湖南省长沙市兴联学校2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省长沙市兴联学校2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的右焦点为，设，为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为A.4

B.2

C.

D.参考答案：B2.已知函数f（x）=+ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x1）和f（x2），若x1和x2分别在区间（﹣2，0）与（0，2）内，则的取值范围为（） A．（﹣2，）B． [﹣2，]C．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）参考答案：D略3.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为A．－4

B．4

C．－2

D．2参考答案：B4.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（

）A．9 B．12 C．18 D．24参考答案：B∵，不等式恒成立∴∵当且仅当a=3b时取等号，∴的最大值为12故选：B

5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是

（

）

A．

B．C．

D．参考答案：B略6.已知集合，，则A∩B=（

）A．(1,2)

B．(1,3)

C．(0,2)

D．(0,3)参考答案：D集合，，.故选D.

7.已知函数的周期为2,当时,那么函数的图象与函数的图象的交点共有(

)A.2个

B.4个

C.6个

D.8个参考答案：B8.设，，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A10.若变量满足约束条件的最小值为A. B.0 C.1 D.4参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知六棱锥P-ABCDEF的七个顶点都在球O的表面上，若，PA⊥底面ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，则球O的体积为____________________.参考答案：【分析】根据底面为正六边形，可知底面外接圆的半径为，由勾股定理可求外接球的半径，即可求出体积.【详解】解：在六棱锥中，由于底面正六边形边长为1，故底面外接圆半径，，底面，设外接球的半径为则解得故答案为：【点睛】本题考查锥体的外接球的体积计算，属于基础题.12.已知函数的导函数为，且，则=

．参考答案：－113.已知圆C：，直线l：则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为

.参考答案：14.在中，已知，，则的最大值为

.参考答案：考点：余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.15.设Sn为数列{an}的前n项和，且a1=，an+1=2Sn﹣2n，则a8=．参考答案：﹣592【考点】数列递推式．【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由an+1=2Sn﹣2n得an=2Sn﹣1﹣2n﹣1，两式相减得出递推公式，依次计算各项可求出．【解答】解：∵an+1=2Sn﹣2n，∴当n=1时，a2=2a1﹣2=1．∴当n≥2时，an=2Sn﹣1﹣2n﹣1，∴an+1﹣an=2an﹣2n﹣1，∴an+1=3an﹣2n﹣1．∴a3=3a2﹣2=1，a4=3a3﹣4=﹣1，a5=3a4﹣8=﹣11，a6=3a5﹣16=﹣48，a7=3a6﹣32=﹣176，a8=3a7﹣64=﹣592．故答案为：﹣592．【点评】本题考查了数列的递推公式，属于中档题．16.设f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），如果f（1）=lg，f（2）=lg15，则f（2017）=

．参考答案：﹣1【考点】抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件推导出f（x）是一个周期为6的函数，所以f=f（6×336+0）=f（0），利用已知条件求解即可．【解答】解：（1）f（1）=lg，f（2）=lg15，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=lg15﹣（lg3﹣lg2）=lg5+lg2=1，f（4）=f（3）﹣f（2）=1﹣lg15，f（5）=f（4）﹣f（3）=1﹣lg15﹣1=﹣lg15，f（6）=f（5）﹣f（4）=﹣lg15﹣（1﹣lg15）=﹣1，f（7）=f（6）﹣f（5）=﹣1+lg15=lg，∴f（x）是一个周期为6的函数，∴f（2017）=f（6×336+1）=f（0），f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（0）=f（1）﹣f（2）=lg﹣lg15=lg=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数的周期性和对数性质的灵活运用．17.（理）从0，1，2，3，4这5个数中取3个数，记中位数是ξ，则数学期望E（ξ）=

．参考答案：2考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：确定变量的可能取值，做出变量对应的概率，写出期望值．解答： 解：ξ的可能取值为1，2，3，则P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴E（ξ）=1×+2×+3×=2．故答案为：2．点评：本题考查离散型随机变量的期望的计算，本题解题的关键是看出变量的可能取值，注意准确计算即可．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞﹣． 参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（I）设数列{an}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可； （Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得Sn=，于是bn=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明． 【解答】（Ⅰ）解：设数列{an}的公差为d， ∵a1+a7=﹣9，S9=﹣， ∴， 解得，∴=﹣． （Ⅱ）证明：∵Sn==， ∴bn==﹣=﹣， ∴数列{bn}的前n项和为Tn=﹣+…+ = = ． ∴Tn＞﹣． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.已知椭圆C：（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点． （1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e； （2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由． 参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题意可得a=2，b=c，b2+c2=a2，解方程可得b，c，进而得到圆O的方程和椭圆的离心率； （2）设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0），分别代入圆和椭圆方程，运用直线方程的点斜式求得AP，BP的方程，令x=0，可得M，N的坐标，求得向量MQ，NQ的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到结论． 【解答】解：（1）由椭圆方程可得a=2， 又以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点， 可得b=c且b2+c2=a2， 解得a=2，b=c=， 则圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的离心率e==． （2）如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（xQ，y0）， 则即， 又A（﹣2，0），B（2，0），由AP：，得． 由BP：，得． 所以=， ， 所以， 所以QM⊥QN，即MQ与NQ所在的直线互相垂直． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查两直线垂直的条件，转化为两向量垂直的条件：数量积为0是解题的关键，考查直线和圆方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 20.（本小题满分12分）

已知向量，函数.（1）若，求的值；（2）求函数的对称中心和最大值，并求取得最大值时的的集合.

参考答案：（1）;（2）,（1）法1:

当时，法2:直接代入,算出.（2）由得所以对称中心为当时，取最大值.

21.（12分）如图，在梯形中，，，，平面⊥平面，四边形是矩形，，点在线段上。（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）当为何值时，平面？证明你的结论；（Ⅲ）求二面角的余弦值。参考答案：（Ⅰ）在梯形中，，，所以，，又，所以，平面⊥平面，平面平面=，所以⊥平面。（Ⅱ）当时，平面证明：在梯形中，，设,连接，所以

,所以，因为，所以,又平面，所以平面（Ⅲ）利用向量法可解得二面角的余弦值为，过程略。22.甲，乙，丙3人投篮，投进的概率分别是现3人各投篮1次，求：

（Ⅰ）现有3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；