高中数学3 3幂函数课件新人教版必修

§

3.3【学习要求】1.了解幂函数的概念.§

3.31会画幂函数y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x－1,y＝x

2

的图象.理解幂函数的性质.【学法指导】类比研究指数函数、对数函数的过程与方法,通过五个具体幂函数认识幂函数的图象与性质.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性,体验由特殊到一般、由具体到抽象的学习方法,进一步渗透数形结合与类比的思想方法.(α∈R)的函数称为幂函数,§

3.3幂函数的定义:一般地,形如y＝xα其中α

为常数.幂函数的性质:(1)所有的幂函数在

(0,＋∞)上都有定义,并且 图象都过点

(1,1);(2)若α>0,则幂函数的图象通过原点

,并且在区间[0,＋∞)

上是增函数.特别地,当α>1

时,幂函数的图象下凸;当0<α<1

时,幂函数的图象上凸;§

3.3(3)如果α<0,则幂函数在区间

(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当x

从右边趋向原点时,图象在y

轴右方无限地逼近y

轴正半轴,当x

趋于＋∞时,图象在x

轴上方无限地逼近x

轴正半轴.[问题情境]我们知道对于N＝ab,N

随b

的变化而变化,我们建立了指数函数y＝ax;如果a

一定,b

随N

的变化而变化,我们建立了对数函数y＝logax.设想:如果b

一定,N

随a

的变化而变化,是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题.探究点一

幂函数的概念问题

1

函数

y＝x,y＝x2,y1x＝分别是哪种类型的函数？§

3.3答

分别是一次函数,二次函数,反比例函数.§

3.3问题

2

这些函数的解析式结构有何共同特点？其一般形式如何？答

幂的底数是自变量,指数是常数,一般形式为

y＝xα.1问题

3

函数

y＝x,y＝x2,y＝x都是幂函数.怎样定义幂函数？答

幂函数的定义:一般地,形如

y＝xα

(α∈R)的函数叫做幂函数,其中

α

是常数.问题

4

判断一个函数是幂函数的标准是什么？答

幂函数与指数函数、对数函数的定义类似,只有满足函数解析式右边的系数为

1,底数为自变量

x,指数为一常数这2

3x2三个条件时,才是幂函数.如:y＝3x

,y＝(2x)

,y＝

4

都不是幂函数.x2例

1

在函数

y＝

1

,y＝2x2,y＝x2＋x,y＝1

中,幂函数的个数为A.0B.1

C.2

D.3§

3.3

1解析

∵y＝

2＝x－2,所以是幂函数;y＝2x2

由于出现系数

2,x(

B

)因此不是幂函数;y＝x2＋x是两项和的形式,不是幂函数;常函数y＝1

不是幂函数.小结

只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子,才是幂函数,否则就不是.跟踪训练1§

3.3解

由题意得,解得

,所以m＝－3,n＝23.为R

的幂函数,求m,n

的值.m2＋2m－2＝1m2－1≠02n－3＝02已知y＝(m2＋2m－2)xm

－1

＋2n－3

是定义域§

3.3探究点二 幂函数的图象和性质导引

为了研究幂函数的性质,如下图,在同一坐标系内作出函1数(1)y＝x;(2)y＝x

2

;(3)y＝x2;(4)y＝x－1;(5)y＝x3

的图象,思考下列问题:问题1你能从这五个具体的函数图象中,发现什么规律？§

3.3答(1)所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义,并且图象都过点

(1,1);若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,＋∞)上是增函数.特别地,当α>1

时,幂函数的图象下凸;当0<α<1

时,幂函数的图象上凸;如果α<0,则幂函数在区间(0,＋∞)上是减函数.在第一象限内,当x

从右边趋向原点时,图象在y

轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x

趋于＋∞时,图象在x

轴上方无限地逼近x

轴正半轴.§

3.3问题

3

你能把问题

2

中两个函数图象的关系推广到什么范围？答幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x

对称.问题

4

在第一象限,作直线

x＝a(a>1),它同各幂函数图象都相交,若按交点从下到上的顺序,对应的幂指数有什么规律？答

幂指数按从小到大的顺序排列.1问题

2

函数

y＝x2

与

y＝x

2

在第一象限的图象有什么关系？出现这种关系的原因是什么？1答

函数

y＝x2

与

y＝x

2

在第一象限的图象关于直线

y＝x

对1称,因为y＝x2

与y＝x

2

互为反函数.问题

5

仔细观察你画出的五个函数的图象,你能填写表格的内容吗？§

3.3y＝xy＝x2y＝x31y＝x

2y＝x－1定义域值域奇偶性单调性答§

3.3y＝xy＝x2y＝x31y＝x

2y＝x－1定义域RRR[0,＋∞){x|x≠0}值域R[0,＋∞)R[0,＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0,＋∞)上增在(－∞,0]上减增增在(0,＋∞)上减在(－∞,0)上减例

2

比较下列两个代数式的大小:1.5

1.5

2§

3.3解

(1)考察幂函数

y＝x1.5,在区间[0,＋∞)上是单调增函数.因为a＋1>a,所以(a＋1)1.5>a1.5.(2)考察幂函数y2

2小结比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点,指数相同底数不同时,要利用幂函数的单调性比较,底数相同而指数不同时,要利用指数函数的单调性比较,指数与底数都不同时要通过增加一个数起桥梁作用进行比较.－2(1)(a＋1)

,a

;(2)(2＋a

)

3

,2－23

.—2＝x

3,在区间2因为

2＋a

≥2,所以(2＋a

)

3

≤2－

－[0,＋∞)上是单调减函数.23

.跟踪训练2比较下列各组数的大小:1－3－3和(－2.5)

;9(3)(1.1)－0.1

和(1.2)－0.1;§

3.3

1

18

9又

>

,则

8>

9,从而－8

—7

7(1)－8

8和－

8;(2)(－2)－22

3(4)(4.1)

5

,(3.8)

3

和(－1.9)

5

.－71

7解

(1)－8

8＝－8

8,函数

y＝x78在(0,＋∞)上为增函数,81

7

1

78－71

78

<－9

8.§

3.3幂函数y＝x－3

在(－∞,0)和(0,＋∞)上为减函数,又∵－2>－2.5,∴(－2)－3<(－2.5)－3.幂函数y＝x－0.1

在(0,＋∞)上为减函数,又∵1.1<1.2,∴1.1－0.1>1.2－0.1.2(4)(4.1)

5

>1

5＝1;0<(3.8)2

－23－2<1

3

＝1;3

3(－1.9)

5

<0,∴(－1.9)

5

<(3.8)－223

<(4.1)

5

.§

3.332x

,定义域是实数集R.2例

3

讨论函数

y＝x

3

的定义域、奇偶性,作出它的图象.并根据图象说明函数的增减性.2解

函数

y＝x

3

＝21

1

2因为f(－x)＝(－x)3＝[(－x)2]3＝(x2)3＝x

3

,2所以函数y＝x

3

是偶函数.因此函数的图象关于y

轴对称.列出函数在[0,＋∞)上的对应值表:x01234…y011.592.082.52…作出这个函数在[0,＋∞)上的图象,再根据这个函数的图象关于y

轴对称,作出它在(－∞,0]上的图象,如图:由它的图象可以看出,

这个函数在区间(－∞,0]上是减函数,在区间[0,＋∞)上是增函数.§

3.3小结讨论幂函数的性质时,若幂函数的指数是分数的形式,一般把幂函数写成根式的形式,这样不仅容易求出函数的定义域、值域,也容易考察函数的奇偶性;画幂函数的图象,只需弄清楚幂函数在第一象限的图象,再借助于奇偶函数的图象性质,即可画出整个函数的图象.§

3.3跟踪训练

3

求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.§

3.352

1

4x3,其定义域为(0,＋∞),它既不是奇函数,也不是偶函数,它在(0,＋∞)上单调递减.(3)函数y＝x－2,即y＝

1

,其定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),是偶x2函数.它在区间(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减.23(1)y＝x

5

;(2)y＝x－

;(3)y＝x－2.42解

(1)函数

y＝x

5

,即

y＝

x

,其定义域为

R,是偶函数,它在—[0,＋∞)上单调递增,在(－∞,0]上单调递减.3(2)函数

y＝x

4

,即

y＝1.下列函数中不是幂函数的是A.y＝

xC.y＝2xB.y＝x3D.y＝x－1§

3.3解析根据幂函数的定义:形如y＝xα

的函数称为幂函数,选项C

中自变量x

的系数是2,不符合幂函数的定义,所以C

不是幂函数.(

C

)2.已知幂函数

f(x)＝xα

的图象经过点(2,

22

),则f(4)的值等于)A.16B.

116C.2D.12§

3.3解析

由f(x)＝xα

的图象经过点(2,

22

12

),得 ＝2α,所以α＝－2

212(

D－1则

f(4)＝4

2＝