湖北省孝感市寰城高级中学高三数学文上学期期末试题含解析

湖北省孝感市寰城高级中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．

B．，则C．，则

D．，则参考答案：B略2.已知直线l丄平面a，直线平面，则“”是“”的(A)充要条件

（B)必要条件

(C)充分条件

（D)既不充分又不必要条件参考答案：C略3.某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C4.已知函数f（x）=﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，e﹣3） C．（﹣1，+∞） D．（e﹣3，+∞）参考答案：D【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用． 【分析】由条件可得2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论． 【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形， 等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0． 令得x=1． 当时，f'（x）＜0；当1＜x＜e时，f'（x）＞0； 所以当x=1时，f（x）min=f（1）=1+h，==e﹣1+h， 从而可得，解得h＞e﹣3， 故选：D． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题． 5.已知双曲线的离心率为，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.【详解】因为离心率为，所以①；因为点(4，1)在双曲线上，所以②；因为③；联立①②③可得，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用.6.若函数，则的图像是

（

）参考答案：D7.复数=【

】

(A)2

(B)-2

(C)2i

（D）-2i参考答案：.【解析】.

8.执行如图的程序，则输出的结果等于(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T的值．【解答】解：执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项an===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：A．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查．9.已知函数，若在(O,)上单调递减,则实数a的取值范围为A.(0,)

B.(0，]

C.[)

D.(,1).参考答案：B略10.已知集合则＝

（A）（B）

（C）（D）参考答案：答案：A解析：已知集合=，则＝，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3=3a3，则公比q的值为 参考答案：考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：分两种情况：当q=1时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当q=不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值．解答：解：当q=1时，S3=a1+a2+a3=3a1=3a3，成立；当q≠1时，得到S3=，a3=a1q2，又S3=3a3，所以=3q2，化简得：2q2﹣q﹣1=0，即（q﹣1）（2q+1）=0，由q≠1即q﹣1≠0，解得q=﹣．综上，公比q的值为1或﹣．故选C．点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．12.若变量x，y满足，则z=的取值范围是．参考答案：[0，1]【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到点（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小为0，AD的斜率最大，由得．即A（0，1），此时z===1，即0≤z≤1，故答案为：[0，1]【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．13.已知双曲线：的左、右焦点分别为F1、F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q在C的另一条渐近线上，则C的离心率e=______.参考答案：2【分析】根据垂直平分线的性质和渐近线的性质，求得，由此求得，进而利用计算出双曲线的离心率.【详解】由图可知，是线段的垂直平分线，又是斜边的中线，∴，且，∴，所以.故答案为：2【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为__________。（从小到大排列）参考答案：略15.、两地街道如图所示，某人要从地前往地，则路最短的走法有__________种．参考答案：根据题意，需要向上走次，向右走次，共次，从次中选次向右，剩下次向上即可，则有种不同的走法．16.已知函数，实数x，y满足

，若点M(1，2)，N(x，y)，则当≤4时，的最大值为

(其中O为坐标原点)参考答案：1217.如图，我们知道，圆环也可看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S=π（R2﹣r2）=（R﹣r）×2π×．所以，圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是

．（结果用d，r表示）参考答案：2π2r2d考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；归纳推理．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．代入可得答案．解答： 解：由已知中圆环的面积等于是以线段AB=R﹣r为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．故V=πr2?2πd=2π2r2d，故答案为：2π2r2d．点评：本题考查的知识点是圆柱的体积，类比推理，其中得到拓展到空间后，将平面区域M={（x，y）|（x﹣d）2+y2≤r2}（其中0＜r＜d）绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积应等于：以圆（x﹣d）2+y2=r2为底面，以圆心（d，0）绕y轴旋转一周形成的圆的周长2π×d为高的圆柱的体积．是解答的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．（1）求cosB的值；（2）若a=，b=2，求角A的大小及向量在方向上的投影．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用点在直线上，得到三角形边角关系式，利用正弦定理变形求cosB；（2）利用（1）的结论，解直角三角形．【解答】解：（1）因为点（a，b）在直线2xcosB﹣ycosC=ccosB上．所以2acosB﹣bcosC=ccosB，由正弦定理变形得2sinAcosB﹣sinBcosC=sinCcosB，所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，又sinA≠0，所以cosB=；（2）由（1）得B=60°，因为a=，b=2，所以cosA=，所以A=arccos；因为∠B=60°，所以向量在方向上的投影为acos60°=．19.（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．参考答案：解：（1）连结B1C，ME．因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME=B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D．由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．（2）由已知可得DE⊥DA．以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则，A1(2,0,4)，，，，，，．设为平面A1MA的法向量，则，所以可取．设为平面A1MN的法向量，则所以可取．于是，所以二面角的正弦值为．

20.如图己知棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点E是棱AD的中点,点F在SC棱上，且,SA∥平面BEF.(I)求实数的值；(Ⅱ)求三棱锥F-EBC的体积。参考答案：21.（本小题满分14分）已知函数，．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；

(Ⅱ)设点为函数的图象上任意一点，若曲线在点处的切线的斜率恒大于，求的取值范围．参考答案：③当时，在上恒成立，所以函数在是增函数；（ⅰ）当时，在时恒成立.┅┅┅14分22.某校高三年级发展均衡，各班均有学生50人，全校共有20个平行班级.随机选择一个班，将他们的期中数学考试成绩（折合成满分100分，成绩均不低于40分）分成六段：[40,50),[50,60),……,[90,100],得到如图所示频率分布直方图

（1）请估计该校这20个班级中成绩不低于60分的人数；（2）为了帮助学生提高数学成绩，该班班主任决定成立“二帮一”小组：对成绩在[40,50)内的每位同学，从成绩在[90,100]中选两位同学对其数学学习提供帮助，各组成员没有重复.已知甲成绩为42分，乙成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.参考答案：解：（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．由于该校高一年级共有学生50×20=1000