圆锥曲线经典解题大招含解析5511

学渣逆袭，学霸无敌——圆锥曲线经典解题大招目录CONTENTS第一讲定义与焦点三角形..................................................................3第二讲焦半径...................................................................................16第三讲切线的光学性质....................................................................32第四讲点差法和直径........................................................................41第五讲定比点差法和极点极线........................................................72第六讲三大模型处理定点问题........................................................85第七讲定点问题的性质..................................................................102第八讲定值问题（1）....................................................................117第九讲定值问题（2）....................................................................125第十讲四点共圆类问题..................................................................132第一讲定义与焦点三角形椭圆和双曲线的定义yPF1F2xxyxy22221ab01a0,b0abab2222PFPF2a椭圆：双曲线：PFPF2a1212性质1．在椭圆中，以焦点半径PF为直径的圆与以长轴为直径的圆内切1yPF1OF2x性质1’．在双曲线中，以焦点半径PF为直径的圆与以实轴为直径的圆相切1yyPPF1OF2xF1OF2x性质2．在双曲线中，以AA,为双曲线的左、右顶点，则△在边（PF）或PF上的内PFF122112切圆，所在的直线切于（或A）AAA221与1yPF1A1OA2F2x性质2’．在椭圆中，以,为椭圆的左、右顶点，则△在边（PF）或PF上的旁PFF1221AA12切圆，所在的直线切于（或A）AAA221与1yPxF1OF2x23．若为双曲线1a0,b0右（或左）支上除顶点外的任意一点，Pab22y2性质∠PFF，∠PFF，则ccaatancot（或tancot）．caca22221221yPβαF1OF2xxy221性质3’．若为椭圆ab0上异于长轴端点的任意一点，∠，PFF2Pa2b21tantan．22acca∠PFF，则21yPxF1OF2x22y【例1】已知椭圆41，已知在椭圆上，点Q为△的内心，求动点Q的轨迹PFPF312方程．yPxF1OF2解：【方法一】如下图所示，，∠设Qxyy,0，∠，记直线QF的斜率为k,直线QF的斜率为PFF12PFF211QF12，根据【性质3’】有kQF2accatantan，22又因为所以yytankQF1，tank2x+12x1，QF2yac1，yx1x1ac3化简得x23y21y0，即动点Q的轨迹方程．【方法二】如下图所示，Px,y，连接设Qx,yy0PQ交轴于点，根据角平分线定理得xN00NFPF1NFPF1，22由椭圆焦半径公式得所以有PFaex21x,PFaex21x,2201002021xNF1NF20，21x220，根据角平分线定理得x0故点N的坐标为,04PFPF2PFPF22a2,2c11NFNFNFNF1212又因为PQPF1，故QNFNPQ2，因此PQ2QN，那么QN1x2x,y3y,00又因为点在椭圆上，所以有P2x3y21y0，243化简得x23y21y0，即动点Q的轨迹方程．0上任意一点，,为左右焦点，为椭圆内一AFF12x2y24．若为椭圆1ab性质Pa2b2定点，则2aAF≤PAPF≤2aAF221当且仅当,AFP2三点共线时，等号成立．yAPxF1OF2x2y20,性质4’．若为双曲线1ab0上任意一点，,为左、右焦点，为双AFFPa2b212AF2a≤PAPF，当且仅当2曲线内1与同侧一定点，则,,三点共线且和A,FPFAFP212在x轴同侧时等号成立．yPAF1OF2xxy22【例2】已知（2,3），是椭圆1的右焦点，点M在椭圆上移动，求1612AFMAMF的最小值．解：【方法一】设椭圆y21的左焦点为F，则由【性质4】可得x21612MAMF≥82aMF3，即MAMF的最小值的最小值为83.【方法二】如下图所示由椭圆的第一定义可知|MA||MF|MA2aMF8MAMF，根据三角形三边的关系可得-AF≤MAMF≤AF3≤MAMF≤3，故MAMF≥83，即MAMF的最小值的最小值为83.【例3】设是双曲线x2y21的右支上的一个动点，是双曲线的右焦点，已知点的PFA3坐标是（3,1），求PAPF的最小值．解：【方法一】设双曲线xy21的左焦点为F，则由【性质4’】可得23PAPF≥AF2a2623，即PAPF的最小值为2623.【方法二】如下图所示由双曲线的第一定义有PAPFPAPF2aPAPF23，根据三角形三边的关系可得PAPF≥AF26，故PAPF≥2623，即PAPF的最小值为2623.性质5．设：为椭圆上任意一点，∠，∠PFF，∠PFF，求证：PFPF12122112PFPFsin12sin2b21cos1ca2cycy；（3）e；（1）PFPF；（2）S△PF1F2sinsin212ppb2tan2bm2b2（4）若PFPFm2，则S△PF1F212yPθαβxF1OF2，∠PFF，∠PFF，求证：P性质5’．设：为双曲线上任意一点，∠FPF12122112PFPFsin122b21cos1（1）PFPF；（2）S2cycy；212△PF1F2ppb2cot2since；（4）若aSbm2b2△PF1F2PFPFm（3）sinsin2，则12yPθβαF1OF2xx2y2【例4】（2013辽宁高三模拟）已知为椭圆P1上一点，,分别是椭圆的两个FF412FPF的面积为1，则PFPF等于__________．2焦点．若△121解：【方法一】设，因为△FPF的面积为1，由【性质5】可得2FPF121πb2tantan1，222因此PFPFPFPFcos0.1212【方法二】如下图所示，设，在△PFF中，由余弦定理可得2FPF121PFPF2PFPFFF22PFFF4b22PFPF2cosPF22，1212121212122PFPF2PFPF2PFPF121212所以2b21cos2PFPF1cos，12因为△的面积为1，所以有FPF121sinPFPFsin1，1cos212所以因此πsincos112sincos1sin20，2PFPFPFPFcos0.1212x2y21上一点，,是两个焦点，若【例5】（2005北京海淀模拟）是双曲线PFF91612PFPF32，求∠的大小．FPF1212解：【方法一】设，由【性质5’】得∠FPF122b232PFPF32，1cos1cos12π2，即∠FPFπ.解得cos0212【方法二】如下图所示，设，在△PFF中，由余弦定理可得2FPF121PFPF2PFPFFF22PFFF2PFPF4b2，2cosPF221212121212122PFPF122PFPF2PFPF1212所以2b21cos1cos32，PFPF12因为PFPF32，因此1232π=32cos0，1cos2π.2即∠FPF12x2y26】（2003上海）是椭圆1上的一点，90，2【例,是左、右焦点，若∠FFFPF1P9412求PF:PF.12π解：【方法一】设∠FPF1，由【性质5】得222b21cos1cos8PFPF8，12由椭圆第一定义得所以PFPF2a6，12PFPF2369，82PF2PF1212PF1PFPF1PF2212解得PF:PF2或PF:PF.1212【方法二】如下图所示设，在△中，由余弦定理可得PFF2FPF121PFPF2PFPFFF22PFFF4b22PFPF2cosPF22，1212121212122PFPF2PFPF2PFPF121212所以2b21cos1cos8，PFPF12由椭圆第一定义得所以PFPF2a6，12PFPF2369，82PF2PF1212PF1PFPF1PF22PF:PF1.解得PF:PF2或21212第二讲焦半径0的焦半径公式（FcFcMxy）：,0,1x2y26．椭圆1ab,0,,性质a2b2200MFaex，MFaex1020（左＋右－，上－下＋）．1ax2y20,b0的焦半径公式：性质6’．双曲线a2b2MFaex，MFaex1020（左＋右－，长正短负）（上－下＋，长正短负）1abx2y20中，,分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意FF【例1】在椭圆Ma2b212一点，求椭圆焦半径的取值范围；求MFMF的取值范围．12解：【方法一】设Mx,y，由【性质6】可得00cMFaexax，10a0由椭圆的性质知，所以a≤x≤a0MFac,ac，1即椭圆焦半径的取值范围为aca,c.由【性质6】可得MFMF12aexaexaexb2,a2，022200即MFMF的取值范围为b2,a.212【方法二】设Mx,y，因为点为椭圆上任意一点，所以M00x20a2b2y201，由两点之间距离公式可得2ccxaxaaa00x202c2MFxc2y2xc2b21x22cxa21000aa200cacxaac≤≤由椭圆的性质知≤≤，所以，故axaa00，MFac,ac1即椭圆焦半径的取值范围为acac,.同理可得MFMF12aexaexaexb2,a2，022200即MFMF的取值范围为b2,a2.12x2y21右支上，若点到右焦点的距离等于【例2】（2010江西）点Ax,y在双曲线A004322x，则x__________．00xy解：【方法一】设双曲线21的右焦点为F，由【性质6’】可得2432AFaex23x，00根据双曲线的性质可得x≥2，结合题意可得0AF3x22x，00解得x2.0【方法二】设双曲线x2y21的右焦点为F，则432AFx6y2x63x2,2x2043219x212x43x2220000000根据双曲线的性质可得x≥2，结合题意可得0AF3x22x，00解得x2.0x27．在椭圆1abab22y2,0,0中FcFcMxy,0,,性质1200MFMF12e1则d1d2x2y2,0,0中，FcFcMxy,0,,1ba性质7’．在双曲线a2b21200MFMF12e1则d1d2x21的右焦点为，右准线为l，点Al，y【例3】（2009全国1理文）已知椭圆C：2F2线段AF交C于点，若FA3FB，则AF（B）A．2B．2C．3D．3解：如下图所示2过B作BM垂直于右准线l，右准线与x轴交于点N，易求得椭圆的离心率为e，由椭2圆的第二定义得BM=BF，在Rt△AMB中，eBMBF12，2ABeAB2e为等腰直角三角形，则△ANF也为等腰直角三角形，FNb1，则2所以△AMBcAF2，故选A.这里还有一种处理方法是先求出根据三角形相似求出BM，再结合椭圆第二定义求出BF，进而根据题意FA3FB可以求得AF.ab0中，以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离．x2y28．在椭圆1性质a2b2x2y21bab20中，以焦点弦PQ为直径的圆必性质8’．在双曲线与对应准线相交．a20中，x2y29．在椭圆1ab性质过左焦点F的直线与椭圆交于A,B的，直线倾斜a2b2b2b2b2a1ecosBF，a1ecosAF.若F为右焦点，a角为，则，1ecosAFb2BFa1ecos0中，过左焦点直线x2y2性质9’．在双曲线1ba与椭圆交于A,B的，直线倾斜角a2b2b2b2b2为，则AFa1ecosBF，aAF.若过右焦点，则，1ecos1ecosab2BFa1ecos.x2y21，设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，【例4】（2012江苏）已知椭圆方程为2且直线AF与直线BF平行，若AFBF6，求直线AF的斜率．121212解：【方法一】设，由【性质9】可得AFO1b2b211a1ecos2cos，BF2a1ecos，AF12cos6，所以2因为AFBF12116，2cos22cos6，所以22，即直线AF的斜率为22.解得costan31【方法二】因为直线AF与直线BF平行，不妨设直线AF与直线BF的方程分别为1212x1my,x1my，设AxyBxyy,,,,0,y2120，由112x2122y21m2y22my10，111x1my11解得m2m22m22，或m2m22（舍），y21m2y1所以2m1mm212AFm210y，m2211同理有2m1mm212BF2，m22又因为AFBF6，所以2122m1mm212m1mm21222mm216，m22m22m222解得m22，注意到m0，所以m2.故直线AF的斜率为1.221m性质10．在圆锥曲线中（双曲线需同一支），设过焦点且不平行于坐标轴的弦为AB，F411则（为通径长．）LAFBFL性质11．在圆锥曲线中，设过焦点且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线交焦点FFRe所在轴于点，则R．AB2性质12．在圆锥曲线中的倾斜角为，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，若lAB，则cosFB＞0．e11，且AF1（a＞b＞0）的离心率为3，过右xy22【例5】（2010全国2理文）已知椭圆C：2a2b2焦点且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于，两点，若AF3FB，则kFAB_____.解：【方法一】设直线AB的倾斜角为，由【性质12】得1313，3313cose123，故cos0，所以cos因为k＞0，根据同角三角函数关系可得tan2，即k2.3【方法二】如下图所示设l为椭圆的右准线，过A,B作AA,BB垂直于，,为垂足，过作BEAA于，根E1lBAB1111据椭圆的第二定义有|AF||BF|AA1,BB，e1e由AF3FB知，AA3BB，所以112|BF|ecosBAE|AE|2BB13，|AB||AB|4|BF|3根据同角三角函数关系可得tanBAE2，即k2.【方法三】如下图所示设直线AB的倾斜角为，因为k0，可知在轴上方，由【性质9】可得xBb2accosb2|BF|,|AF|accos，因为AF3FB，于是有b2accos3b2accos，化简得c1，a2cos又因为ec3，所以有a2123cos3ktan2.2cos33，所以a24c2,b21c2，故椭圆的方程为【方法四】因为e233xy21，241c2c233设直线AB的方程为myxc，与椭圆联立得xy2121c24c23m12y26mcyc20，233由韦达定义得6mcc2yy3m212,yy3m212，，1212因为AF3FB，所以y3y，因此126mcc22y3m212,3y23m21222联立解得m21，所以k212，又因为k0，所以k2.2m2这里我们还有另外一种处理方法：因为AF3FB，所以y13，因此y26mc2yy2312ym22y24，121yyy1c23m212y3221解得m212，所以k212m2，又因为k0，所以k2.【例6】（2010全国1理文）已知是椭圆C的一个焦点，是短轴的一个端点，线段BFFB的延长线交C于点，且BF2FD，则C的离心率为多少？D解：【方法一】设直线BD的倾斜角为，由【性质12】得e11cos……①，设椭圆方程为y21ab0，由椭圆的对称性不妨设F是椭圆C的左焦点，如下图x2a2b2所示根据几何关系可得cosOFce，OBa结合①可得21211，1213e解得e33（负值舍去）.【方法二】设椭圆方程为，x2y21ab20，由椭圆的对称性不妨设,0，0,BbFca2b，则Dx,yBF,，FD,，因为cbxcyBF2FD所以3cxc2(xc)2，b2yyb23b，又因为D点在椭圆上，所以于是Dc,229c2b24a24b21，因此e2c13（负值舍去）.2e3a23【方法三】如图所示，|BF|b2ca，2作DDy轴于点D，则由BF2FD，得11|OF||BF|2DD，|BD|31所以DD32|OF|2c3，13c即x，由椭圆的第二定义，得2Da3ca3c2，2|FD|ec22a又由|BF|2|FD|，得a2a3c2，a整理得3c2a2，两边同时除以a2，得3e21，解得e33（舍去），或e3.3x2y21（a＞0,b＞0）的右焦点为，过【例7】（2009全国2理）已知双曲线C：FFa2b2且斜率为3的直线交C于，两点，若AF4FB，则C的离心率为（AB）6B．75C．85D．95A．5解：本题跟【例5】非常相似，这里只写一种做法设直线AB的倾斜角为，由【性质12】得e1e415e1413cos……①，因为直线AB的斜率为3，所以有tan3cos1，26代入①式解得e.故选A.5第三讲切线的光学性质x2y2xxyy10b2Px,y在椭圆1上，则过P的椭圆性质13．若切线方程是0a2000a2b20yP0xF1OF2ab10,0上，则过P的双曲线的切线方程是02＞＞xy2Px,y在双曲线性质13’．若000a2b2xxyy01b202ax2y2Px,y在椭圆1外，则过P作椭圆性质14．若的两条切线切点为A,B,则切点000a2b20xxyy01弦AB的直线方程是b20a2yP0ABxF1OF2x2y2＞＞Px,y在双曲线10,0外，则过作双曲线的ab性质14’．若两条切线切P0000a2b2xxyy0点为A,B，则切点线的AB直线方程是01a2b2【例1】已知椭圆C:x92y421和直线l:xy40，点在直线l上，过点作椭圆CPP的两切线PA,PB，A,B为切点．求证：当点在直线l上运动时，直线AB恒过一定点．P解：【方法一】设P点坐标为,4，由【性质14】得直线AB的方程为ttt4ytx1，94整理得t4x9y36y10，94，故直线AB过定点4x9y0x9令.,04y10y1【方法二】设Px,y，切点Ax,y,Bx,y，根据椭圆的切线方程【性质13】可得001122xxyyL:PA1，1419又因为点P在直线PA上，所以xxyy01……①19014同理可得xxyy01……②29024xxyy1上，故直线AB的方程为4结合①②知点AxyBx,y,,都在直线0901122xxyy0901，4又40，所以4，代入直线AB的方程得xyyx0000x(4x9y)36(y1)00，94，故直线AB过定点4x9y0x9.,04令y10y1【例2】（2014广东）已知椭圆方程为x22y1，若动点Pxy为椭圆外一点，且点,0P940到椭圆C的两条切线互相垂直，求点的轨迹方程．P解：【方法一】当两条切线互相垂直于坐标轴时，可知点P3,2，当两直线斜率都存在时，设两切点分别为Ax,y,Bx,y，由【性质14】得直线AB的方1122程为xxyy01，094联立直线AB和椭圆x21可得2y94xxyy109049y4xx272xx814y0，202020xy022194由韦达定义可得所以814y72x2xx,xx120，09y24x09y24x212200044xx102y94272y0xx0192xxxyy1，9y24x20912yy100000169x441620xxxx，yy111819xxxxxx20120102y9y981y20129y4x22200000因为PAPB，所以PAPB0，即PAPBxx,yyxx,yy10102020xxxxyyyy10201020xxxxxx2yyyyyy20120120120120将xxxxyyyy,,,代入上式化简得1212121210，y2049x20x2y21300又因为动点Px,y为椭圆外一点，所以00x2094y20+1，故x2y213，003,2在圆x2y13上，所以点P的轨迹方程为x2y13.02因为点20【方法二】设两条切线为l,l，当l,l相互垂直于坐标轴时，可知点P3,2，1212当切线所在直线的斜率都存在时，设过点Px,y的切线为ykxxy，由0000ykxxy00，9k4x218kykxx9ykx402x2y221400009因为0，所以49k49ykx40，218kykx220000整理得x9k22xyky40，202000因为直线l,l垂直，所以kk1，即1212y241，0x920化简得因为点x2y213x3，0003,22在圆x2y13上，所以点的轨迹方程为x2y13.P200这里我们还可以把这个过程写得更加通俗易懂一些整理得x9k22xyky40，202000同理可得121x92xyy40，2020kk001可以看出k与是关于的方程x9x22xyxy40的两个根，于是x2020k00y241k.0x29k0性质15．椭圆中，点处的切线PT平分△PFF在点处的外角．PP12yPxF1OF2性质15’．双曲线中，点处的切线平分在点处的内角．PPFF12△PPT性质16．从椭圆的一个焦点向椭圆的切线作垂线，垂足的轨迹是一个圆．yPxF1OF2性质16’．从双曲线的一个焦点向双曲线的的切线作垂线，垂足的轨迹是一个圆．性质17．过椭圆外一点向椭圆作切线，,是切点，,是椭圆的两个焦点，求PCTTFF1212证：∠FPT∠FPT2yP112T2T1xF1OF2性质17’．过双曲线C外一点向双曲线作切线，,是切点，,是椭圆的两个焦点，PTTFF1212求证：∠FPT∠FPT2112性质18．设F是椭圆的一个焦点，是椭圆外一点，PA和PB是椭圆的两条切线，PCA,B是切点．求证：FP是∠AFB的角平分线．yPABxF1OF2性质18’．设是双曲线的一个焦点，是双曲线外一点，PPA和PB是双曲线的两条切CF线，A,B是切点．求证：FP是∠AFB的角平分线．x2y2＞＞性质19．经过椭圆10的长轴的两端点A和A的切线，与椭圆上任一点aba2b212PAPAb的切线相交于P和P，则2121122yP2PP1A1xF1OF2A20的实轴的两端点A和A的切线，与双曲线上任12x2y2＞0,＞性质19’．经过双曲线1aba2b2PAPAb切线相交于P和P，则12一点的212第四讲点差法和直径x2y2kkb2中点，则a2＞＞20．是椭圆1ab0的弦，为的性质ABMABa2b2OMAByAMBxOkkb中点，则ab10,0的弦，为的x2y222＞＞性质20’．是双曲线ABMABa2b2aOMABPx,y在椭圆1内，则被P所平分的21．若00x2y2性质中点弦的方程是0a2b20xxyyx202y2．0b2002a2bayABP0xOx2y2Px,y在双曲线10,0内，则被所平分的＞＞性质21’．若中点弦的方程abP0000a2b2xxyyx202y2．2是0020a2babxy22Px,y在椭圆性质22．若1内，则过的弦中点的轨迹方程是P0000a2b2xyxxyy220．0ya2b2a2b2ABP0xOx2y2＞＞Px,y在双曲线10,0内，则ab性质22’．若过的弦中点的轨迹方程是P0000a2b2xyxxyy0．220aa2b22b2【例1】（2003全国）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F7,0，直线yx1与其相2交于M,N两点，MN中点的横坐标为，则双曲线的方程为__________．325解：【方法一】设MN中点为G，则G点的坐标为G，由【性质20’】可知,33505b2kkb231……①，20a22a2OGAB3又因为c7,c2a2b2……②，联立①②解得故双曲线的方程为a22,b25,，x2y21.25x2y21，且c7，则a2b27.……①【方法二】设所求双曲线方程为a2b2252由MN中点的横坐标为知，中点坐标为.,333，则有设MxyNxy,,,2112x212y212x222y2221和1，abab两式作差化简得又因为yyb2xxayy20，xx21212112xx24,yy2,2510yy2k13xx1，3331212AB12所以2b25a2，……②由①②求得a22,b25,，故双曲线的方程为x2y21.25【方法三】设所求双曲线方程为221，将直线yx1代入双曲线x221中整理xyya2b2a2b2得bax22a2xa2a2b20，22由韦达定理得则2a2xx，b2212axx2a22a2b2，123又a27，解得2ba22,b25,，故双曲线的方程为x221y.253,0，过点的直线交F1ab0的右焦点为Fx2y2＞＞【例2】（2013全国1）已知椭圆a2b21,1，则的方程为__________．椭圆于A,B两点．若AB的中点坐标为E解：本题跟【例1】非常相似，这里只写一种解法咯设AB中点为G，则1,1，由【性质20】可知G1001kkb21b2,……①a210312a2OGAB又因为c3,c2a2b2a218,b29,……②联立①②解得，故的方程为Ex221.y189性质23．椭圆21上存在两点关于直线l:ykxx对称的充要条件是x2ya2b20a2x20a2b22.bk22xa221＞＞y0,0上存在两点关于直线l:ykxx对称的充要条性质23’．双曲线ab02b2a2b22件是x20.a2b2k2ymx1【例3】（2015浙江理19）已知椭圆x2y21上两个不同的点A,B关于直线22对称，求m的范围．解：【方法一】当m0时显然不满足题意，当m0时，ymx1ymx1，根据【性质23】可得22mab2212，1222x2a2b2k22m21m20解得m的范围为,6,.633【方法二】设AB中点为M，直线l的斜率为k，Ax,y，Bx,y，Mx,y，由【性112200AB质20】或由点差法结论可得10mx12kkb2y，a2OMAB0又因为点M在ymx1上，所以21ymx，200由11y0mx2M,11，0m2ymx1200因为点M在椭圆内，于是1212111，m1222m24解得m的范围为,6,.633x221，过坐标y【例4】（2011江苏）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆42原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点在第一象限，过作x轴的垂线，垂足为C，联结PPAC，并延长交椭圆于点，设直线PA的斜率为k．B求证：对任意k＞PAPB0，都有⊥．解：【方法一】设Bx,y,Px,y，则Ax,y,Cx,0，1122222Px2142y121OB2xyxy2142422222所以，C1xy2212242A于是yyyy122，121xxxx2121记直线AB,BP,AC的斜率分别为k,k,k，则ABBPACkk1，2ABBP【这里也可以直接根据椭圆的第三定义直接得到kk1.】2ABBP又因为yy2，2x2k,kk2x2ABAC所以k1k，于是2AB1kk1，22BPPAPB即kk1，所以⊥.BP【方法二】将直线PA的方程ykx代入x221中，解得y422x，12k22记，则12k2，P(,k),A(,k)AB的斜率为0kk于是C(,0)，故直线，直线AB的方程为2yk2(x)，代入椭圆方程，消y整理得2kx22k2x3k20……（*），222由于为方程（*）的一个根，由韦达定理可得方程（*）的另一个根为3k22x，2k23k2,k23因此B，于是直线PB的斜率为2k22k2k3k1，k2kk123k222k2因此PAPB1，所以⊥.kk1【方法三】设点Px,y,Bx,y，则1122，1x0,x0,xx,Ax,y,Cx,0121211记直线PB,AB的斜率分别为,.因为点C在直线AB上，所以kk120yyk，k11xx2x22111从而x2yx2yyy2y22y121440，yy222222kk12kk1211121212x2xxx2xxxxxx22211122221211212因此PAPB1，所以⊥.kk1【例5】（2016菏泽高三3月模拟）已知椭圆x2y21，过原点的直线与椭圆交于A,BC4两点（A,B不是椭圆顶点），点在椭圆C上，且⊥，直线D与x轴轴分别交于ADABBDy，证明存在常数使得k，并求出的k2M,N两点．设直线BD,AM的斜率分别为k,k121值．y解：设Ax,yxy0,Dx,y，则111122，Bx,y11A那么直线AB的斜率yABOMx，1DNx1的斜率B又ABAD，故直线ADxk.1y1设直线AD的方程为ykxm，ykxm由题意知k0,m0，联立，消y得x2y21414kx28mkx4m240，2由韦达定理可得8km2mxx,yykxx2m，14k214k2121212由题意得yyy，11xx,k12xx4k4x121121【这里可以直线根据椭圆的第三定义得到kkb214】1a2所以直线BD的方程为，yyy1xx14x11令y0得M3x,03，即xx，于是11yk2，12x112k2，即1，因此存在常数1使得结论成立.所以k122x2y2【题1】已知双曲线C:1，直线与双曲线交于点A,B，与渐近线交于点C,D，la2b2证明ACBD．yCADBOx解：【方法一】设AB的中点为M，CD的中点为N，直线AB的方程为，根据xmyn【性质20’】可得kkb2，a2ABOMb2mb2.a2所以kOMa2kABx2y20，将直线AB又双曲线的渐近线方程为的方程代入得a2b2bmay2mnb2yb2n20，2222设CxyDxy,,,，由韦达定理可得11222mnb22a2xxmyyn2a2b2m22yy，，12a2b2m2121yymb2，因为kk，所以M,N重合，因此a2OMON则kON21xx12ACBD.x2y21得【方法二】设直线AB的方程为，代入双曲线方程xmyna2b2bmay2mnb2yb2n2a2b20，2222设Ax,y,Bxy,，由韦达定理可得11222mnb2yy，m2212a2bx2y2又双曲线的渐近线方程为0，将直线AB的方程代入得a2b2bmay2mnb2yb2n20，2222设Cx,y,Dx,y，由韦达定理可得33442mnb2yy，34a2b2m2所以AB的中点和CD的中点重合，于是ACBD.x2y2b2＞＞在椭圆1ab0中，过原点且斜率之积为的两条弦互称为共轭直径．a2b2a2x2y2性质24．在椭圆1中，AB,CD为一对共轭直径，证明：AB2CD2为定值．a2b2x2y2性质25．椭圆1内接平行四边形面积最大为2，此时平行四边形对角线为一对共aba2b2轭直径．x2y21，点A0,2，设过点的直线l与【例6】（2014全国1）已知椭圆的方程为C:4AE相交于P,Q两点，求△OPQ的面积最大值．解：【方法一】设直线l的方程为ykx2，O到PQ的距离为d，则2d，1k2将直线l的方程代入椭圆C消去y得14kx216kx120，2设Px,y,Qx,y，由韦达定理得112244k23，xx14k212a则44k231k214k2PQ1k2xx，12于是12|PQ|d1244k231k2244k23，S△OPQ14k214k21k2设u4k23，则4u4u241，S△OPQ4uu当且仅当u2，即k27时不等式取等号.故△OPQ的面积最大值为1.，则【方法二】设PxyQxy,,1,2121xyxyyy1y2y21，xxx2124x224S△OPQ1222212212121xxx214当且仅当y且时等号成立，代入1，得yy1，又A,P,Q三点共y1y21212212222线，则y2y2y2y2，22x112yx12y122即y2y22yy12yy0，121212解得1，所以yy212yyyy17，2k2yyyy21212222xx2yy12112217时，△OPQ的面积最大值为1.即当k2【方法三】设P(acos,bsin),Q(acos,bsin)，则1xyxy12ab|sincossincos|12ab|sin()|12ab，S△OPQ21221当πkπ(kZ)时，即kkb2时，2a2OPOQS12ab1.△OPQmaxx2y2【例7】（2011山东理）已知动直线l与椭圆C:36，其中O为坐标原点．,,1交于PxyQxy两不同,21122点，且△OPQ的面积S2△OPQ（1）证明：xx2和y2y2均为定值；12212（2）设线段PQ的中点为，求OMPQ的最大值；M（3）椭圆C上是否存在三点D,E,G，使得S△DEG的形状；若不存在，请说明理由．S△ODGS6？若存在，判断2△OEG△ODE解：（1）【方法一】①当直线l斜率不存在时，PQ两点关于x轴对称，所以xx,yy，1212因为Px,y在椭圆上，因此11x213y2121，……①又因为S△OPQ6，所以26，……②xy211y6,1，此时21由①②得x1x2x23,y2y22.1212②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，由题意知m0，将其代入椭圆x2y2C:1中消得y3223kx26kmx3m20，22其中36k2m21223km20，即223k22m2，……（*）由韦达定理得3m26km2xx,xx12，23k223k212所以4xx1k2263k22m223k212|PQ|1k2xx2，12因为点O到直线l的距离为|m|d，1k2所以1k263k22m|m|6|m|3k22m223k21k21|PQ|d12，S△OPQ22223k2又S△OPQ6，整理得23k222m2，且符合（*）式，此时3m226km222x2x2xx2xx3，23k223k2121212222y2y23x3x4xx2，2222223331211综上所述，x2x23,y2y22，结论成立.1212Px,y(3cos,2sin),Qx,y(3cos,2sin).【方法二】设1122y直线OQ:y2x，即x2yxxy0，22到直线OQ点Px,y的距离为11dyxxy，2121y2x222又|OQ|x2y2，所以22S△OPQ1|OQ|d1xyxy，221221所以66，|sin()|22S△OPQ1xyxy1|3cos2sin3cos2sin|221221所以sin()1，得kππ(kZ)，因此2x2x23cos23cos23cos23sin23；12y2y22sin22sin22sin22cos22.12（2）【方法一】①当直线l斜率不存在时，由（1）知|OM|x6,|PQ|2y2，211因此|OM||PQ|626.2②当直线l斜率存在时，由（1）知xx23kyyxxm3k2m2m3k2m21，m2,k1121222m222m所以xxyy9k216m221221|OM|23，1212m2224mm24m222243k2m222m1221|PQ|21k22，223km2m222所以31212113|OM||PQ|2213221m221m2m2254，2m2m2m2252，当且仅当3121，即m2时等号成立.m2m2于是|OM||PQ|综合①②得|OM||PQ|的最大值为5.2【方法二】因为4|OM|2|PQ|2xx2yy2xx2yy22xxyy10，2222221212212111所以2|OM||PQ|4|OM|2|PQ|2105，22即|OM||PQ|5，当且仅当2|OM||PQ|5时等号成立.2因此|OM||PQ|的最大值为5.2xxyy【方法三】根据题意，设M,，所以12122222xxyy|OM||PQ|xxyy2212124412121x2x22xxy2y22yyx2x22xxy2y22yy21212121212121212152xxyy52xxyy212121212125254xxyy2212122的最小值是0，且“”成立.当0或0时，xyxyxxyy12211212（3）【方法一】椭圆C上不存在三点D,E,G，使得S△ODES△ODGS△OEG6.2证明：假设存在D(u,v),Ex,y,Gx,y满足SS△ODGS△OEG6.由（1）得21122△ODEu2x23,u2x23,x2x23;v2y22,v2y22,y2y22，12121212解得3u2x2x2;v2y2y21，21212因此,,只能从26中选取，,,只能从1中选取.uxxvyy1212因此D,E,G只能在6,1这四点中选取三个不同点.而这三点的两两连线中必有一条26矛盾