考点19平面向量基本定理及坐标表示备战2020年高考数学一轮复习导练案纸间书屋

考点 λ2，使a1e12e2.e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分a=（x，yay轴上的坐标.A1，1，（2y2a=（1y1b=x2y2x2 (x+x)x2 (x+x)2+(y+y a=（1y1b=x2y2ab，作OA=aOB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）ab的夹角.如果向ab90°aba⊥b.选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.典例 试用向量a，b表 过点MEFACBDEF.记OEaOFb13 定值（1）AMD三点共线，可设OMmOA1mODma1mb2BMC三点共线，可设OMnOC1nOBna1nb4m1 ∴ ，解得m ，n 1m1 ∴OM

a b （2）EMF三点共线，设OMkOE1kOFka1kb 由（1）知k ∴17k，377k 137，为定值 合理设出向量，列出方程组求解是解答本题的关键，同时要熟记向量的基本概念和基本的运算是解答如图，在△ABCDEACABADDCAE2EBBDCEPABaACb1a1 B．1a1 C．1a1 D．1a1 典例 𝜆⃗⃗⃗⃗⃗𝜆)⃗⃗⃗ 【答案】【解析】∵∠𝐴𝑂𝐶45∘，∴设𝐶(𝑥𝑥)，则=(𝑥𝜆⃗⃗⃗⃗𝜆)⃗⃗⃗x所以x2

25典例 （1）求3ab3c（2）求满足ambnc的实数mn（1）由已知得a55)b63)c1,8则3ab3c6mn∴3m8n5mnA32按向量a14B，若OB2BC（O为坐标原点，则CA． B．1 D．1,1 2（平行）R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a“若a(x1,y1，bx2,y2，则a∥bx1y2x2y1”解题比较方便．典例4 ，⃗⃗⃗=2e1+e2，=−e1+λe2，λ的值e1=(2,1),e2=(2,−2),求的坐标（=+∵A,E,C三点共线=ke1+(1+λ)e2=k(−2e1+e2)，∴1+2k=0k1,λ=−3 λ的值为−323,⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗+⃗⃗故的坐标为,∴⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗A(x,y)，则=(3−x,5−y).,⃗⃗∴∴5y

x,解得y7A的坐标为 2

2

D．

4, 3 B．(2, D．(2,已知向量ab31b12，若向量2amb与向量ab平行，则实数m 在△ABCDABDA2BD，设CABb，则CD1a2 B．2a1 C．1a2 D．2a1 ，已知向量a bm,2m3平面上任意向量c都可以唯一地表示为cab,，则实数m0,0,C．, 3,

Rt△ABCAB1AC2D△ABC内一点，且DAB60，设ADABACR23

33 D．3 已知向量am,2m1，b1,2，若a∥b，则4a2b 已知向量ax,2，b1,1，若abab，则x的值 𝑡⃗⃗⃗ A24B31,C34ABaBCb,CAc若ambnc，求实数mn若CN2b,CM3cMN的坐标ABCDCM2CBNAM上一点，且CNuCA4CB 求实数u记aCA，bCB，试用a,b表示向量AM，DM sin若a∥b13cos2

ab0π，求的值1．（2016新课标 Ⅱ理科）已知向量a(1,m)，b=(3,2)，且(a+b)b，则m= 2．（2017新课标Ⅲ理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.APABAD，则的最大值为2 25 5 Ⅲ理科）已知向量a=1,2，b=2,2，c=1,λ．若c∥2a+b，则 24．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 ，OA与OC的2 的夹角为45°若OCmOAnOB(m,nR)则mn 【答案】APxaybAPxAB2yADAP2

BPDx2y同理由CPE3xy1.2 所以x ，y AP

a b 【答案】B4,6，设Cxy，则OB46BCx4y6

x又OB2BC，所以62y6，解得y3 所以C【答案】=（1，2）+（0，2）=（1，4(a2b)∥c，∴k=−8．B．【名师点睛】本题考查用向量坐标来表示两个向量平行的关系.解本题时，先求出a2b(a2b)∥cD．2Ce3e，向量ee 5 D，向量e1e2不共线，可作为基底.D．Dxy，则CDxy12AB22x即y1

则2amb8m62m，向量2amb与向量ab平行，∴18m362m0，得m2，D．【解析】在△CAD

CA

DA2BD，所以ABCBCA

CA

3 所以

CA

ABCA (CBCA) CA CB a b A．c都可以唯一地表示为cab则向量a，b不共线，由a1,3，bm,2m3得2m33m，解得m3，即实数m的取值范围是,3 3,．故选C．AABxACy（1，0，C（0，2，因为∠，则ADABAC 3m2 2所以 3B、C点坐标，由于∠DAB=60°D点坐标为（m，3mλμ．2【答案】2PAPBPC0P为△ABCOP2故P的坐标为123,123，即2,2OP2 5【答案】5

4a2b364a2b

32325

25故答案为 5ab6

x 【解析】由题意知，𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝐵𝑃=𝐴𝐵𝑚𝐵𝑁=𝐴𝐵𝑚(𝐴𝑁−𝐴𝐵)=𝑚𝐴𝑁+(1 2

2

又𝐴𝑁=

𝑁𝐶，所以𝐴𝑁=3

𝐴𝐶，∴𝐴𝑃5

𝑚𝐴𝐶5 1

1−𝑚= 又𝐴𝑃=t𝐴𝐵+𝐴𝐶，所以3

2𝑚=

m=，t= 6（1）由题得abc0,abc，又bcambnc，所以由平面向量的基本定理得mnMNCNCM2b3c9（1）因为CM2CB3所以CB3CM2所以CNuCA4CBuCA43CMuCA6CM7AMN所以u61，171所以u 7

（2）AMCMCA3CBCA3baDMDAAMCBAMb2bDMDAAMCBAM DNCACB1CA4CBCADN （1）因为a∥b，所以2sincos2sin，于是4sincos当cos0sin0，与sin2故tan14

，所以cos0sin

sin

13cos2

sin24cos2tan2

（2）absin2cos2sin)25即14sincos4sin25，从而2sin22(1cos24，即sin2cos2于是sin2π 2 4 又由0ππ2π9π 所以2π5π或2π7π 因此π或3π 【解析】ab4m2，由(a+b)b得43(m2)(2)0，解得m8【名师点睛】已知非零向量ax1y1bx2y2模|a|＝aa x2y cosaacos x2y2 x2y a⊥bab25易得圆的半径r ，即圆C的方程是x22y24255APxy1AB01AD20APABx 则y1

， ,1y，所以 y zxy1xy1z0Pxy在圆x22y24 14所以圆心(2,0