给臻第2节随机概率

邮箱：密码：gailv123第二节

随机事件的概率频数→频率→概率一、概率的统计定义定义1进行n次重复试验，记r

为事件A出现的次数为事件A的频率.nn(频数)，称

f

(A)=

r频率具有如下性质0

£

fn

(

A)

£1f

n

(W

)

=

11非负性2规范性3有限可加性若A1,A2

,

An是一组两两互不相容的事件，n

k则

fn

(

Ai

)

=

fn

(

Ai

)i=1

i=1抛硬币实验A

={出现正面H

}f

(

A)

=

0.5069nn＝4040n

=

24000f

n

(

A)

=

0.5005nnnf

(H

)

=

r试验者德摩根蒲丰K．皮尔逊

K．皮尔逊

罗曼诺夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923m数次数出现正面的试验出次现正面的频率(A

)常常会不一样f当

n

不同时，得到的n这表明频率具有一定的随机波动性.随着试验次数n的增大，fn(A)总是围绕在0.5上下波动，且逐渐稳定于0.5，这表明频率具有相对的稳定性。对于可重复进行的试验，当试验次数n逐渐增大时，事件A

的频率

f

n

(

A)

都逐渐稳定于某个常

数

p

，呈现出“稳定性”。这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性。因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值p,记做P(A)。概率的统计（通俗）定义描述如下：定义１：在相同条件下重复进行次试验，如果当n增大时，事件的频率稳定地在某一常数附近摆动，且一般来说，n越大，摆动幅度越小，则称常数p为事件发生的概率，记作

P(

A),

即

P(

A)

=

p

。概率的统计定义也具有如下性质0

£

P(

A)

£

1P(W

)

=

1若A1

,A2

,

An两两互斥，非负性规范性有限可加性n

k则

P(

Ai

)

=

P(

Ai

)i

=1

i

=1注：1、概率是事件的本质，不随频率大小而改变。

2、判断：概率是频率的极限。（错）二、古典概型具有以下两个特点的随机试验称为等可能概型。样本空间含有有限个基本事件，即W

={

w1

,

w

2

,

,

w

n

}每个基本事件发生的可能性相同，即P({w

1})

=

P({w

2

})

=

=

P({w

n

})由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型。in经过简单证明可知，P

({w

})=1例：抛掷一枚均匀的硬币，可能出现正面与反面两种结果，且这两种结果出现的可能性是相同的，都是1/2例：十个号码分别为1,2,…,10，从中任取一个，每个号码被取到的概率均为1/10。注意：以上1/n计算的均为基本事件的概率，计算普通事件的概率才是古典概型的重点。定义设一古典概型的样本空间Ω包含n个基本事件，若事件A包含m个基本事件，则A的概率P(A)定义为(2)

规范性：P(W

)

=1n

m(3)

有限可加性：P(

Ai

)=

P(Ai

)（Ai两两互不相容）i=1

i=1W

中基本事件总数由以上可得古典概率P(·)的性质：(1)

非负性：0

£

P(A)£1P(A)=A包含的基本事件数=n

(An

(W

)n=

m排列组合公式：从n

个不同元素中任取r

个，求取法数.nrn!(n

-

r)!重复排列(有放回抽取)：

选排列（无放回抽取）：nAr

==

n(n

-1)......(n

-

r

+1)

=

C

r

r

!r组合（一次性抽取）：Cn=

n

r

Arnn!

==

n

r

!(n

-

r)!

r

!全排列：nAn

=

n!加法原理完成某件事情有n

类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理完成某件事情需先后分成n个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2

种方法，依次类推，第n步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.5A

2

= 5

?

4

20基本事件总数为

A

2

= 8

?

7

568A

中包含的基本事件数为例（取球问题）（球是可辨的）袋中装有5只白球3只黑球，分别按下述方式抽取2只：（1）无放回抽取；（2）有放回抽取；（3）一次任取2只．设A=“所取两只均为白球”,求P(A)．解 (1)

无放回抽取820

556

14A

2A

2\

P

(A)

= 5

==（2）有放回抽取基本事件总数为82=

64A

中包含的基本事件数为52=

252552=

64\

P(A)

=

82（3）一次任取2只基本事件总数为A

中包含的基本事件数为28

1410

5C28C2==\

P(A)

=

5C28=

28C25=

10考虑：（1）所取两球为一白一黑的概率（2）至少有一只球是黑球的概率注意：“无放回抽取”与“一次性抽取”是等价（效）抽取。指定的n

个盒子中各有一球的概率；恰好有

n

个盒子中各有一球的概率

；(3)

指定的一个盒子中恰有m

个球的概率例：将n个球随机地放入N

(

N

‡

n个)

盒子中去，设盒子的容量不限，试求解将n

个球放入N个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入N

个盒子中的任一个盒子，故共有N

·

N

··

N

=

N

nN

n1P

=

n!种不同的方法。(1)指定的n个盒子中各有一只球,其可能总数为n个球的全排列n!,于是法原理，共有 种放法，因此所求概率为Nn个盒子可以有Cn种不同的选法。对选定的n

个盒子，每个盒子各有一个球的放法有n

!种。由乘Nn

!

CnN

nn!C

nP3

=

N

（2）恰好有n

个盒子中各有一球的概率Cm从ｎ个球中任选m个球共有种不同的方法4

n

N

nC

m

(N

-

1)n

-

mP

=n剩余的ｎ－ｍ只球落入其余盒子中有(N

-1)n-m种不同的方法，故(3)

指定的一个盒子中恰有m

个球的概率的任何一间去住（Ｍ≤Ｎ），求下列事件的概率：上述问题可以总结为住房问题：例：设有Ｍ个人，每个人都等可能地被分配Ｎ个房间中MN⑴指定的Ｍ个房间各住一人；

M

!

AMN

M

N

M

CM

M

!

N

=

N

⑵恰有Ｍ个房间，其中各住一人；(3)指定的某一房间住t人。（t

<M）N

M

Ct(N

-1)M

-t

M

例（随机取数问题）把1，2，3，4，5诸数各写在一张纸片上，任取其三排成自左向右的次序．问：（1）所得三位数是偶数的概率；（2）所得三位数不小于200的概率．53

=

60设A=“所得三位数是偶数”则P(A)=24

=260

5B=“所得三位数不小于200”，则P(B)=48=460

5解

基本事件总数为

A

3

= 5

创4(1

22

4n

A=

C

A=

24(1

24

4n

B=

C

A=

48例

十个号码1,2,…,10，从中任取三个，，问大小在中间的号码恰好为５的概率为多少？解：设A=“大小在中间的号码恰好为５”，10n

=

C34

5m

=

C1C1试验的基本事件总数为A

中包含的基本事件数为，P(

A)

=

m

/，n

=1

/

6因此三、概率的公理化定义1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公

理化定义即