福建省三明市智华中学2021年高二数学理期末试题含解析

福建省三明市智华中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数,则的虚部为（

）

A．l

B．2

C．-2

D．-1参考答案：D略2.已知函数的图象如右图所示，则其导函数的图象可能是A

B

C

D

参考答案：A3.对于指数曲线y=aebx,令u=lny,

c=lna,经过非线性化回归分析之后，可转化的形式为（

）A．

u=c+bx

B．

u=b+cx

C．

y=c+bx

D．y=b+cx参考答案：A略4.若曲线在点处的切线方程是，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，=33，则n的值为(

)．A．50 B．49 C．48 D．47参考答案：A6.计算的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.设函数f(x)是定义在(－1,+∞)上的连续函数，且在处存在导数，若函数f(x)及其导函数满足，则函数f(x)(

)A.既有极大值又有极小值 B.有极大值，无极小值C.有极小值，无极大值 D.既无极大值也无极小值参考答案：C【分析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值。【详解】由题意可知，，即，所以，令，则，因为函数在处存在导数，所以为定值，，，所以，令，当时，，构建函数，则有，所以函数在上单调递增，当，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以当时函数必有一解，令这一解为，，则当时，当时，综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以有极小值，无极大值。【点睛】本题考查导数的相关性质，能否根据导函数的相关性质构造出函数是解决本题的关键，考查如何根据导函数性质来判断函数是否有极值，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题。8.设有直线m、n和平面α、β．下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m?α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用；直线与平面平行的判定．【分析】由题意设有直线m、n和平面α、β，在此背景下对四个选项逐一判断找出正确选项，A选项可由线线平行的条件作出判断，B选项可由面面平行的条件作出判断，C选项可由线面垂直的条件作出判断，D选项可由线面平行的条件作出判断．【解答】解：当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由α⊥β，m⊥β，m?α，可得m∥α，故是正确命题故选D【点评】本题考点是命题真假的判断与应用，考查了线线平行的判定，面面平行的判定，线面垂直的判定，线面平行的判定，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据题设条件想像出实物图形，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力，命题真假的判断与应用题是近几年高考的热点，主要得益于其考查的知识点多，知识容量大，符合高考试卷命题精、博的要求9.一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编号为1～50,为了了解他们课外的兴趣,要求每班第40号学生留下来进行问卷调查,这运用的抽样方法是()A．分层抽样

B．抽签法

C．随机数表法

D．系统抽样法参考答案：D试题分析：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号考点：系统抽样方法10.空间四点A、B、C、D满足||=3，||=7，||=11，||=9，则?的取值为（）A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；转化法；平面向量及应用．【分析】先把ABCD看成是平面图形，过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，运用勾股定理，可得E，F重合，再将图形沿AC或BD折起，便是空间图形，运用线面垂直的判定和性质，得AC⊥BD，再由向量数量积的性质，即可得到答案．【解答】解：由||=3，||=7，||=11，||=9，知AB2+CD2=BC2+DA2=130，BC2﹣AB2=CD2﹣DA2；先把ABCD看成是平面图形，过B作BE垂直AC，过D作DF垂直AC，则AB2=AE2+BE2，BC2=CE2+BE2，则BC2﹣AB2=CE2﹣AE2．同理CD2﹣DA2=CF2﹣AF2，即CF2﹣AF2=CE2﹣AE2，又因为A，E，F，C在一条直线上，所以满足条件的只能是E，F重合，即有AC垂直BD，再将图形沿AC或BD折起，便是空间图形；由AC⊥BE，AC⊥DE，即有AC⊥平面BDE，则AC⊥BD，即?=0，所以?的取值只有一个．故选：A．【点评】本题考查了空间中直线和平面的位置关系，以及向量的数量积的应用问题，也考查了空间想象能力，是中档题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是线B1C段的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球的体积为

．参考答案：36π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣DED1外接球体．【解答】解：三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，设球的半径为R，则R2=（2）2+（4﹣R）2，∴R=3，∴三棱锥A﹣DED1外接球体积为=36π．故答案为：36π．12.已知函数y=++2，则y′=．参考答案：【考点】导数的运算．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；导数的概念及应用．【分析】直接利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求解．【解答】解：∵y=++2，∴y′==，故答案为：．【点评】本题考查导数的运算，考查了基本初等函数的求导公式，考查了导数的运算法则，是基础题．13.若幂函数的图像经过点,则▲参考答案：14.设向量,若,则等于___________参考答案：15.已知甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有2个白球、2个黑球，从这两个箱子里分别随机摸出1个球，则恰有一个白球的概率为__________.参考答案：【分析】通过分析恰有一个白球分为两类：“甲中一白球乙中一黑球”，“甲中一黑球乙中一白球”，于是分别计算概率相加即得答案.【详解】恰有一个白球分为两类：甲中一白球乙中一黑球，甲中一黑球乙中一白球。甲中一白球乙中一黑球概率为：，甲中一黑球乙中一白球概率为：，故所求概率为.【点睛】本题主要考查乘法原理和加法原理的相关计算，难度不大，意在考查学生的分析能力，计算能力.16.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为

.

参考答案：略17.函数，则

▲

；若，则=

▲

．参考答案：

试题分析：，所以；若，转化为，或，解得，或，所以.考点：分段函数三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．参考答案：证明：(1)连结AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，故在△CPA中，EF∥PA，

……3分又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD．

……6分(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，

19.已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．（I）求AD1与EF所成角的大小；（II）求AF与平面BEB1所成角的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）建立如图所示的坐标系，利用向量法求AD1与EF所成角的大小；（II）求出平面BEB1的法向量，利用向量法求AF与平面BEB1所成角的余弦值．【解答】解：（I）建立如图所示的坐标系，D（0，0，0），A（1，0，0），E（0，，1），F（，1，1），D1（0，0，1），=（﹣1，0，1），=（，，0），设AD1与EF所成角为α，∴cosα=||=，∴AD1与EF所成角的大小为60°；（II）=（0，0，1），=（﹣1，﹣，1），设平面BEB1的法向量为=（x，y，z），则，取=（1，﹣2，0），∵=（﹣，1，1），∴AF与平面BEB1所成角的正弦值为||=，∴AF与平面BEB1所成角的余弦值为．20.已知：如图，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，且．（1）求证：平面．（2）求二面角的余弦值．（3）在线段AC（不包含端点）上是否存在点F，使得EF与平面ABC所成的角为45°；若存在，写出的值，若不存在，说明理由．参考答案：（1）见解析；（2）；（3）.试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得,结合,可得平面.（2）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量,设平面的法向量,计算可得二面角的余弦值为.（3）设存在点满足题意，设,则,据此得到关于的方程，解方程可得.则在线段上存在点满足题意.试题解析：（1）证明:因为在直二面角中,四边形是正方形,所以,则平面,又因为平面,所以,因为,即,所以平面.（2）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系则,,,.平面的法向量,设平面的法向量,因为,,所以即令,解得,则,所以二