平面向量的奔驰定理(解析版)

专题九平面向量的奔驰定理1．奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0．证明：如图，延长AP与BC边相交于点则D，eq\f(BD,DC)＝eq\f(S△ABD,S△ACD)＝eq\f(S△BPD,S△CPD)＝eq\f(S△ABD－S△BPD,S△ACD－S△CPD)＝eq\f(S△PAB,S△PAC)，∵eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(DC,BC)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(BD,BC)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\f(S△PAC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(S△PAB,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PC,\s\up6(→))，∵eq\f(PD,PA)＝eq\f(S△BPD,S△BPA)＝eq\f(S△CPD,S△CPA)eq\f(S△BPD＋S△CPD,S△BPA＋S△CPA)＝eq\f(S△PBC,S△PAC＋S△PAB)，∴eq\o(PD,\s\up6(→))＝－eq\f(S△PBC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PA,\s\up6(→))，即－eq\f(S△PBC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(S△PAC,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(S△PAB,S△PAC＋S△PAB)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0．由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一．推论：已知P为△ABC内一点，且xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))＋zeq\o(PC,\s\up6(→))＝0．(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)．则有(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|．(2)eq\f(S△PBC,S△ABC)＝|eq\f(x,x＋y＋z)|，eq\f(S△PAC,S△ABC)＝|eq\f(y,x＋y＋z)|，eq\f(S△PAB,S△ABC)＝|eq\f(z,x＋y＋z)|．【例题选讲】[例1](1)设点O在△ABC的内部，且有eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B．eq\f(5,3)C．2D．eq\f(3,2)答案A解析分别取AC、BC的中点D、E，∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，即2eq\o(OD,\s\up6(→))＝－4eq\o(OE,\s\up6(→))，∴O是DE的一个三等分点，∴eq\f(S△ABC,S△AOC)＝3．秒杀根据奔驰定理得，S△ABC∶S△AOC＝(1＋2＋3)∶2＝3．(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(S△BCD,S△ABD)等于()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)答案B解析如图，由点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC，S△ACD＝eq\f(1,3)S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,3)))S△ABC＝eq\f(1,6)S△ABC，所以eq\f(S△BCD,S△ABD)＝eq\f(1,3)．秒杀由eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))得，eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(DB,\s\up6(→))＋3eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理得，S△BCD∶S△ABD＝1∶3．(3)已知点A，B，C，P在同一平面内，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，则S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6答案B解析由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，∴－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理得，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4．(4)已知点P，Q在△ABC内，eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(QA,\s\up6(→))＋3eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,30)B．eq\f(1,31)C．eq\f(1,32)D．eq\f(1,33)答案A解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝eq\f(1,2)S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝eq\f(1,6)S△ABC，S△QBC＝eq\f(1,5)S△ABC，∴eq\f(|\o(PQ,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,30)．(5)点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()A．eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B．eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C．eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D．eq\f(2,9)，eq\f(1,9)答案A解析秒杀根据奔驰定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．(6)设点P在△ABC内且为△ABC的外心，∠BAC＝30°，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是________．答案eq\f(\r(3),3)解析根据奔驰定理得，eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2xeq\o(PB,\s\up6(→))＋2yeq\o(PC,\s\up6(→))，平方得eq\o(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq\o(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq\o(PC,\s\up6(→))2＋8xy|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，且∠BPC＝2∠BAC＝60°，所以x2＋y2＋xy＝eq\f(1,4)，(x＋y)2＝eq\f(1,4)＋xy≤eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，解得0<x＋y≤eq\f(\r(3),3)，当且仅当x＝y＝eq\f(\r(3),6)时取等号．所以(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3)．【对点训练】1．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．1．答案eq\f(1,2)解析设D为AC的中点，连接OD，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))．又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为eq\f(1,2)．秒杀由＋＝－2，得＋＋2＝0，根据奔驰定理得，△AOB与△AOC的面积之比为eq\f(1,2)．2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．2．答案4解析∵D为AB的中点，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴O为CD的中点．又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝eq\f(1,2)S△ADC＝eq\f(1,4)S△ABC，则eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4．秒杀因为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理得，eq\f(S△ABC,S△AOC)＝4．3．已知P，Q为△ABC中不同的两点，且3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，则S△PAB∶S△QAB为_____．3．答案1∶2解析因为3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以P在与BC平行的中位线上，且是该中位线上的一个三等分点，可得S△PAB＝eq\f(1,6)S△ABC，eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，可得Q是△ABC的重心，因此S△QAB＝eq\f(1,3)S△ABC，S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A．秒杀由3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，根据奔驰定理得，S△PAB∶S△ABC＝1∶6，S△QAB∶S△ABC＝1∶3＝2∶6，所以S△PAB∶S△QAB＝1∶2，故选A．4．已知D为△ABC的边AB的中点，M在DC上满足5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积比为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)4．答案C解析因为D是AB的中点，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))，因为5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，所以2eq\o(AM,\s\up7(→))－2eq\o(AD,\s\up7(→))＝3eq\o(AC,\s\up7(→))－3eq\o(AM,\s\up7(→))，即2eq\o(DM,\s\up7(→))＝3eq\o(MC,\s\up7(→))，所以5eq\o(DM,\s\up7(→))＝3eq\o(DM,\s\up7(→))＋3eq\o(MC,\s\up7(→))＝3eq\o(DC,\s\up7(→))，所以eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\f(3,5)eq\o(DC,\s\up7(→))，设h1，h2分别是△ABM，△ABC的AB边上的高，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×AB×h1,\f(1,2)×AB×h2)＝eq\f(h1,h2)＝eq\f(DM,DC)＝eq\f(|eq\o(DM,\s\up7(→))|,|eq\o(DC,\s\up7(→))|)＝eq\f(3,5)．秒杀由5eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→))，得eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＋3eq\o(CM,\s\up7(→))＝0，根据奔驰定理得，eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(3,5)．5．若M是△ABC内一点，且满足eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝4eq\o(BM,\s\up7(→))，则△ABM与△ACM的面积之比为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．25．答案A解析设AC的中点为D，则eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，于是2eq\o(BD,\s\up7(→))＝4eq\o(BM,\s\up7(→))，从而eq\o(BD,\s\up7(→))＝2eq\o(BM,\s\up7(→))，即M为BD的中点，于是eq\f(S△ABM,S△ACM)＝eq\f(S△ABM,2S△AMD)＝eq\f(BM,2MD)＝eq\f(1,2)．秒杀由eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝4eq\o(BM,\s\up7(→))，得eq\o(AM,\s\up7(→))＋2eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝0，根据奔驰定理得，eq\f(S△ABM,S△ACM)＝eq\f(1,2)．6．已知O是面积为4的△ABC内部一点，且有eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋2eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，则△AOC的面积为__________．6．答案1解析如图，设AC中点为M，BC中点为N．因为eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，所以2eq\o(OM,\s\up7(→))＋2eq\o(ON,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(ON,\s\up7(→))＝0，O为中位线MN的中点，所以S△AOC＝eq\f(1,2)S△ANC＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,4)×4＝1．秒杀根据奔驰定理得，S△OBC∶S△OAC∶S△OAB＝1∶1∶2．因为S△ABC＝4，所以S△AOC＝1．7．已知点D为△ABC所在平面上一点，且满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up6(→))，若△ACD的面积为1，则△ABD的面积为________．7．答案4解析由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up6(→))，得5eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋4eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝4(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，即eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,