江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含

常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅰ试题参照公式：1Sh，此中S是圆锥的底面积，h是高.圆锥的体积公式：V圆锥=3样本数据x1，x2，，xn的方差s21n2，此中x1nni1(xix)xi.ni1一、选择题：本大题共14个小题,每题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相．．．．应地点上．．．．.1.若会合A{2,0,1}，B{xx21}，则会合AIB▲.2命题“x[0,1]，x210”是▲命题（选填“真”或“假”）.3.若复数z知足z2i21（此中i为虚数单位），则z▲.z4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的均匀数为2017，则该组样本数据的方差为5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲.1D，随机地扔掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每6.函数f(x)的定义域记作会合lnx个面上分别标有点数1，2，，6），记骰子向上的点数为t，则事件“tD”的概率为▲.7.已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，获得的圆台体积是7，则该圆台的高为▲.8.各项均为正数的等比数列an中，若a2a3a4a2a3a4，则a3的最小值为▲.9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：xy10与双曲线C：x2y21(a0,b0)a2b2的两条渐近线都订交且交点都在y轴左边，则双曲线C的离心率e的取值范围是▲.xy0,10.已知实数x，y知足2xy20,则xy的取值范围是▲.x2y40,11.已知函数f(x)bxlnx，此中bR，若过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切，则kb的值为▲.12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数ysin(x)(0,0)的图像与x轴的交点A，B，C知足OAOC2OB，则▲.13.在ABC中，AB5，AC7，BC3，P为ABC内一点（含界限），若知足uuuruuuruuuruuuruuurBP1BABC(R)，则BABP的取值范围为▲．414.已知ABC中，ABAC3，ABC所在平面内存在点P使得PB2PC23PA23，则ABC面积的最大值为▲．二、解答题：本大题共6小题，合计90分.请在答题卡指定地区内作答，解答应．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，3bsinCccosB+c，（1）求角B；（2）若b2ac，求11的值.tanAtanC16.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC平面ABCD，PBPD，点Q是棱PC上异于P、C的一点.（1）求证：

BD

AC；（2）过点

Q和的

AD

平面截四棱锥获得截面

ADQF

（点

F

在棱

PB上），求证：

QF//BC

.17.已知小明（如图中

AB

所示）身高

1.8米，路灯

OM

高3.6米，

AB

，OM

均垂直于水平地面，分别与地面交于点

A，O.点光源从

M

发出，小明在地上的影子记作

AB'.（1）小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若OA3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，OAA1，且3AA110米.t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)（单位:米），求f(t)的表达式与最小值.18.如图，在平面直角坐标系x2y21(ab0)的右焦点为F，点A是xOy中，椭圆C：2b2a椭圆的左极点，过原点的直线MN与椭圆交于M，N两点（M在第三象限），与椭圆的右准线交于P点.已知AMuuuruuuur4b2MN，且OAOM.31C的离心率e；（）求椭圆（2）若SAMNSPOE10a，求椭圆C的标准方程.319.已知各项均为正数的无量数列{an}的前n项和为Sn，且知足a1a（此中a为常数），nSn1(n1)Snn(n1)(nN*).数列{bn}知足bnan2an21(nN*).anan1（1）证明数列{an}是等差数列，并求出{an}的通项公式；（2）若无量等比数列{cn}知足：对随意的nN*，数列{b}中总存在两个不一样的项b，nsb(s,tN*)使得bscnb，求{c}的公比q.ttn20.已知函数f(x)lnx，此中a为常数.(xa)2（1）若a0，求函数f(x)的极值；（2）若函数

f(x)

在(0,

a)上单一递加，务实数

a的取值范围；（3）若

a

1，设函数

f(x)在(0,1)上的极值点为

x0，求证：

f(x0)

2.常州市教育学会学业水平监测数学Ⅱ（附带题）21.【选做题】在A、B、C、D四小题只好选做两题，每题10分，合计20分.请．．．．．．在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.．．．．．．．A.选修4-1：几何证明选讲在ABC中，N是边AC上一点，且CN2AN，AB与NBC的外接圆相切，求BC的BN值.B.选修4-2：矩阵与变换42已知矩阵A不存在逆矩阵，求：11）实数a的值；（2）矩阵A的特点向量.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，成立极坐标系.C的参曲线x2cos1为参数），直线l的极坐标方程为sin()2，直线l与数方程为（y2sin4曲线C交于M，N两点，求MN的长.D.选修4-5：不等式选讲已知a0，b0，求证:a3b3ab.a2b2【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分.请在答题卡指定地区内作．．．．．．．答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按以下方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线订交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则0；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).（1）求P(0)的值；（2）求随机变量的散布列及数学希望E( ).23.记(x1)(x1)(x1)（n2且nN*）的睁开式中含x项的系数为Sn，含x22n项的系数为Tn.（1）求Sn；（2）若Tnan2bnc，对n2,3,4成立，务实数a,b,c的值；Sn（3）对（2）中的实数a,b,c用数字概括法证明：对随意n2且nN*，Tnan2bncSn都成立.常州市教育学会学业水平监测高三数学参照答案一、填空题1.{2}2.真3.14.25.756.67.38.39.(1,2)10.[2,8]11.13e12.413.[5,25]14.5238416二、解答题15.解：（1）3bsinCcosBc由正弦定理得3sinBsinCcosBsinCsinC，ABC中，sinC0，所以3sinBcosB1s，所以sin(B)1B5，6，6266B6，所以B；63（2）由于b2ac，由正弦定理得sin2BsinAsinC，11cosAcosCcosAsinCsinAcosCsin(AC)sin(B)tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinBsinAsinC11sinB1123所以，tanAtanCsin2BsinB33.216.（1）证明：PC平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPC，记AC，BD交于点O，平行四边形对角线相互均分，则O为BD的中点，又PBD中，PBPD，所以BDOP，又PCIOPP，PC，OP平面PAC，所以BD平面PAC，又AC平面PAC所以BDAC；（2）四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC，又AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD//平面PBC，又AD平面ADQF，平面ADQFI平面PBCQF，所以AD//QF，又AD//BC，所以QF//BC.17.解：（1AB'AB1.813，所以OB'6）由题意AB//OM，则OM3.6，OA，OB'2小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为623227（平方米）；（2）经过t秒，小明走到了A0B0'AB1A0处，身影为A0B0'，由(1)知OB0OM，所以2f(t)A0B0'OA0OA2AA022OAAA0cosOAA0.32273化简得f(t)t23t9，0t10，f(t)t，当t时，f(t)的最小224值为33.2答：f(t)t23t9，0t3f(t)的最小值为33（米）.10，当t（秒）时，22x2y21c218.解：（1）由题意a2b2，消去y得x2axb20，解得x1a，aaa2(x2y2(2))22ab2x2c2所以xMab2(a,0)uuuruuuurxMxAab2a42c233；c2，OAOMc2b，a2，所以e342（2）由（1）M(2b,22b)，右准线方程为x43b，333直线MN的方程为y2x，所以P(43b,46b)，33SPOF1OFyP3b46b22b2223SAMN2SAOMOAyM2b22b42b2，33所以22b242b210a，102b220b，所以b2，a223333椭圆C的标准方程为x2y21.8219.解：（1）方法一：由于nSn1(n1)Snn(n1)①，所以(n1)Sn2(n2)Sn1(n1)(n2)②，由②-①得，(n+1)Sn2nSn1(n2)Sn1(n1)Sn2(n1)，即(n1)Sn2(2n2)Sn1(n1)Sn2(n1)，又n10，则Sn22Sn1Sn2，即an2an12.在nSn1(n1)Snn(n1)中令n1得，a1a22a12，即a2a12.综上，对随意nN*，都有an1an2，故数列{an}是以2为公差的等差数列.又a1a，则an2n2a.方法二：由于nSn1(n1)Snn(n1)，所以Sn1Sn1，又S1a1a，n1nSn则数列是以a为首项，1为公差的等差数列，n所以Snn1a，即Snn2(a1)n.n当n2时，anSnSn12n2a，又a1a也切合上式，故an2n2a(nN*).故对随意nN*，都有aan2，即数列{a}是以2为公差的等差数列.n1n（2）令enan112，则数列{en}是递减数列，所以1en2an2a1.2na观察函数yx11)，由于y'11x210，所以yx1(1,)上递加，(xx2x2在xx所以2en124，进而bnen14.ena(a2)en2,2a(a2)由于对随意nN*，总存在数列{bn}中的两个不一样项bs，bt，使得bscnbt，所以对随意的nN*都有cn2,24，显然q0.2)a(a若q1，当n1logq12时，a(a2)有cnc1qn12qn1242)，不切合题意，舍去；a(a若0q1，当n1logqa22a时，a22a2有cnc1qn124qn12，不切合题意，舍去；a(a2)故q1.20.解：（1）当a0时，f(x)lnx)，x，定义域为(0,12lnxf'(x)0，得xe.x3，令f'(x)x(0,e)e(e,)f(x)0f'(x)Z1]极大值2e当xe时，f(x)的极大值为1，无极小值.2e（2）1a2lnx，由题意f'(x)0对x(0,a)恒成立.f'(x)xa)3(xQx(0,a)，(xa)30，a2lnx0对x(0,a)恒成立，1xa2xlnxx对x(0,a)恒成立.令g(x)2xlnxx，x(0,a)，则g'(x)2lnx1，11①若0ae2，即0ae2，则g'(x)2lnx10对x(0,a)恒成立，g(x)2xlnxx在(0,a)上单一递减，则a②若当01

2(a)ln(a)(a)，0ln(a)，a1与1ae2矛盾，舍去；111ae2，即ae2，令g'(x)2lnx10，得xe2，1xe2时，g'(x)2lnx10，g(x)2xlnxx单一递减，当e2xa时，g'(x)2lnx10，g(x)2xlnxx单一递加，111111g(e2)2e2ln(e2)e22e2当xe2时，[g(x)]min，11a2e2.综上a2e2.3a1时，f(x)lnxx12xlnx（）当(x2f'(x)x(x3，1)1)令h(x)x12xlnx，x(0,1)，则h'(x)12(lnx1)2lnx1，令h'(x)0，得1xe2，11时，h'(x)1①当e2x0，h(x)x12xlnx单一递减，h(x)(0,2e21]，f'(x)x12xlnx0恒成立，f(x)lnx132单一递减，且f(x)f(e2).x(x1)(x1)1②当0xe2时，h'(x)0，h(x)x12xlnx单一递加，11111h(e2)e212e2ln(e2)2e210又h(e2)e212e2ln(e2)510，e21存在独一x0(0,e2)，使得h(x0)0，f'(x0)0，当0xx0时，f'(x0)0，f(x)lnx单一递加，(x1)21f'(x0)0f(x)lnx2单一递减，且1当x0xe2时，，(xf(x)f(e2)，1)由①和②可知，f(x)lnx2在(0,x0)单一递加，在(x0,1)上单一递减，(x1)当xx0时，f(x)lnx取极大值.(x1)2Qh(x0)x012x0lnx00，lnx0x01，2x0f(x0)lnx0112x0(x01)11，22(x02(x01))22又x0(0,2e2)，2(x01)21(1,0)，f(x0)112.12222(x0)22常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附带题）参照答案.NBC外接圆为O，AB、AC分别是圆O的切线和割线，所以AB2ANAC，解：记又AA，所以ABN与ACB相像，所以BCABAC，所以BNANABBC2ACACBCAB3，BNANABAN3.BN42B.解：（1）由题意0，即42a0，解得a2；a1（2）420，即(4)(1)40，所以250，解得10，25210时，4x2y02x，属于0的一个特点向量为112xy，y1；025时，x2y02y，属于0的一个特点向量为222x4y，x1.01解：曲线C：(x1)2y24，直线l：xy20，圆心C(1,0)到直线l的距离为C.d1022MN2r2d224114.1212，所以弦长22D.证明：a0，b0，不如设ab0，则5511a2b2，a2b2，由排序不等式得51