五年级奥数蝴蝶模型

五年级奥数蝴蝶模型

本文介绍了蝴蝶模型和四边形模型，以及它们的比例关系。蝴蝶定理可以用来解决不规则四边形的面积问题，同时也能得到对角线的比例关系。梯形蝴蝶定理则适用于梯形，可以得到梯形内部的比例关系。例1中，给出了一个四边形的面积和两个小三角形的面积，要求求出最大的一个三角形的面积。例2中，给出了一个四边形被对角线分成四个部分的面积，要求求出人工湖的面积。例3中，给出了一个四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，要求求出另外一个三角形的面积和AG:GC的比值。例4中，给出了一张图，要求求出阴影三角形的面积。【巩固】中的例题也是类似的，需要根据给出的条件求出未知量的值。【巩固】如图，每个小正方形的边长都是1，求三角形ABC的面积。解析：由图可知，三角形ABC的底边为3，高为2，因此面积为3。【例5】如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积。解析：连接AE和EG，由题意可知，AE=AD=1，BE=2EC，CF=FD，因此CE=1/3，DF=2/3。又因为AE和EG是对角线，所以AE=EG=√2。因此，三角形AEG的底为√2，高为1/3，面积为2/3。【巩固】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方形ABCD的面积。解析：连接AF和DE，由题意可知，BE:EC=2:3，DF:FC=1:2，因此CE=3/5，BE=2/5，FC=2/3，DF=1/3。又因为AF和DE是对角线，所以AF=DE=√(BE^2+CE^2)=√(4/25+9/25)=√(13/25)。因此，长方形ABCD的面积为AF×DE=√13。【例6】正六边形面积为2009平方厘米，B1~B6分别是正六边形各边的中点，求阴影六边形的面积。解析：由正六边形的性质可知，B1B2B3B4B5B6是一个正六边形，其面积为2009/2=1004.5平方厘米。又因为B1B2B6B5和B3B4B6B5都是等腰三角形，所以B1B5=B2B6=√(2009/2)/2，B5B6=B1B2=√(2009/2)/2。因此，阴影六边形的面积为B1B5×B5B6=2009/8。【巩固】如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点。如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为。解析：连接AC和BD，由题意可知，△ASM的面积为6，因此△ACM的面积为12。同理，△BDN的面积为8，因此△BCN的面积为16。因此，四边形ABCD的面积为AC+BD=12+16=28。【例7】已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米。则阴影部分的面积是多少？解析：连接AC和BD，由题意可知，BC:CE=3:2，因此CE=2/5，BC=3/5。又因为ODE和OAB是相似三角形，所以AB:OD=BC:DE=3:2，因此AB=3/2OD。又因为ABCD是平行四边形，所以DE=BC=3/5AD，因此OD=2/5AD。因此，ODE的面积为6=1/2OD×DE，所以AD=10。因此，阴影部分的面积为AD×BC-ODE的面积=3×10-6=24。【巩固】正方形ABCD边长为6厘米，AE=AC，CF=BC。三角形DEF的面积为4平方厘米。解析：连接AF和DE，由题意可知，AE=AC，CF=BC，因此AE=EF=FC=CD=6/2=3。又因为AF和DE是对角线，所以AF=DE=√(AE^2+AD^2)=√(3^2+6^2)=3√5。因此，三角形DEF的底为3√5，高为8/3，面积为32/3。【例8】如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是多少？解析：连接AD和BC，由题意可知，△AOB的面积为25，△BOC的面积为35，因此AO:OC=5:7，BO:OD=5:7。又因为AD和BC是对角线，所以AD=BC=√(AO^2+OD^2)=√(5^2+7^2)=√74。因此，梯形ABCD的面积为(AB+CD)×AD/2=(5+7)×√74/2=6√74。【巩固】如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5，CD=3，且梯形ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积。解析：连接AD和BC，由题意可知，AB=5，CD=3，因此AD=BC=4。又因为ABCD是梯形，所以AB+CD=AD，因此AB=2，CD=2。因此，三角形OAB的底为2，高为4/3，面积为16/3。【例9】梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三角形BOC面积的2/3，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比。解析：连接AD和BC，由题意可知，ABO的面积为2/3BOC的面积，因此AO:OC=√(2/3):1。又因为AB∥CD，所以三角形AOD与三角形BOC相似，因此AOD:BOC=AO^2:OC^2=2/3:1。因此，三角形AOD与三角形BOC的面积之比为2:3。【随练1】已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89、28、26，求三角形DBE的面积。【随练2】已知梯形ABCD和平行四边形ABED，阴影部分的面积为21平方厘米，求三角形BEC的面积。【作业1】已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF中点，求三角形BDG的面积。【作业2】在三角形ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，且三角形AOM、三角形ABO和三角形BON的面积分别为3、2、1，求三角形MNC的面积。【作业3】在梯形ABCD中，上底长为5厘米，下底长为10厘米，且三角形BOC的面积为20平方厘米，求梯形ABCD的面积。【作业4】已知一个长方形被一些直线分成若干个小块，三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积