第一章3 1不等式性质新北师大版2019高中数学必修第一册课件共

3.1

不等式的性质成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大483122854联系微信fjmath加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更激趣诱思知识点拨某商场换季促销,降价的方案有两种:一是商品8折后再6折销售,二是商品7折后再7折销售.作为消费者,你希望商场采用哪一种方案呢?𝑎+𝑏若将降价的方案改为:一是商品a

折后再b

折销售,二是商品2𝑎+𝑏折后再

2

折销售.你希望商场采用哪一种方案呢?激趣诱思

知识点拨一、实数的大小比较比较实数a,b大小的依据微练习若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是它们的差(a-b)与0x2-1>2x-5

.解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.激趣诱思

知识点拨二、不等式的性质名称表达式性质1(传递性)如果a>b,且b>c,那么a>c.性质2(可加性)如果a>b,那么a+c>b+c.性质3(乘法法则)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc.性质4(同向不等式可加性)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性质5(不等式的可乘性)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.乘方法则:当a>b>0

时,an>bn,其中n∈N+,n≥2.性质6(开方法则)当a>b>0

时,>,其中n∈N+,n≥2.激趣诱思

知识点拨名师点析1.注意“等式”与“不等式”的异同,如:等式不等式说明a=b⇔b=aa>b⇔b<a改变不等式方向a=b⇔ac=bc(c≠0)a>b⇒ac>bc

或ac<bc(c≠0)讨论c

的符号要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况.由性质2,可得a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b.即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.称为移项法则,在解不等式时经常用到.倒数法则:如果a>b,ab>0,那么1

<1.a

b结论成立的条件是a、b要同号.)激趣诱思

知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.((2)同向不等式具有可加性和可乘性.(

)(3)若两个数的比值大于1,则分子上的数就大于分母上的数.()(4)当

x>-3

时,一定有1<-1.(

)x

3(5)若

a>b,则1

<

1.(

)a

b答案:

(1)×

(2)×

(3)×(4)×(5)×激趣诱思知识点拨)微练习若a>b,则下列各式正确的是(A.a-2>b-2B.2-a>2-bC.-2a>-2bD.a2>b2答案:A解析:因为a>b,所以a-2>b-2,2-a<2-b,-2a<-2b,故A正确,B、C错误;又取a=0,b=-1时,a>b,但a2<b2,D错误,故选A.探究一探究二素养形成当堂检测实数大小的比较例1比较下列各组中的两个代数式的大小:(1)2x2+3与x+2,x∈R;

3

(2)a+2

与

,a∈R,且

a≠1.1-𝑎分析利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨论.解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2ቀ𝑥-1ቁ48

82+7

≥7>0,所以2x2+3>x+2.(2)(a+2)-

3

=(𝑎+2)(1-𝑎)-3

=-𝑎

2

-𝑎-1

=𝑎

2

+𝑎+1.由于a2+a+1=1-𝑎

1-𝑎 1-𝑎 𝑎-1ቀ𝑎

+

1ቁ2

4

42+

3

≥

3>0,所以当a>1

时,𝑎2

+𝑎+1>0,即a+2>

3

;𝑎-1

1-𝑎当a<1

时,𝑎

2

+𝑎+1<0,即a+2<

3

.𝑎-1

1-𝑎探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟用作差法比较实数大小的步骤作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.探究一探究二素养形成当堂检测𝑎2+𝑎+1变式训练

1

若

a∈R,p=a2-a+1,q=

1

,比较

p

与

q

的大小.故p-q≥0,即p≥q,当且仅当a=0时,等号成立.探究一探究二素养形成当堂检测不等式基本性质的应用1.应用不等式性质判断命题真假例2对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确:(1)若a>b,则ac2>bc2;(2)若a<b<0,则a2>ab>b2;

𝑎(3)若c>a>b>0,则𝑐-𝑎 𝑐-𝑏>

𝑏

;(4)若a>b,1

>1,则a>0,b<0;𝑎

𝑏(5)若a<b<0,则𝑎

𝑏𝑏

>

𝑎.分析判断这些结论是否正确,可以根据实数的基本性质、实数运算的符号法则以及不等式的基本性质,经过合理的逻辑推理即可.探究一探究二素养形成当堂检测解:(1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误.𝑎

<

0,(2)由ቄ𝑎

<

𝑏,可得

a2>ab.因为

𝑎

<

𝑏,

ab>b2,从而有

a2>ab>b2.൜𝑏<0

所以故该结论正确.𝑐-𝑎(3)由a>b>0,可得-a<-b<0.因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此

1

>

1

>0,于是

𝑎

>

𝑏

.故该结论正确.𝑐-𝑏 𝑐-𝑎 𝑐-𝑏𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎𝑏(4)由1

>1,可知1

−1

=𝑏-𝑎

>0.因为a>b,所以b-a<0,且ab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0.故该结论正确.(5)依题意取a=-2,b=-1,则𝑏

=1

,𝑎

=2,显然𝑏

<𝑎

.故该结论错误.𝑎

2

𝑏

𝑎

𝑏探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法.2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒1

<1,不能误认为是𝑎

𝑏a>b⇒1

<1,在应用时不能出错.𝑎

𝑏探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是(

)𝑎

𝑎

𝑐A.𝑐

<

𝑏

B.𝑏-𝑎>02C.𝑏

<

𝑎2𝑎𝑐D.𝑎-𝑐<0𝑐

𝑐答案:C解析:因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0.于是𝑐

<𝑏

,𝑏-𝑎

>0,𝑎-𝑐<0,但𝑎

𝑎

𝑐

𝑎𝑐b2与a2

的大小关系不确定,故𝑏

2

<𝑎

2

不一定成立.𝑐

𝑐探究一探究二素养形成当堂检测2.应用不等式性质证明不等式例

3

若

a>b>0,c<d<0,e<0,求证:

𝑒

>

𝑒

.(𝑎-𝑐)2

(𝑏-𝑑)2证明:方法一𝑒

𝑒 𝑒[(𝑏-𝑑)2

-(𝑎-𝑐)2

](𝑎-𝑐)2

(𝑏-𝑑)2=

(𝑎-𝑐)2

(𝑏-𝑑)2=𝑒(𝑏-𝑑+𝑎-𝑐)(𝑏-𝑑-𝑎+𝑐)=𝑒[(𝑎+𝑏)-(𝑐+𝑑)][(𝑏-𝑎)+(𝑐-𝑑)].(𝑎-𝑐)2

(𝑏-𝑑)2

(𝑎-𝑐)2

(𝑏-𝑑)2∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0.∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0.∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0.又(a-c)2(b-d)2>0,探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证.2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明.∴

𝑒

− 𝑒(𝑎-𝑐)2

(𝑏-𝑑)2>0,即

𝑒

> 𝑒(𝑏-𝑑)2.(𝑎-𝑐)2方法二𝑎

>

𝑏

>

0𝑐

<

𝑑

<

0⇒-𝑐

>

-𝑑

>

0ൠ⇒a-c>b-d>0⇒(a-c)2>(b-d)2>0⇒<1

1(𝑎-𝑐)2(𝑏-𝑑)2𝑒

<

0ቋ

⇒2𝑒

𝑒(𝑎-𝑐

) (𝑏-𝑑)>

2.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练3

已知a,b,x,y

都是正数,𝑎

𝑏

𝑥+𝑎

𝑦+𝑏1

1

𝑥

𝑦 且

>

,x>y,求证:

>

.证明:∵a,b,x,y

都是正数,且1

>1,x>y,𝑎

𝑏∴𝑥

>

𝑦

,∴𝑎

<

𝑏

,𝑎

𝑏

𝑥

𝑦𝑥

𝑦

𝑥

𝑦故𝑎+1<𝑏

+1,即0<𝑥+𝑎

<𝑦+𝑏,𝑥+𝑎∴

𝑥

> 𝑦𝑦+𝑏.探究一探究二素养形成当堂检测3.利用不等式性质求取值范围𝑎2例4

如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b,𝑏

的取值范围.分析先根据

a,b

的取值范围得出

3a,-2b,

1

的取值范围,再根据同等𝑎2向不等式的可加性与同正向不等式的可乘性分别求出a+b,3a-2b,𝑏𝑎2的取值范围.解:因为3<a<7,1<b<10,所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17.又因为9<3a<21,-20<-2b<-2,所以-11<3a-2b<19.因为9<a2<49,𝑎

249

9<1,于是1𝑎

249

9所以

1

<

1

<

𝑏

<

10.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练4已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.解:设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,𝑥

+

4𝑦

=

9,∴൜𝑥+𝑦=1,

解得ቐ𝑥

=

-

5

,38𝑦

=

3

,3

3即9a-b=-5(a-b)+8(4a-b).∵-4≤a-b≤-1,3

3

3∴5≤-5(a-b)≤20.3

3

3∵-1≤4a-b≤5,∴-8

≤

8(4a-b)≤40.①②3由①②得,-1≤-5(a-b)+8(4a-b)≤20,3即-1≤9a-b≤20.探究一探究二素养形成当堂检测一题多解——应用不等式性质求范围典例若1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.解:方法一(待定系数法)设4a-2b=m(a-b)+n(a+b),则4a-2b=(m+n)a+(-m+n)b,𝑚

+

𝑛

=

4,所以൜解得ቄ𝑚

=

3,-𝑚

+

𝑛

=

-2,

𝑛

=

1.所以4a-2b=3(a-b)+(a+b).因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.又2≤a+b≤4,所以5≤3(a-b)+(a+b)≤10.即5≤4a-2b≤10.探究一探究二素养形成当堂检测方法二(换元法)设൜𝑚=

𝑎-𝑏,𝑛

=

𝑎

+

𝑏,则a=𝑚+𝑛,b=𝑛-𝑚.2

2所以4a-2b=2(m+n)-(n-m)=3m+n,而1≤m≤2,所以3≤3m≤6,又2≤n≤4,所以5≤3m+n≤10,即5≤4a-2b≤10.探究一探究二素养形成当堂检测点评本题在解题中若由题意得൜1

≤

𝑎-𝑏

≤

2,2

≤

𝑎

+

𝑏

≤

4,3

≤

𝑎

≤

3,0

≤

𝑏

≤

2

,则ቐ2

3

即求出a与b的取值范围,再求4a-2b的取值范围,得3≤4a-2b≤12,则会导致取值范围的扩大.这是因为变量a,b并不是相互独立的关系,而是由不等式组决定的相互制约的关系,a取最大(小)值时,b并不能同时取得最小(大)值.解题时应将条件视为一个整体,并用其表示所求范围的量,同时注意取等号的条件是否具备.切不可利用不等式