2022-2023学年河南省开封市博望高级中学高二数学理模拟试题含解析

2022-2023学年河南省开封市博望高级中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略2.已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是

（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略3.函数的图象是（

）

参考答案：B略4.要从165个人中抽取15人进行身体检查，现采用分层抽样的方法进行抽取，若这165人中老人的人数为22人，则老年人中被抽到参加健康检查的人数是

（

）A.

5人

B.

2人

C.

3人

D.

1人

参考答案：B5.已知函数f（x）=|x|?ex（x≠0），其中e为自然对数的底数，关于x的方程有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】写出分段函数，利用导数研究单调性和极值，画出图形的大致形状，结合关于x的方程有四个相异实根列式求得实数λ的取值范围．【解答】解：f（x）=|x|?ex=．当x＞0时，由f（x）=x?ex，得f′（x）=ex+x?ex=ex（x+1）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；当x＜0时，由f（x）=﹣x?ex，得f′（x）=﹣ex﹣x?ex=﹣ex（x+1）．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值为f（﹣1）=．作出函数f（x）=|x|?ex（x≠0）的图象的大致形状：令f（x）=t，则方程化为，即t2﹣λt+2=0，要使关于x的方程有四个相异实根，则方程t2﹣λt+2=0的两根一个在（0，），一个在（）之间．则，解得λ＞2e+．∴实数λ的取值范围是（2e+，+∞）．故选：D．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数求极值，考查数学转化思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．6.已知P为抛物线上一动点，则点P到y轴的距离与到点的距离之和的最小值为（

）A．2

B．3

C．

D．参考答案：D7.在ABC中，则A等于

A30

B60

C60或120

D30或150参考答案：A8.若复数满足，则=（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C9.若命题，则是A．

B．C．

D．参考答案：A10.在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶∶2，则sinA∶sinB∶sinC＝()．A．∶2∶1 B．2∶∶1 C．1∶2∶ D．1∶∶2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，其中i为虚数单位，则

.参考答案：1.根据已知可得，则，所以，从而．12.当函数f（x）=取到极值时，实数x的值为

．参考答案：1【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出x的值即可．【解答】解：f′（x）==，令f′（x）=0，解得：x=1，故答案为：1．13.对于任意实数x，表示不超过x的最大整数，如=﹣1，=1，已知为数列{an}的前项和，则S2017=

．参考答案：677712【考点】8E：数列的求和．【分析】利用n∈N*，an=[]，可得S3n=3+n=n2﹣，由2017=3×672+1，即可求得S2016，由a2017=672，S2017=S2016+a2017，即可求得S2017．【解答】解：∵n∈N*，an=[]，∴n=3k，k∈N*时，a3k=k；n=3k+1，k∈N时，a3k+1=k；n=3k+2，k∈N时，a3k+2=k．S3n=3+n=3×=n2﹣，由2017=3×672+1，∴S2016=S3×672=×6722﹣=677040，a2017=672，S2017=S2016+a2017=677040+672=677712，故答案为：677712．14.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.零件数x(个)1020304050加工时间y(分)62M758184现发现表中有一个数据M模糊看不清，请你推断出该数据的值为.参考答案：73略15.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，c=2a，则cosB的值为

．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2a可得，b=，c=2a，结合余弦定理可求【解答】解：∵a，b，c，且a，b，c成等比数列且c=2ab2=ac=2a2，b=，c=2a=故答案为：【点评】本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题16.已知函数则__________．参考答案：－2【分析】先计算出,再求得解.【详解】由题得，所以=f(-2)=.故答案为：-2.【点睛】本题主要考查对数和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

17.设实数满足，则的取值范围是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次预赛成绩记录如下：甲：82

82

79

95

87

乙：95

75

80

90

85（1）用茎叶图表示这两组数据（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选哪位学生参加更合适？说明理由（3）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（1）由已知能作出茎叶图．（2）分别求出平均数和方差，由甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，知派甲参赛比较合理．（3）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25，列举出甲的成绩比乙的成绩高的个数，由此能求出从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率．【解答】解：（1）作出茎叶图如下图：（2）派甲参赛比较合理．理由是：=（79+82+82+87+95）=85．=（75+95+80+90+85）=85，=[（82﹣85）2+（82﹣85）2+（79﹣85）2+（95﹣85）2+（87﹣85）2]=31.6，=[（75﹣85）2+（95﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（85﹣85）2]=50，为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．故派甲参赛比较合理．（3）设甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为：（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为p=．19.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，且求证：(1)且－3；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．

参考答案：(12分)证明：(1)f(1)＝a＋b＋c＝－，

即3a＋2b＋2c＝0.又3a>2c>2b，所以3a>0,2b<0，则a>0，b<0.………………3分又

,所以可得

因为a>0，所以－3<<－.………6分(2)f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，①当c>0时，f(0)＝c>0且f(1)＝－<0，所以函数f(x)在(0,1]内至少有一个零点．………9分②当c≤0时，f(1)＝－<0且f(2)＝a－c>0，所以函数f(x)在(1,2)内至少有一个零点．所以f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．………12分

20.对某校高二年级学生中学阶段参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图,分组频数频率100.25260.6530.025合计1

（Ⅰ）请写出表中，，及图中的值；（Ⅱ）请根据频率分布直方图估计这名学生参加社区服务的次数的众数与中位数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于25次的学生中任选2人，求恰有一人参加社区服务次数落在区间内的概率．

参考答案：略21.已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=﹣2时，解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤1的解集为[0，2]，求证：f（x）+f（x+2）≥2a．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x﹣1|≥16，分类讨论，去掉绝对值，即可解不等式f（x）≥16﹣|2x﹣1|；（Ⅱ）先求出a，f（x）=|x﹣1|，于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x﹣1|+|x+1|≥2，利用绝对值不等式，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：当a=﹣2时，不等式为|x+2|+|2x﹣1|≥16，当x≤﹣2时，原不等式可化为﹣x﹣2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣；当﹣2＜x≤时，原不等式可化为x+2﹣2x+1≥16，解之得x≤﹣13，不满足，舍去；当x＞时，原不等式可化为x+2+2x﹣1≥16，解之得x≥5；不等式的解集为{x|x≤﹣或x≥5}．（Ⅱ）证明：f（x）≤1即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1解集是[0，2]，所以，解得a=1，从而f（x）=|x﹣1|于是只需证明f（x）+f（x+2）≥2，即证|x﹣1|+|x+1|≥2，因为|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2，所以|x﹣1|+|x+1|≥2，证毕．【点评】本题考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22.(本小题满分13分)为了研究化肥对小麦产量的影响，某科学家将一片土地划分成200个的小块，并在100个小块上施用新化肥，留下100个条件大体相当的小块不施用新化肥.下表1和表2分别是施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量频数分布表(小麦产量单位：kg)

(1)完成下面频率分布直方图；

(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计施用化肥和不施用化肥的一小块土地的小麦平均产量；(3)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“施用新化肥和不施用新化肥的小麦产量有差异”表3：附：0.050

0.010

0.005

0.0013.841

6.635

7.879

10.828

参考答案：

(2)施用化肥的一小块土地小麦平均产量为5×0.1+15×0.35+25×0.4+35×0.1+45×0.05＝21.5不施用新化肥的一小块土地小麦平均产量为5×0.15+15×0.5+25×