函数f（x）在[2，4]上单调递减，0≤f（x）≤log23．∵函数f（x）关于点（4，0）中心对称，∴当x∈[4，8]时，﹣log23≤f（x）≤0．∴当m∈（0，1）时，则关于x的方程f（x）﹣m=0在[0，6]上所有根有两个，且关于2对称，故x1+x2=4．∴命题丁正确．故答案为：甲、乙、丁．【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性、对称性与函数图象的关系，本题综合性强，难度较大，属于中档题．12.F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，I是△PF1F2的内心，且S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2，则双曲线的离心率e=．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．解答：解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S△IPF1=×|PF1|×|IF|=|PF1|，S△IPF2=×|PF2|×|IG|=|PF2|S△IF1F2=×|F1F2|×|IE|=|F1F2|，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵S△IPF2=S△IPF1﹣S△IF1F2，∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|两边约去得：|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴3a=2c?离心率为e==．故答案为：．点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．13.设，若，则的最大值为

．参考答案：由柯西不等式，，知．14.抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为参考答案：【知识点】定积分在求面积中的应用；抛物线的简单性质．B13H7

解析：抛物线处的切线的斜率为2x|x=2=4，所以切线为y﹣4=4（x﹣2），即y=4x﹣4，此直线与轴的交点为（1，0），所以抛物线处的切线与抛物线以及轴所围成的曲边图形的面积为；故答案为：．【思路点拨】首先求出抛物线在x=2处的切线方程，然后再利用导数的几何意义的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积即可。15.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.参考答案：716.在数列中，若，且、、、成公比为的等比数列，、、成公差为的等差数列，则的最小值是

．参考答案：【知识点】等差数列与等比数列的综合．D5

解析：∵；

、、成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1，且、、、成公比为的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，故答案为。【思路点拨】利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．17.在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是．参考答案：考点： 简单曲线的极坐标方程．专题： 坐标系和参数方程．分析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答： 解：点P（2，）化为，即．直线ρcos（x﹣）=0化为，化为+y=0．∴点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离d==．故答案为：．点评： 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题8分)

设函数f(x)=(x?a)ex+(a?1)x+a，a∈R.

（I）当a=1时，求f(x)的单调区间；

（II）（i）设g(x)是f(x)的导函数，证明：当a>2时，在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0；

（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0,2]，恒有f(x)≤0成立．

注：e为自然对数的底数．参考答案：解：（Ⅰ）当时，

当时，；当时，

所以函数的减区间是；增区间是

（Ⅱ）（ⅰ）

当时，；当时，

因为，所以函数在上递减；在上递增

又因为，所以在上恰有一个使得

（ⅱ）由题意知，即由（ⅰ）知（0，）递减，（，+∞）递增，设在上最大值为，任意的x∈[0,2]，恒有f(x)≤0，即，得19.选修4-5：不等式选讲设函数，.(Ⅰ)当时，求不等式的解集；(Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：解：(1)当时，所以或或解得或或综上，不等式的解集为.(2)，转化为令，，时，，令，得.

20.已知函数，，其中a，b，c均为正实数，且.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求证.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．试题分析：（1）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（2）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．试题解析：（1）由题意，当时，，当时，，不等式无解；当时，，解得，所以；当时，恒成立，所以的解集为（2）当时，；．而当且仅当时，等号成立．即，因此，当时，，所以，当时，点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．关键是通过分区间讨论的方法，去掉绝对值号，然后利用均值不等式求解即可．21.设,,（1）求的最小正周期、最大值及取最大值时的集合；（2）若锐角满足，求的值．

参考答案：（2）由得

，故

又由得，

故，解得．从而．

………………14分

略22.（本题满分13分）已知椭圆的右焦点为，长轴的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和，求的最小值．参考答案：（1）；（2）当时取得最小值，最小值为.（1）由题可知：椭圆的焦点在轴上，其标准方程可设为又长轴的长为，则，；，故.故椭圆的标准方程为：