讲对称性和守恒定律

个人资料整理 仅限学习使用五．对称性和守恒定律1．运动积分：有心力场：所以 。，故：个人资料整理 仅限学习使用积分：对于有心势场：h为常数有心力是保守力：与运动方程相比上述方程比较容易求解个人资料整理 仅限学习使用运动积分：拉格朗日函数为广义坐标 、 和 的函数，一个力学体系在 时刻由 个量 和 来决定。广义坐标：其中： 为拉格朗日方程通解的 个积分常数。他们存在于 、 的函数中，而且在运动过程中保持不变。这种函数称为运动积分。如果体系的自由度为 我们可以从上述方程中消去 ，保留 个方程组，解得：个 都是相互独立的，都是拉格朗日方程的运动积分。原则上我们可以用运动积个人资料整理 仅限学习使用分来取代全部的拉格朗日方程。最简单的运动积分：1）广义动量守恒：循环坐标：拉格朗日函数中不显含的坐标称为循环坐标或可遗坐标。设拉格朗日函数中不显含的坐标 ，由得广义动量个人资料整理 仅限学习使用例如有心力场： 中不显含 ，所以有2）广义能量守恒：广义能量积分：如果拉格朗日函数中不显含时间，则 ，拉格朗日函数对时间的微分：由拉格朗日方程： 得：个人资料整理 仅限学习使用运动积分：个人资料整理 仅限学习使用的物理意义：设：个人资料整理 仅限学习使用为广义能量。若体系是稳定约束：，则个人资料整理 仅限学习使用守恒量：运动积分的分类：1）具有可加性。有几个部分组成，而各个部分之间的相互作用可以忽略不计，它的值等于各个部分之和2）具有不可加性：守恒量。<a）时间的均匀性 ----------<b）空间的均匀性 ----------<c）空间的各向同性 -------

能量守恒动量守恒角动量守恒个人资料整理 仅限学习使用<b）+<c）空间的均匀性和各向同性：在空间做一个无限小的平移：或无限小的转动：拉格朗日函数不变。即：令 ，个人资料整理 仅限学习使用将方程：带入上式：空间均匀性导致动量守恒：空间的均匀性意味着坐标可以任意平移，在座标平移时，体系各点都有相同的位移，因此各点都有相同的个人资料整理 仅限学习使用任意小，但不为零，所以空间各向同性导致角动量守恒：坐标轴方向可以任意转动，个人资料整理 仅限学习使用时间均匀性导致能量守恒：时间均匀性： 则：个人资料整理 仅限学习使用经典物理学中的对称性1． 空间均匀性：所有的位置 具有相同的结构。1）物理问题的解在平移下不变2）平移不变性对于孤立系统--------动量守恒空间均匀性是指体系的拉格朗日函数当粒子的坐标 用 代替时，保持不变，其中 是任意的常矢量。空间均匀性更通用的概念将只要求在空间平移下，运动方程的不变，若是这样，也可以证明存在一个守恒量，但这个守恒量并不必定是正则动量。2． 时间的均匀性：孤立体系中，相对于时间的平移，自然规律是不变的。个人资料整理 仅限学习使用即，在和两个时刻，自然规律具有相同的形式在数学上，上述概念由拉格朗日函数种不显含时间表示：由拉格朗日方程：方程两端同时乘以 并对 求和：增加一项：个人资料整理 仅限学习使用即：令：则：个人资料整理 仅限学习使用守恒！3． 空间各向同性：沿空间所有方向具有相同的结构。孤立体系当整个体系在空间任意转动时，其力学性质不变拉格朗日函数在空间转动下不变！令系统绕某一个轴转动 ，则位矢 的端点绕 轴转动的半径为：

，对时间求导：个人资料整理 仅限学习使用因为 和 相互独立，因此其顺序可以变化，所以：利用： 得：将拉格朗日方程代入：个人资料整理 仅限学习使用令 ，由于 所以个人资料整理 仅限学习使用例：均匀电场中的守恒定律：带电粒子<1）均匀电场中3）均匀磁场中推导出平移对称性的守恒定律。解：正则动量：应用拉格朗日方程：个人资料整理 仅限学习使用应用：得到：个人资料整理 仅限学习使用无论在什么时候，将广义力 写成时间的全微分是可能的：守恒定律：个人资料整理 仅限学习使用(a>均匀电场：上述描述对应于两种不同的规范。第一种情况：守恒定律：在该规范中，守恒量与正则动量不相等！个人资料整理 仅限学习使用第二种情况：因为 所以拉格朗日量为：这样有：因此动量守恒：个人资料整理 仅限学习使用讨论：比较第一种和第二种情况这是由两种不同的规范产生的：个人资料整理 仅限学习使用两种守恒量：守恒是相同。因此，我们认为在有外部电磁场的情况下， 包含正则动量的定律的物理意义可以依赖于规范。<b）均匀磁场：个人资料整理 仅限学习使用即：平移时动量守恒：此时：守恒量：守恒量不是正则动量个人资料整理 仅限学习使用质点组的动量、能量和角动量：1． 质点组的动量定理：体系由

各质点组成，第

a

个质点和第

b个质点

<

）之间的相互作用用势能

表示。该两点之间的距离为：势能：个人资料整理 仅限学习使用注意到克罗内克 函数的定义：因此：同理：个人资料整理 仅限学习使用因此：所以：牛顿第三定律！个人资料整理 仅限学习使用系统的总势能：右端第一式是对一方面保证了

a

和b都由，另一方面避免了对同一对质点

1到N求和，但要求a和b的相互作用势能重复计算两次。

，作用在a点合内力：个人资料整理 仅限学习使用作用在a点上的合外力：所以作用在a点上的合力：由拉格朗日方程：由广义动量和广义力的表达式：个人资料整理 仅限学习使用求和：因为：所以：个人资料整理 仅限学习使用所以：质点系的动量定理！若外场为零：，则

因此：

动量守恒！2． 动量和能量的变换：动量守恒和能量守恒的成立不依赖于参考系的选取，但是，在不同的参考系中，动量和能量所取的值不同。设参考系 相对于参考系 以速度 运动，用 和 分别表示第 a个质点相对于 和 的速度， 为质点系在 和 中的总动量，个人资料整理 仅限学习使用质点系的总动量在相互作匀速运动的坐标系之间的变换规则：若质点系不处于外场中，用 和 表示在 和 中的能量。个人资料整理 仅限学习使用如果 是质心系，则质点系在