专题三数列2讲第二

专题三

数列第二讲 数列求和及综合应用第一部分 知识复习专题数列求和的基本方法一、数列求和的基本方法1．公式法．(1)等差数列前n项和公式：(2)等比数列前n项和公式：Sn＝，q＝1，n(a1＋an)na1＋n(n－1)dSn＝

2

＝

2

.na1a1(1－qn)a1－anq

1－q

＝

1－q

，q≠1.转化法．有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．错位相减法．这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．倒序相加法．这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．裂项相消法．利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．数列的应用问题二、数列的应用题应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式求解．3．解应用问题的基本步骤：1．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝

，前8项的和S8＝

(用数字作答)．解析：a1＝1，a2＝2a1＝2，a3＝2a2＝4，a4＝2a3＝8，548a

＝2a

＝16，易知S

＝＝255.答案：25582

－12－12．(2013年陕西卷)观察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为

．解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)数列{an}的前n项和Sn＝

；数列{Sn}的前n项和Tn＝

.3．(2012年茂名二模)在数列{an}中，an＝

n(n＋1)

，则2解析：(1)an＝n(n＋1)2＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]66＝1×[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]1Sn

＝

6

×[(1×2×3

－

0×1×2)

＋

(2×3×4

－

1×2×3)

＋(3×4×5-2×3×4)

＋

…

＋

n×(n

＋

1)×(n

＋

2)

－

(n

－

1)×n×(n+1)]＝n(n＋1)(n＋2)6.n(2)S

＝n(n＋1)(n＋2)6＝n(n＋1)(n＋2)[(n＋3)－(n－1)]

2424＝

1

×[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]n24T

＝

1

×[(1×2×3×4

－

0×1×2×3)

＋

(2×3×4×5

－1×2×3×4)

＋

…

＋

n×(n

＋

1)×(n

＋

2)×(n

＋

3)

－

(n

－

1)×n×(n＋1)×(n＋2)]＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)24.答案：(1)n(n＋1)(n＋2)6(2)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)244．(2012年松岗模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2·3n＋k(k∈R，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝4×3n－1(n∈.N*)突破点1等差、等比数列的判定以及可转化为等差或等比数列的求和问题(2012年镇江模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝1

n

(n∈N*)，记T2n为{an}的前2n项的和．2设bn＝a2n，证明：数列{bn}是等比数列；求T2n；不等式64·T2n·a2n≤3(1－ka2n)对于一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值．解析：(1)

b

＝

an

2nbn＋1

a2n＋2

a2n＋1a2n＋2＝

aa2n

2n＋1212n＋1＝

12

2n1＝2，n1

1所以{b}是首项为b1＝2，公比为2的等比数列．n(2)由(1)知，b

＝

12

n，n

2kk当n＝2k(k∈N*)时，a

＝a

＝b

＝

12k；n当n＝2k－1(k∈N*)时，a

＝a2k－121＝

2k－1÷a2k1

1＝

2k－1·2k＝

k－1.2

2

12n－12，n为正奇数，

2所以an＝1n2，n为正偶数.T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)21－1＝

＋21

1

1

1－

1－2

n

n1－12

2

1

2

＝31－

n.(3)由(2)知，64T2na2n≤3(1－ka2n)

即得643－3

n·2

21

1

n≤31－k·1

n2n，所以k≤2

＋642n

－64.因为2n＋64－64≥2 2n

64－64＝－48(当n＝3时等号成2n

·2n立)，即所求k的最大值为－48.规律方法：已知数列{bn}的前n项和Sn，求bn分如下三个步骤：①当n＝1时，b1＝S1；②当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1；③验证b1是否适合n≥2的解析式，据验证情况写出bn的表达式.用数表给出的数列求其通项或和的问题，往往要弄清前n－1行共有多少项.跟踪训练解析：设{an}的公差为d，1．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}前n项和Sn.(a1＋2d)(a1＋6d)＝－16，a1＋3d＋a1＋5d＝0，即1

1a2＋8da

＋12d2＝－16，a1＝－4d.解得a1＝－8，或a1＝8，d＝2

d＝－2.因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．突破点2

错位相减法求和等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*

，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；Tn.(2)当b＝2时，记bn＝

n＋1

(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和4an解析：(1)因为对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r，当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，所以an＝(b－1)bn－1.(2)当b＝2n时，a

＝(b－1)bn－1n－1n＝2

，b

＝＝n＋1

n＋1

4an

4×2n－12

3

4n＋1

n＋1＝21T

2

3

4

n 2n＋1

，则Tn＝22＋23＋24＋…＋2n＋1

，n＋1n＝23＋24＋25＋…＋2n＋1＋

2n＋2

，1

2

1

1

1

1 n＋1两式相减，得2Tn＝22＋23＋24＋25＋…＋2n＋1－2n＋212＝

＋231

×1－

1

2—n

111－2n＋1—

2n＋24＝

－3

1 2n＋1—n＋12n＋2，3

1

3n＋1

n＋3所以Tn＝2－2n－2n＋1

＝2－2n＋1

.跟踪训练2．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝an

，求数列{cn}的前n项和Tn.bn解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又当n＝1时，a1＝2满足a1＝4×1－2.∴an＝4n－2(n∈N*)．设{bn}的公比为q，由b2(a2－a1)＝b1，得4b2＝b1，4∴q＝1.—n

1故bn＝b1q

＝2×4n－1

1

2 4n－1＝

.∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1.①4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)4n.②②－①得3Tn＝－1－2(4＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4nnann(2)∵c

＝

＝4n－2b

2 4n－1＝(2n－1)4n－1，3＝1[(6n－5)4n＋5]，n19∴T

＝

[(6nn－5)4

＋5]．突破点3

裂项相消法求和

3

已知点1，1是函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}Sn＋1(bn＞0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝

Sn＋(n≥2)．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列

1

bnbn＋1的前n项和为Tn，问：满足Tn＞1

0002

013的最小正整数n是多少？131解析：(1)∵f(1)＝a＝3，∴f(x)＝

x.11

2a

＝f(1)－c＝3－c，a

＝[f(2)－c]－[f(1)－c]2＝－9，327

2

a

＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－

.∴a1＝a22＝又数列{an}成等比数列，

4

81

a3

2

—272

13

3＝－

＝

－c.∴c＝1.又公比q1a2

1＝a

＝3，∴an＝－3321n－1

＝－231n*(n∈N

)．∵Sn－Sn－1＝(

Sn－

Sn－1)(

Sn＋

Sn－1)＝

Sn＋

Sn－1(n≥2)，又bn＞0，

Sn＞0，∴

Sn－

Sn－1＝1.数列{

Sn}构成一个首项为1公差为1的等差数列，Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2，当n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又∵当n＝1时，b1＝1满足上式．∴bn＝2n－1(n∈N*)．nb1b2

b2b3

b3b4(2)T

＝

1

＋

1

＋

1

＋…＋

1

bnbn＋1

1

1

1

1

＝1×3＋3×5＋5×7＋…＋(2n－1)×(2n＋1)2

3＝11－1＋11123－5＋257

11－1＋…＋1

1

－

1

22n－1

2n＋122n＋12n＋1＝11－

1

＝

n

.n2n＋1n2

013

13 2

013由T

＝

n

＞1

000得n＞1

000，所以满足T

＞1000的最小正整数为77.跟踪训练3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋4.求数列{an}的通项公式；设各项均不为0的数列{bn}中，所有满足bi·bi＋1＜0的整求数列{bn}的变号数；(3)试求实数λ的取值范围，使得不等式一切n∈N*恒成立．数i的个数称为这个数列{bn}的变号数，令bn＝1－

4

(n∈N*)，ana1a2

a2a3

1

1

1λ≤

＋

＋…＋对anan＋1解析：(1)Sn＝n2－4n＋4＝(n－2)2，当n＝1时，a1＝S1＝1；∴an＝当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n－2)2－(n－3)2＝2n－5，1，n＝1，2n－5，n≥2.－3，n＝1，2n－5(2)由题设可得bn＝1－

4

，n≥2，∵b1＝－3＜0，b2＝1＋4＝5＞0，b3＝－3＜0，∴i＝1，i＝2都满足bi·bi＋1＜0.∵当n≥3时，n＋1

n2n－5

2n－3

(2n－5)(2n－3)b

－b

＝

4

4

8

—

＝

＞0，即当n≥3时，数列{bn}递增．433

4

i

i＋1∵b

＝－1＜0，∴b

b

＞0，∴i＝3不满足b

·b

＜0.i

i＋1由1－

4

0⇒n≥5，可知i＝4满足b

·b

＜0，>2n－5∴数列{bn}的变号数为3.na1a2

a2a3anan＋1n(3)令c

＝

1

＋

1

＋…＋

1

，则只需求{c

}的最小值．由(1)可得：nc

＝－1＋(－1)＋11－12

3＋351－1＋…＋

－

1

1

2n－5

2n－322n－3

22(2n－3)＝－2＋11－

＝－

－

.

1

3

1

∵当n≥2时，数列{cn}单调递增，∴当n≥2时，c2＝－2最小．又∵c1＝－1＞c2，∴数列{cn}的最小项为c2＝－2.故λ取值范围为(－∞，－2]．突破点4

递推关系给出的数列问题在数列{an}中，已知a1＝3，an＋1＝5an＋4.求数列{an}的通项公式．解析：解法一(待定系数法)：设an＋1＋α＝5(an＋α)，则an＋1＝5an＋4α，∴α＝1即an＋1＋1＝5(an＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝4为首项，5为公比的等比数列．∴an＋1＝(a1＋1)·5n－1＝4·5n－1.∴an＝4·5n－1－1.解法二(除幂法)：两边同时除以5n＋1得：an＋1an

4 5n＋1＝5n＋5n＋1.令b

an

4n＝5n则bn－bn－1＝5n，∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－1－bn－2)＋(bn－bn－1)3

4

4

4＝5＋52＋53＋…＋5n35＝

＋524

1－1

—

n

15

1－1535＝

＋

1－1

1

5

5

—

n

1，—

n－1

n－1∴an＝5n·bn＝3·5n

1＋5

－1＝4·5

－1.解法三：an＋1＝5an＋4，

①an＝5an－1＋4，②①－②得an＋1－an＝5(an－an－1)，b1＝a2－a1＝16，令bn＝an＋1－an，则bn＝5·bn－1，∴b

＝16·5—n

1n

n＋1

n—n

1，即a

－a

＝16·5

，而an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝3＋16×1＋16×5＋…＋16×5n－2＝3＋16×1－5n－11－5＝4·5n－1－1.解法四(迭代法)：an＝5an－1＋4＝5·(5an－2＋4)＋4＝52an－2＋5×4＋4＝…＝5n－1a

＋(5