理论力学质点动力学基本方程

理论力学质点动力学基本方程第1页，课件共43页，创作于2023年2月舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞

工程实际中的动力学问题第2页，课件共43页，创作于2023年2月

工程实际中的动力学问题若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。若已知推力和跑道可能长度，则需要多大的初速度和一定的时间隔后才能达到飞离甲板时的速度。第3页，课件共43页，创作于2023年2月

工程实际中的动力学问题

棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。Fv1v2第4页，课件共43页，创作于2023年2月

工程实际中的动力学问题载人飞船的交会与对接Av1Bv2第5页，课件共43页，创作于2023年2月

工程实际中的动力学问题航空航天器的姿态控制第6页，课件共43页，创作于2023年2月

工程实际中的动力学问题高速列车的振动问题第7页，课件共43页，创作于2023年2月动力学基本定律质点运动微分方程质点动力学的两类基本问题10质点动力学基本方程第8页，课件共43页，创作于2023年2月牛顿及其在力学发展中的贡献

牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。第9页，课件共43页，创作于2023年2月★

牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。第10页，课件共43页，创作于2023年2月10.1动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。第11页，课件共43页，创作于2023年2月10.1动力学的基本定律第二定律(力与加速度关系定律)在经典力学中质点的质量是守恒的质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第12页，课件共43页，创作于2023年2月10.1动力学的基本定律国际计量标准g＝9.80665m/s2，一般取g＝9.8m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力P的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用g表示。由第二定律有或第13页，课件共43页，创作于2023年2月10.1动力学的基本定律必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。

以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。第14页，课件共43页，创作于2023年2月10.2质点的运动微分方程2.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影3.质点运动微分方程在自然轴上投影1.矢量形式的质点运动微分方程第15页，课件共43页，创作于2023年2月10.3质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。第16页，课件共43页，创作于2023年2月10.3质点动力学的两类基本问题1.力是常数或是时间的简单函数3.力是速度的简单函数，分离变量积分2.力是位置的简单函数,利用循环求导变换第17页，课件共43页，创作于2023年2月例10.1例1如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在质点上的力F。ijvrF解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间t，得质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：力F与矢径r共线反向，其大小正比于矢径r的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM第18页，课件共43页，创作于2023年2月例10.2

例2质量为1Kg的小球M，用两绳系住，两绳的另一端分别连接在固定点A、B，如图。已知小球以速度v＝2.5m/s在水平面内作匀速圆周运动，圆的半径r＝0.5m,求两绳的拉力。解：以小球为研究对象，任一瞬时小球受力如图。方向指向O点。MOrBA45º60º小球在水平面内作匀速圆周运动。B60ºArOMmgFBFAvan第19页，课件共43页，创作于2023年2月

建立自然坐标系得：解得：分析:由(1)、(2)式可得:因此，只有当时，两绳才同时受力。否则将只有其中一绳受力。B60ºArOMmgFBFAvanbnt第20页，课件共43页，创作于2023年2月例10.3

例3从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。解：研究抛射体,列直角坐标形式的质点运动微分方程积分后得xyM初始条件为第21页，课件共43页，创作于2023年2月

轨迹方程为：由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：第22页，课件共43页，创作于2023年2月例10.4

例4垂直于地面向上发射一物体，求该物体在地球引力作用下的运动速度，并求第二宇宙速度。不计空气阻力及地球自转的影响。由于所以由直角坐标形式的质点运动微分方程得：由于，将上式改写为解：以物体为研究对象，将其视为质点，建立如图坐标。质点在任一位置受地球引力的大小为：第23页，课件共43页，创作于2023年2月

分离变量得：设物体在地面发射的初速度为v0，在空中任一位置x处的速度为v，对上式积分得所以物体在任意位置的速度为：可见物体的速度将随x的增加而减小。第24页，课件共43页，创作于2023年2月若v0²<2gR，则物体在某一位置x＝R+H时速度将为零，此后物体将回落，H为以初速v0向上发射物体所能达到的最大高度。将x＝R+H及v＝0代入上式可得若v0²>2gR，则不论x为多大，甚至为无限大时，速度v均不会减小为零，因此欲使物体向上发射一去不复返时必须具有的最小速度为若取g＝9.8m/s²，R＝6370km，代入上式可得这就是物体脱离地球引力范围所需的最小初速度，称为第二宇宙速度。第25页，课件共43页，创作于2023年2月例10.5

例5在重力作用下以仰角a初速度v0抛射出一物体。假设空气阻力与速度成正比，方向与速度方向相反，即FR＝-Cv，C为阻力系数。试求抛射体的运动方程。解：以物体为研究对象，将其视为质点。建立图示坐标。在任一位置质点受力如图。由直角坐标形式的质点运动微分方程得因为v0vMFRmgOyxaq第26页，课件共43页，创作于2023年2月将它们代入运动微分方程，并令，得：这是两个独立的线性二阶常系数常微分方程，由常微分方程理论可知，它们的解为求导得其中，C1、C2、D1、D2为积分常数，由运动初始条件确定。第27页，课件共43页，创作于2023年2月当t＝0时，x0＝0，y0＝0；vx0＝v0cosa，vy0＝v0sina代入以上四式，求得于是质点的运动方程为上式即为轨迹的参数方程，轨迹如图所示。由第一式可知轨迹渐近线为。对于抛射体的射程：当a较大时，，当a较小时，由运动方程求。v0vMFRmgOyxaq第28页，课件共43页，创作于2023年2月

质点的速度公式为由上式可见，质点的速度在水平方向的投影vx不是常量，而是随着时间的增加而不断减小，当t→∞时，vx→∞；质点的速度在y轴上的投影vy，随着时间的增加，大小和方向都将变化，当t→∞时，vx→g/m，方向铅垂向下。因此，质点的运动经过一段时间后将铅直向下作匀速运动。第29页，课件共43页，创作于2023年2月例10.6

例6如图所示，一细常杆杆端有一小球M，其质量为m，另一端用光滑铰固定。杆长为l，质量不计，杆在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置q时对球的约束力。解：以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标。由运动学知：qOlO1Sv0M(+)nt第30页，课件共43页，创作于2023年2月

（1）式是一常系数二阶非线性微分方程，其解为椭圆积分，较为复杂。将其积分一次求出，代入（2）式即可求出FT。因为所以qOlO1Sv0mgFTM(+)nt在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得即第31页，课件共43页，创作于2023年2月

得：由初始条件：t＝0时，q0＝0，代入上式得将其代入（2）式，得下面将计算结果作进一步的讨论：第32页，课件共43页，创作于2023年2月

由(3)得此式表示杆在任意位置时球的速度。由此式可知:当时小球才能作圆周运动，否则球作摆动。(4)式给出约束力FT随q角的变化规律。当q＝0时，当q＝p时，若令T=0，可由(4)式给出约束力为零时，杆的位置(设此时杆的位置用qA表示)所满足的条件因此，要使T>0，必须满足。第33页，课件共43页，创作于2023年2月即若则因此，在区间范围内，总存在确定的qA值，使小球在这一点不受杆的作用。当q<qA时，FT＞0，即小球受拉；当q>qA时，FT＜0，即小球受压。第34页，课件共43页，创作于2023年2月例10.7umgs例7：质量为m长为l的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度为u,=0。求绳作用在小球上的力F(),并分析小球的运动。解：1、取研究对象画受力图2、确定坐标系3、建立微分方程4、求解5、分析小球运动Fn运动微分方程积分上式可得：第35页，课件共43页，创